高二暑假收心卷02（暑假测试）新高二数学人教B版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦人教B版选择性必修第一册核心内容，通过向量运算、空间几何、圆锥曲线等知识的梯度设计，融合数学抽象与逻辑推理，助力学生收心巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|直线倾斜角、圆与直线位置关系、空间向量表示|单选基础巩固（如向量坐标运算），多选综合应用（如正方体动态点轨迹分析）| |填空题|3题/15分|直线与圆相切、投影向量、正方体顶点向量数量积|第14题结合正方体结构考查向量数量积，体现空间观念| |解答题|5题/77分|向量夹角计算、椭圆面积与弦长、长方体几何证明、双曲线综合、空间直角坐标系新定义|第17题融合空间几何证明与夹角计算，第19题以新定义考查数学抽象与逻辑推理，呼应核心素养中数学思维与创新意识|

暑假收心卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教B版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 2．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 4．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 5．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 6．在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 7．四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 8．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 10．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（     ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（   ） A．当直线AB垂直于x轴，且时，则抛物线方程为 B． C．存在直线AB，使得以线段AB为直径的圆过原点 D．若，点，则为钝角 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与圆相切，则________． 13．已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 14．从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 16．（15分） 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 17．（15分） 在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且 ， ． (1)求证：． (2)平面与平面夹角的余弦值． (3)直线与平面夹角的正弦值． 18．（17分） 已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 19．（17分） 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教B版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【解析】因为，所以，解得，故． 2．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 3．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在梯形中，， 所以， 所以. 4．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【解析】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 5．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【解析】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得， 可得， 因此，双曲线的标准方程为， 可得，即， 因此，实轴长. 6．在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】设，则，， 由可得，， 整理得：. 所以点轨迹是以为球心，以为半径的球面. 因为点到轴的距离为， 所以点到轴距离的最大值为. 7．四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，，. 设，由，所以，， 所以. 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 8．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【解析】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【解析】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 10．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（     ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（   ） A．当直线AB垂直于x轴，且时，则抛物线方程为 B． C．存在直线AB，使得以线段AB为直径的圆过原点 D．若，点，则为钝角 【答案】ABD 【解析】A选项，，则，得， 故抛物线方程为，A正确； B选项，因为，所以， 因为，所以，则， 同理可得，，则，故B正确； C选项，直线的斜率不为0，故设，， 联立，得， 则，， 故，即为钝角， 则原点一定在以线段AB为直径的圆内，故C错误； D选项，由C选项可知， 因为，所以， 则 ， 因为，所以， 故为钝角，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 13．已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 【答案】 【解析】因为点 ， 可得 ，则 ， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 14．从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为________． 【答案】5 【解析】由题意可得的关系有：，，及既不平行也不垂直； 设正方体的八个顶点为， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，，，，， 当时，则或； 当时，则或； 当时，则； 当既不平行也不垂直时： 如：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为，共5种情况. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【解析】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 16．（15分） 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 【解析】（1）椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 . （2）联立，得 . 设，则. 所以. 17．（15分） 在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且 ， ． (1)求证：． (2)平面与平面夹角的余弦值． (3)直线与平面夹角的正弦值． 【解析】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图： 可得 , 所以，， 所以， 因此， 即. （2）易知， 设 为平面的一个法向量， 则 ，令，得， 即, 又易知，则 ，， 设平面的法向量， 可得 ，令，得， 即， 设平面和平面的夹角为，， 可得， 因此平面与平面夹角的余弦值为. （3）易知，则，， 设直线和平面的夹角， 因此, 即直线与平面夹角的正弦值为. 18．（17分） 已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 【解析】（1）将双曲线化成标准形式为：， 所以， 所以， 所以； 渐近线方程为：； （2）因此，渐近线方程为：， 设以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切的圆的半径为， 点到直线的距离为， 则， 所以此圆的方程为， 又因为此圆与直线切于点， 所以，又因为， 解得， 所以， 因为直线倾斜角为 ，且， 当时，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 即， 所以， 即，无解； 当时，直线的方程为； 综上，直线的方程为； （3）存在两个不同的点，使得与均以为顶点的等腰三角形，理由如下： 假设存在满足题意的点， 则有, 所以的中点重合，且的中垂线重合， 当时， 设直线的方程为，， 由，可得， 设, 则, , 所以中点为； 由，得，即； 由，得，即； 所以中点为； 由此可得的中点重合， 所以直线两直线的中垂线方程为：， 即， 由，得， 则， 所以原方程始终有两个不同实数根， 即直线与双曲线始终有两个不同交点， 所以此时存在两个不同的点，满足题意； 当时，直线的方程为， 此时当为双曲线的左、右顶点时，满足题意； 综上，存在两个满足题意的点. 19．（17分） 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）由直线的点方向式方程为可知直线的一个方向向量坐标为 由平面的一般式方程为可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为． （2）由平面可知平面的一个法向量为， 由平面可知平面的一个法向量为， 设两平面交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 因为，即，且，所以． （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为， 则，令，则，，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 由，则，解得， 即， 故平面与平面夹角的余弦值为 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $