第14讲 双曲线及其方程（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第14讲 双曲线及其方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：双曲线定义及应用 题型 2：求双曲线的标准方程 题型 3：由双曲线方程求参数 题型 4：双曲线上点的距离最值 题型 5：双曲线焦点三角形问题 题型 6：双曲线的几何性质 题型 7：求双曲线的离心率 题型 8：求离心率的取值范围 题型 9：求双曲线的渐近线 题型 10：双曲线相关轨迹问题 题型 11：双曲线的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式的概念 等式的性质 等式的解集 一元一次等式（方程） 等式的恒等变形 1. 理解等式的定义，区分恒等式、条件等式、矛盾等式，能用符号规范书写等式。 2. 掌握等式的五条基本性质，熟练运用性质对等式进行等价变形。 3. 能利用等式性质化简、求解一元一次等式，会检验等式解的正确性。 4. 掌握等式恒等变形常用方法：移项、去括号、去分母、合并同类项，能完成代数式等价转化。 5. 会结合实际问题列等式，建立简单等量关系模型，解决基础应用题。 学习重点：等式的基本性质、利用等式性质进行恒等变形、一元一次等式的求解。 学习难点：等式变形中等价性判断、含参数等式的分类讨论、结合实际情境构建等量等式模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 即时即练到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【答案】D 【解析】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值时，都不会是双曲线. 知识点02 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 即时即练已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 知识点03 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 即时即练（多选题）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【答案】BC 【解析】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得， 则，故A错误； 对于B，由上分析，，故B正确； 对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确； 对于D，若点在双曲线的左支上，由可得， 此时，的周长为； 若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误. 故选：BC. 题型 1：双曲线定义及应用 【典例1-1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【解析】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 【典例1-2】（2026·高二·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【解析】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 【变式1-1】（2026·高二·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【解析】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 【变式1-2】（2026·高二·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】C 【解析】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C 【变式1-3】（2026·高二·四川遂宁·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【解析】设与圆 （圆心 ，半径 ）和 圆 （即 ，圆心 ，半径 ） 都外切的圆的圆心为 ，半径为， 由题意得，消去 得， 这表示点P到两定点和的距离之差为常数，且， 由双曲线的定义知：点的轨迹为双曲线， 又由知：，因此点的轨迹为双曲线的一支. 故选： C 题型 2：求双曲线的标准方程 【典例2-1】（2026·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 【典例2-2】（2026·高二·甘肃武威·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的方程为，半焦距为，则，， 故，.所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式2-1】（2026·高三·浙江湖州·阶段检测）已知双曲线的离心率，一个焦点坐标为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据离心率和焦点坐标，列式代入，即可得解.由离心率，可得， 又因为一个焦点坐标为， 故，所以， 所以， 又因为交点在轴上， 故双曲线的标准方程为：. 故选：D. 【变式2-2】已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意知.设的中点分别为M，N，在中， ，所以，， 由双曲线的定义可得，即，所以， 故双曲线E的标准方程为. 故选:D. 题型 3：由双曲线方程求参数 【典例3-1】（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 【典例3-2】（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 【变式3-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 【变式3-2】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【解析】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 【变式3-3】（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意得：，解得或. 【变式3-4】（2026·高三·贵州黔东南·开学考试）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若表示双曲线，则有，解得， 易得是的充分不必要条件， 因此“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 题型 4：双曲线上点的距离最值 【典例4-1】（2026·高二·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【典例4-2】（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 【变式4-1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 【变式4-2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【解析】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 【变式4-3】（2026·高三·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 【变式4-4】（2026·高二·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 【变式4-5】（2026·高二·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 【变式4-6】（2026·高二·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解析】由圆可化为， 则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值， 即的最小值是. 故选：B. 题型 5：双曲线焦点三角形问题 【典例5-1】（2026·高二·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【解析】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D 【典例5-2】已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一动点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A．［0，6］ B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，, 不妨设是双曲线右支上的一点， 由焦半径公式可得 ， 所以，同理可得， 所以， 又因为，， 所以原式， 又因为，所以， 所以，， 所以 故选：B. 【变式5-1】（2026·高二·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【解析】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B. 【变式5-2】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：， 故选：C. 【变式5-3】（2026·高二·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 【变式5-4】（2026·高二·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又， 所以． 故选：C. 【变式5-5】（2026·高二·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】椭圆中，所以共同焦点，, 由椭圆的定义，得, 双曲线中，由双曲线的定义得， 不妨设，得， 在中，由余弦定理得. 故选：D. 题型 6：双曲线的几何性质 【典例6-1】（多选题）（2026·高二·云南曲靖·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为C上的一点，则（   ） A．C的虚轴长为 B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】由，得，可得的虚轴长为，故A正确， 由双曲线的定义得，故B正确， 而的离心率为，故C错误， 而渐近线方程为，故D错误. 故选：AB 【典例6-2】（多选题）（2026·高二·广东茂名·期末）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-16，则（   ） A．A，B两点的纵坐标之积为-9 B． C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】AC 【解析】设，依题意，点A，B两点关于原点对称，则，不妨设， 对于A，由，得，则，，即，A正确； 对于B，，代入双曲线方程得，B错误； 对于C，双曲线半焦距，双曲线的离心率为：，C正确； 对于D，，则双曲线的渐近线方程为，D错误. 故选：AC 【变式6-1】（多选题）（2026·高三·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（    ） A．的渐近线为 B．的焦距是虚轴长的倍 C．若的焦点到其渐近线的距离为，则 D．若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以的渐近线为，正确； 对于B，因为，错误； 对于C，不妨设的右焦点到其渐近线的距离为，即，所以，正确； 对于D，设，且在直线上，所以， 又，即， 化简移项，再平方化简可得，故存在. 【变式6-2】（多选题）（2026·高二·湖北·阶段检测）已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A．的范围为 B．时，该双曲线的离心率为 C．时，该双曲线的渐近线方程为 D．使该双曲线的焦距最小 【答案】ABD 【解析】方程表示双曲线，需满足与项系数异号，即. 解得,因此，选项A正确. 将代入原方程得，整理为标准形式. 此时焦点在轴上，实半轴长，虚半轴长. 半焦距，离心率. 因此，选项B正确. 由双曲线标准方程可知，渐近线方程为，即. 这与选项C中的不符. 因此，选项C错误. 当时，方程可化为. 此时. 设，对求导得. 令，即，因，开方得，解得. 当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 故在处取得最小值，即有最小值，焦距也有最小值. 因此，选项D正确. 【变式6-3】（多选题）（2026·高二·广西南宁·期中）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 【答案】ACD 【解析】双曲线，则需满足， 解得，故A正确； 双曲线的标准方程为，则， 故，焦距为，与无关，故B错误； 若点存在，则代入双曲线方程得：， 解得， ， 存在这样的实数，故C正确； 由题意知，即，解得， ， ，故D正确． 【变式6-4】（多选题）（2026·高二·云南昭通·期中）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，P为双曲线上一点，则（    ） A． B． C．E的渐近线方程为 D．E与有交点 【答案】AC 【解析】对于A，因为离心率，则，故A正确； 对于B，根据双曲线的定义知道，故B错误； 对于C，根据渐近线方程，故C正确； 对于D，因为渐近线斜率，而直线的斜率为2，因为2>1，所以无交点，故D错误． 题型 7：求双曲线的离心率 【典例7-1】（2026·高二·上海·期末）设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】过 平行于轴的直线，代入双曲线方程得，，因此弦长， 而，所以， 不妨取,，则， 所以，故，即， 而，所以，而，所以， 所以. 【典例7-2】（2026·高二·河南·阶段检测）已知双曲线：的右焦点为，坐标原点为，以线段为直径的圆与的一条渐近线交于异于点的另一点 ．若，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】设点为第一象限的点，则以 为直径的圆交双曲线的渐近线 于点， 则，且 ， ， 因此，双曲线的离心率为. 【变式7-1】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】由题意知双曲线渐近线方程为， 因为直线与双曲线的渐近线相交于点，且点在第二象限，则点的横坐标为， 代入渐近线，得，即， 因为，则，设，则， 又，所以，解得，，所以， 将代入得，化简得， 因为，所以，则，解得， 又，所以，即双曲线的离心率为. 【变式7-2】（2026·高二·上海静安·期末）已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点、的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】2 【解析】由题意，得，即， 所以双曲线的离心率为. 【变式7-3】（2026·高二·重庆·期中）已知双曲线的左右焦点为，，P为双曲线右支上一点，Q为的内心，直线PQ与x轴交于点，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】5 【解析】如图， 不妨设点在第一象限，圆的半径为， 由圆的切线性质及双曲线的定义可得： ， 又，所以， 所以，则可知， 因为点，且共线，， 所以，所以，解得， 由角平分线定理知，， 不妨设 则， 所以， 所以 ， 又， 所以，即，解得， 所以. 【变式7-4】（2026·高二·福建泉州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 由双曲线定义可知：， 所以等腰三角形的内切圆切于点，可知为的中点， 又因为，所以， 设内切圆心为，则，即 所以，由内心性质可知：，则， 再由余弦定理可得：， 化简得：． 【变式7-5】（2026·甘肃兰州·模拟预测）过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 【答案】 【解析】设，，. 由在双曲线上得，. 两式作差得. ，，. 由题意，离心率，. 代入得，故. 题型 8：求离心率的取值范围 【典例8-1】（2026·高二·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是______. 【答案】 【解析】由椭圆及双曲线定义得：，， 即，， 因为， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 即， 故答案为：. 【典例8-2】过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为________． 【答案】 【解析】设双曲线的方程为，，渐近线，则过F的直线方程为，则， 代入得， 由直线与双曲线的两支都相交，得，即， 由得，∴. 故答案为：. 【变式8-1】（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为___________. 【答案】 【解析】双曲线C与直线有交点，则，，解得， 双曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上， 设与轴交于点，由对称性，所以， 所以， ， 所以，由得，所以， 又中，，， 所以，即， 综上，． 故答案为：． 【变式8-2】（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点和，且焦点，到直线的距离之和为，则双曲线离心率的最小值为________. 【答案】/ 【解析】依题意，直线的方程为，即， 焦点到直线的距离之和，得， 则，即，因此，整理得，解得， 所以双曲线的离心率，其最小值为. 【变式8-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义. 设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义， 不妨设，则有. 联立得. 因为，所以根据勾股定理有， 化简得：，两边同除以可得：， 则根据柯西不等式得， 当且仅当 所以的最大值为. 【变式8-4】已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【答案】 【解析】法1：双曲线的右顶点， 不妨取渐近线方程为.设，则，. 由，得，整理得. 由题意知该关于的方程有解，所以. 化简可得，即，所以，又. 所以，即的离心率的取值范围是． 法2：由知，点在以为直径的圆上. 由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即， 所以，所以. 所以，又，所以，即的离心率的取值范围为． 【变式8-5】（2026·高二·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 题型 9：求双曲线的渐近线 【典例9-1】（2026·高二·广西南宁·期中）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 【答案】或/或 【解析】设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，易得， 因为，所以，如图，令， 则，又， 在中，，即， 化简得（*）； 在中，，即， 化简得，将其代入（*），化简得，即， 所以双曲线的渐近线的斜率为. 【典例9-2】（2026·高二·湖南岳阳·开学考试）设双曲线，的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】由双曲线可知，，， 则，可得， 且，即，解得， 由双曲线可知焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 【变式9-1】（2026·高二·上海宝山·期末）设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为________ 【答案】 【解析】 如图：由题意得，即，设斜率为正的渐近线的倾斜角为，则，，所以该双曲线渐近线的夹角为 故答案为： 【变式9-2】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】， 即， 所以， 因为双曲线的焦点在轴上，故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 【变式9-3】（2026·高三·海南·阶段检测）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为__________. 【答案】 【解析】因为双曲线的离心率为， 所以，解得，所以. 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【变式9-4】（2026·高二·山东·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与为坐标原点）的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为__________. 【答案】 【解析】设，内心为， 依题意可设， 因为与为坐标原点）的纵坐标互为相反数， 所以，解得， 因为的内切圆的圆心为，所以的内切圆的半径为， 由等面积可得， 化简得， 又，点在双曲线的右支上， 所以， 因为， 所以 ， 则，解得， 所以的坐标为， 代入双曲线方程中，得，解得， 所以双曲线的渐近线的方程为， 故答案为：． 【变式9-5】（2026·高三·河北邯郸·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为_____． 【答案】 【解析】不妨设在第二象限，，则， 设，则，由余弦定理， ，解得． 由正弦定理有，即， 解得，或， 由于，所以， 故双曲线的渐近线方程为． 故答案为： 题型 10：双曲线相关轨迹问题 【典例10-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是________________． 【答案】 【解析】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示： 依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 【典例10-2】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 【变式10-1】已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 【变式10-2】（2026·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 【答案】 （且） （且） 【解析】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P， 所以， 故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且）， 故点P的轨迹方程为（且）. 因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以. 又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上. 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，； 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，， 综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10. 又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，， 所以，，，所以双曲线方程为. 当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为， 故动点Q的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）；（且）. 【变式10-3】已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______． 【答案】． 【分析】 通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】 圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 【变式10-4】（2026·高二·山西晋中·阶段检测）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为________. 【答案】 【分析】 设，首先求到直线、的距离，再利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】 设，由题意在、相交的右侧部分，如下图， 则有，，， 所以到直线、的距离分别为、， 由题设，整理得，即为动点M的轨迹方程. 故答案为： 【变式10-5】（2026·高二·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】 求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 【变式10-6】已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】 由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】 由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 【变式10-7】在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】 先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程. 【详解】 设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 题型 11：双曲线的实际应用 【典例11-1】（2026·高二·上海·期中）、、是我方三个炮兵阵地.地在地的正东，相距；地在地的北偏西，相距.为敌方炮兵阵地.某时刻地发现地某种信号，12秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为/秒）.若从地炮击地，准确炮击的方位角是__________. 【答案】北偏东. 【分析】 以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可知在以，为焦点的双曲线的右支上，可求出点的轨迹方程，再求出线段的垂直平分线方程，联立两个方程可得点的坐标，再求即可求解. 【详解】 以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，正东方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，， 因为， 所以在以，为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线方程为，则，， 可得， 所以双曲线方程为， 即敌方炮兵阵地P可能分布在以，为焦点的双曲线的右支上，该轨迹的方程为； ，，所以， 因为C地与B地同时发现该信号， 所以，所以在线段的垂直平分线上， 因为，线段的中点坐标， 所以直线的方程为：，即， 由可得：， 即，解得：或（舍） 所以，，所以， ，所以， 所以点在点的北偏东方向，即准确炮击的方位角为北偏东. 【典例11-2】（2026·高二·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【答案】8 【分析】 由双曲线的性质即可求解. 【详解】 已知双曲线，可得：， 设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为． 所以， 由题意知，共线， 因为，所以， 故路径长． 故答案为：8. 【变式11-1】（2026·广东佛山·三模）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为_______． 【答案】8 【分析】 由双曲线的性质即可求解. 【详解】 设光线与双曲线的交点为，双曲线的左焦点为．由题意知，共线， 故路径长． 故答案为：8. 【变式11-2】（2026·高二·河北沧州·阶段检测）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 【答案】/ 【分析】 根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系.由题意该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，所以双曲线过点和，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径. 【详解】 以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设双曲线方程为，由已知可得，且， 所以，即，所以双曲线方程为. 由题知该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm， 所以双曲线过点和，代入双曲线方程得： ，解得：. 所以，即喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 【变式11-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且与垂直，，若该双曲线的焦点位于直线上，则在点O以下的焦点距点O______. 【答案】 【分析】 设该双曲线的方程为，根据题意求方程，根据双曲线的性质求解得答案. 【详解】 设该双曲线的方程为. 因为渐近线相互垂直，所以. 由题意知，， 解得， 故该双曲线的一个焦点位于点O以下. 故答案为： 1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线:的渐近线方程为， 圆，圆心，半径， 因为双曲线、圆的对称性，故取其中一条渐近线， 圆心到的距离， 故所求的弦长为. 2．（2026·高二·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 3．（2026·高二·广东广州·期末）双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意， 不妨设双曲线，，，，，， 则对于，其半焦距为，实半轴为，则； 对于，其半焦距为，实半轴为，则， 所以，又，所以，所以，所以. 4．（2026·高二·云南大理·期中）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 由， 整理得，所以，整理得，所以． 5．（2026·高二·贵州毕节·期中）过点M作直线和直线的垂线，垂足分别为点A，B，当点A，B分别在第一象限与第二象限，点在两直线夹成的上方区域内，且时，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设．点到直线，即的距离为， 点到直线，即的距离为， 由，得 因为点在两直线夹角的上方区域内，所以 因此 于是，整理得 又由可知该轨迹为上支，故 所以点的轨迹方程为 6．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】双曲线的一条渐近线方程为，过且与该渐近线垂直的直线方程为， 联立两直线方程可得点坐标为. 因为，所以的面积为. 由，得，所以双曲线的离心率为. 7．（2026·高二·上海·阶段检测）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，点在的右支上，且满足，．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由双曲线的定义得，则， 在中利用余弦定理得， 得，则双曲线的离心率为 8．（多选题）（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．若是椭圆，则实数的取值范围是 B．若是双曲线，则两点在轴上 C．若，则周长为8 D．若，则的实轴和虚轴长度相等 【答案】BCD 【解析】对于A，若是椭圆，则，所以实数的取值范围是， 故A错误； 对于B，若是双曲线，则，则两点在轴上，故B正确； 对于C，若，则曲线是两点在轴上的椭圆， 且，所以，， 则周长为，故C正确； 对于D，若，则曲线是两点在轴上的双曲线， 且，即，，则的实轴和虚轴长度相等，故D正确. 9．（多选题）（2026·高二·广东深圳·期中）已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 【答案】ABD 【解析】对于A：双曲线，渐近线方程为； 双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B：由题意得，， 由双曲线的定义得，， 故的周长为，故B正确； 对于C：在右支上，设，则， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点；故， 则， 当为线段的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，故D正确． 10．（2026·湖北武汉·二模）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】 【分析】 以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意求出可得答案. 【详解】 如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意知，所以， ，， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 11．（2026·高二·上海宝山·期末）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 【答案】 【分析】 根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，再根据焦点在上确定出的值，结合计算出即可得到双曲线的方程. 【详解】 因为双曲线的一条渐近线与平行，所以， 又因为双曲线的焦点为，且双曲线的一个焦点在直线上， 而直线与x轴的交点为，所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为：. 12．（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，是与在第一象限的交点，当时，则与的离心率之比为______________. 【答案】 【分析】 通过椭圆和双曲线的定义，以及利用余弦定理综合应用求解. 【详解】 设椭圆：半长轴，半焦距，离心率， 双曲线：半实轴，半焦距，离心率， 由题意：离心率互为倒数：， 椭圆定义：，双曲线定义： 解得焦半径：，故. 在中，由余弦定理： ，代入 ，又 ，代入得：, 整理：，即, 因为 ，故 ， . 13．（2026·高二·河北石家庄·期中）设O为坐标原点，点，点，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，点A，B的对应点分别为．经过t秒后，点在y轴的两侧，且的面积为，此时点恰好分别落在双曲线的左支、右支上，则___________，C的离心率为___________． 【答案】 【分析】 作轴，垂足为，作轴，垂足为，由列方程求参数t，从而确定坐标，再由点在双曲线上求参数值，即可得离心率. 【详解】 如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 当线段平移秒后，， 所以， 即，解得， 此时，则，解得， 所以的离心率为. 14．（2026·高二·宁夏中卫·阶段检测）求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 【解析】（1）设椭圆标准方程为，焦距为， 则有，解得，即该椭圆标准方程为； （2）由该双曲线焦点在轴上， 设其标准方程为， 则焦距为，即，又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 15．（2026·高二·新疆·阶段检测）已知双曲线过点两点，求双曲线标准方程. 【解析】设双曲线方程为， 则由题得， 所以双曲线标准方程为. 16．（2026·高二·上海黄浦·期中）对于不为零的实数k的不同取值范围，讨论方程所表示的曲线的形状. 【解析】方程，， 当，方程表示以原点为圆心，半径为的圆； 当，方程，其中，方程表示焦点在轴的椭圆； 当，方程，其中，方程表示焦点在轴的椭圆； 当，方程表示焦点在轴的双曲线. 17．（2026·高二·上海·期中）已知位于正东方，且两地相距米，一炮弹在某处爆炸. 在处听到爆炸声的时间比处晚秒钟. (1)爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由. (2)若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标.（精确到米）（已知声音速度为米/秒） 【解析】（1）由题意得：， 所以爆炸点离点比离点的距离更远， 所以爆炸点在以为焦点且距较近的双曲线的一支上. （2）以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以曲线方程为：， 又，设，代入方程得：， 解得（米），所以. 18．（2026·高二·上海黄浦·期中）若点是双曲线在第一象限图像上的动点，、分别为双曲线的左、右焦点： (1)若且的面积为，求的大小 (2)在（1）的条件下，求线段的长 (3)若求当为等腰三角形时点的坐标. 【解析】（1）当时，双曲线方程， 则，， 设，， ，得， 代入，得 则，，， 所以，， ， 所以. （2）. （3），，则，， 若为等腰三角形，则或 设，， 若，则，且，得或（舍）， 当时，，（负值舍去），则 若，则，且，得（舍）或， 当时，，（负值舍去），则 所以点的坐标分别为或. 19．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. (1)求的方程； (2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 【解析】（1）选择条件①和③： 因为C的离心率为2，点A到C的右焦点的距离为1，所以 解得 又因为，所以， 所以C的方程为. 选择条件②和③： 因为C的渐近线方程为，点A到C的右焦点的距离为1， 所以由 可得 所以C的方程为. 选择条件①和②： 因为的离心率为2， 所以， 所以的渐近线方程为， 由①能推出②，所以C存在但是不唯一，不符合题意； 综上所述：选择条件①和③和选择条件②和③时，的方程，选择条件①和②时，C存在且不唯一. （2）由（1）知，点A坐标为， 又由可得直线的方程为，且. 设点M到直线的距离为d， 因为面积为3，所以，所以. 设过点M且与直线平行的直线为n：. 则n与直线的距离为，故， 解得或， 所以直线n方程为或， 直线与直线关于原点中心对称， 与双曲线左支有两个交点，不合题意，舍去. 由得或 故点M坐标为或， 当M坐标为时，点，所以直线的方程为， 当M坐标为时，点，直线的方程为， 所以直线的方程为或. （方法二）由（1）知，点A坐标为，且点在C上. 当直线斜率不存在时，，面积为3，直线的方程为，符合题意. 当直线斜率存在时，设其方程为. 由得， 设， 则，， 故， 又因为A到直线的距离， 故面积为. 所以，解得，或， 因为该双曲线的渐近线方程为， 所以，， 因此此时直线不与双曲线的右支相交， 因为， 所以此时直线与双曲线的右支相交， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 20．（2026·高二·宁夏银川·开学考试）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 【解析】（1）， 根据双曲线的定义可知点的轨迹为双曲线的右支， 焦点为，故，实轴长，所以， 故点的轨迹方程为； （2）因为椭圆方程为. ,， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 双曲线及其方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：双曲线定义及应用 题型 2：求双曲线的标准方程 题型 3：由双曲线方程求参数 题型 4：双曲线上点的距离最值 题型 5：双曲线焦点三角形问题 题型 6：双曲线的几何性质 题型 7：求双曲线的离心率 题型 8：求离心率的取值范围 题型 9：求双曲线的渐近线 题型 10：双曲线相关轨迹问题 题型 11：双曲线的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式的概念 等式的性质 等式的解集 一元一次等式（方程） 等式的恒等变形 1. 理解等式的定义，区分恒等式、条件等式、矛盾等式，能用符号规范书写等式。 2. 掌握等式的五条基本性质，熟练运用性质对等式进行等价变形。 3. 能利用等式性质化简、求解一元一次等式，会检验等式解的正确性。 4. 掌握等式恒等变形常用方法：移项、去括号、去分母、合并同类项，能完成代数式等价转化。 5. 会结合实际问题列等式，建立简单等量关系模型，解决基础应用题。 学习重点：等式的基本性质、利用等式性质进行恒等变形、一元一次等式的求解。 学习难点：等式变形中等价性判断、含参数等式的分类讨论、结合实际情境构建等量等式模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 即时即练到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 知识点02 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 即时即练已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 知识点03 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 即时即练（多选题）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 题型 1：双曲线定义及应用 【典例1-1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【典例1-2】（2026·高二·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【变式1-1】（2026·高二·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【变式1-2】（2026·高二·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【变式1-3】（2026·高二·四川遂宁·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 题型 2：求双曲线的标准方程 【典例2-1】（2026·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2-2】（2026·高二·甘肃武威·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高三·浙江湖州·阶段检测）已知双曲线的离心率，一个焦点坐标为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是 A． B． C． D． 题型 3：由双曲线方程求参数 【典例3-1】（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【变式3-3】（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式3-4】（2026·高三·贵州黔东南·开学考试）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 4：双曲线上点的距离最值 【典例4-1】（2026·高二·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【典例4-2】（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式4-2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式4-3】（2026·高三·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-4】（2026·高二·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-5】（2026·高二·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-6】（2026·高二·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 题型 5：双曲线焦点三角形问题 【典例5-1】（2026·高二·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【典例5-2】已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一动点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A．［0，6］ B． C． D． 【变式5-1】（2026·高二·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式5-2】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高二·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【变式5-4】（2026·高二·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】（2026·高二·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 题型 6：双曲线的几何性质 【典例6-1】（多选题）（2026·高二·云南曲靖·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为C上的一点，则（   ） A．C的虚轴长为 B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【典例6-2】（多选题）（2026·高二·广东茂名·期末）已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-16，则（   ） A．A，B两点的纵坐标之积为-9 B． C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为 【变式6-1】（多选题）（2026·高三·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（    ） A．的渐近线为 B．的焦距是虚轴长的倍 C．若的焦点到其渐近线的距离为，则 D．若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 【变式6-2】（多选题）（2026·高二·湖北·阶段检测）已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A．的范围为 B．时，该双曲线的离心率为 C．时，该双曲线的渐近线方程为 D．使该双曲线的焦距最小 【变式6-3】（多选题）（2026·高二·广西南宁·期中）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 【变式6-4】（多选题）（2026·高二·云南昭通·期中）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，P为双曲线上一点，则（    ） A． B． C．E的渐近线方程为 D．E与有交点 题型 7：求双曲线的离心率 【典例7-1】（2026·高二·上海·期末）设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 【典例7-2】（2026·高二·河南·阶段检测）已知双曲线：的右焦点为，坐标原点为，以线段为直径的圆与的一条渐近线交于异于点的另一点 ．若，则的离心率为_________． 【变式7-1】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________. 【变式7-2】（2026·高二·上海静安·期末）已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点、的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为___________． 【变式7-3】（2026·高二·重庆·期中）已知双曲线的左右焦点为，，P为双曲线右支上一点，Q为的内心，直线PQ与x轴交于点，且，则双曲线的离心率为______． 【变式7-4】（2026·高二·福建泉州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为___________． 【变式7-5】（2026·甘肃兰州·模拟预测）过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 题型 8：求离心率的取值范围 【典例8-1】（2026·高二·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是______. 【典例8-2】过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为________． 【变式8-1】（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为___________. 【变式8-2】（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点和，且焦点，到直线的距离之和为，则双曲线离心率的最小值为________. 【变式8-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 【变式8-4】已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【变式8-5】（2026·高二·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 题型 9：求双曲线的渐近线 【典例9-1】（2026·高二·广西南宁·期中）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 【典例9-2】（2026·高二·湖南岳阳·开学考试）设双曲线，的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为______. 【变式9-1】（2026·高二·上海宝山·期末）设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为________ 【变式9-2】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为__________. 【变式9-3】（2026·高三·海南·阶段检测）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为__________. 【变式9-4】（2026·高二·山东·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与为坐标原点）的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为__________. 【变式9-5】（2026·高三·河北邯郸·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为_____． 题型 10：双曲线相关轨迹问题 【典例10-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是________________． 【典例10-2】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 【变式10-1】已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为______． 【变式10-2】（2026·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 【变式10-3】已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______． 【变式10-4】（2026·高二·山西晋中·阶段检测）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为________. 【变式10-5】（2026·高二·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【变式10-6】已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为______． 【变式10-7】在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为______. 题型 11：双曲线的实际应用 【典例11-1】（2026·高二·上海·期中）、、是我方三个炮兵阵地.地在地的正东，相距；地在地的北偏西，相距.为敌方炮兵阵地.某时刻地发现地某种信号，12秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为/秒）.若从地炮击地，准确炮击的方位角是__________. 【典例11-2】（2026·高二·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【变式11-1】（2026·广东佛山·三模）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为_______． 【变式11-2】（2026·高二·河北沧州·阶段检测）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 【变式11-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且与垂直，，若该双曲线的焦点位于直线上，则在点O以下的焦点距点O______. 1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 3．（2026·高二·广东广州·期末）双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·云南大理·期中）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·贵州毕节·期中）过点M作直线和直线的垂线，垂足分别为点A，B，当点A，B分别在第一象限与第二象限，点在两直线夹成的上方区域内，且时，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 7．（2026·高二·上海·阶段检测）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，点在的右支上，且满足，．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．若是椭圆，则实数的取值范围是 B．若是双曲线，则两点在轴上 C．若，则周长为8 D．若，则的实轴和虚轴长度相等 9．（多选题）（2026·高二·广东深圳·期中）已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若为圆上一点，则的最大值为7 10．（2026·湖北武汉·二模）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为___________. 11．（2026·高二·上海宝山·期末）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 12．（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，是与在第一象限的交点，当时，则与的离心率之比为______________. 13．（2026·高二·河北石家庄·期中）设O为坐标原点，点，点，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，点A，B的对应点分别为．经过t秒后，点在y轴的两侧，且的面积为，此时点恰好分别落在双曲线的左支、右支上，则___________，C的离心率为___________． 14．（2026·高二·宁夏中卫·阶段检测）求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 15．（2026·高二·新疆·阶段检测）已知双曲线过点两点，求双曲线标准方程. 16．（2026·高二·上海黄浦·期中）对于不为零的实数k的不同取值范围，讨论方程所表示的曲线的形状. 17．（2026·高二·上海·期中）已知位于正东方，且两地相距米，一炮弹在某处爆炸. 在处听到爆炸声的时间比处晚秒钟. (1)爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由. (2)若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标.（精确到米）（已知声音速度为米/秒） 18．（2026·高二·上海黄浦·期中）若点是双曲线在第一象限图像上的动点，、分别为双曲线的左、右焦点： (1)若且的面积为，求的大小 (2)在（1）的条件下，求线段的长 (3)若求当为等腰三角形时点的坐标. 19．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. (1)求的方程； (2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 20．（2026·高二·宁夏银川·开学考试）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $