第06讲 直线的方程（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第06讲 直线的方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：点斜式求方程 题型 2：斜截式求方程 题型 3：两点式求方程 题型 4：截距式求方程 题型 5：一般式求方程 题型 6：直线方程的向量形式 题型 7：直线过定点问题 题型 8：直线与坐标轴围三角形 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 点斜式方程 斜截式方程 两点式方程 截距式方程 一般式方程 1. 理解直线方程的几何意义，掌握点斜式、斜截式方程的推导过程与适用条件，能根据斜率与定点、截距等条件准确写出对应形式的直线方程。 2. 掌握两点式、截距式方程的形式特征与适用范围，能根据两点坐标、坐标轴截距求解直线方程，明晰两类形式的使用限制。 3. 掌握直线方程的一般式，理解一般式与其他四种形式的转化关系，能根据需求完成直线方程不同形式的互化。 4. 理解直线的方向向量、法向量与直线方程的内在联系，能结合向量信息求解直线方程，深化数形结合的思想方法。 5. 掌握直线过定点问题的求解思路，能解决直线与坐标轴围成三角形的面积、周长等相关问题，提升方程思想与综合解题能力。 学习重点：直线方程的五种基本形式及其适用条件，根据已知条件灵活选用形式求解直线方程，不同形式直线方程的互化。 学习难点：直线方程各形式适用条件的辨析，直线过定点问题的通用解法，直线与坐标轴围成三角形的综合问题，实际情境中直线方程形式的最优选择。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 即时即练写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 知识点02 直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 即时即练求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 知识点03 直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 即时即练写出一个过和的直线的两点式方程______. 知识点04 直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 即时即练直线的截距式方程为________. 知识点05 直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 即时即练（1）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程 （2）直线经过点，平行于轴，写出直线的方程； （3）直线经过点，，写出直线的一般式方程； （4）直线在轴、轴上的截距分别是，，写出直线s的斜截式方程． 题型 1：点斜式求方程 【典例1-1】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【典例1-2】已知在第一象限的 中， 求边所在直线的点斜式方程. 【变式1-1】（2026·高二·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 【变式1-2】求过点，倾斜角等于的倾斜角的一半的直线的点斜式方程． 题型 2：斜截式求方程 【典例2-1】已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【典例2-2】已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【变式2-1】写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【变式2-2】已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【变式2-3】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 题型 3：两点式求方程 【典例3-1】（2026·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 【典例3-2】经过点､的直线的两点式方程为___________. 【变式3-1】已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为______． 【变式3-2】过点，直线的两点式方程为______． 题型 4：截距式求方程 【典例4-1】（2026·高二·浙江·阶段检测）一条直线经过点，并且与轴，轴分别交于，两点，当为的中点时，此直线的截距式方程为________. 【典例4-2】（2026·高二·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为______. 【变式4-1】过点和的直线方程的截距式为________. 【变式4-2】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）过定点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线截距式方程为______． 【变式4-3】（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 题型 5：一般式求方程 【典例5-1】（2026·高二·福建莆田·开学考试）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【典例5-2】设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【变式5-1】根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 【变式5-2】（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【变式5-3】（2026·高二·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【变式5-4】（2026·高二·天津·阶段检测）直线过点，若直线与轴交点，与轴交点.若点恰为线段的中点，求直线方程 题型 6：直线方程的向量形式 【典例6-1】与一条直线平行的向量称为它的方向向量. (1)写出直线（、不同时为零）的一个方向向量； (2)用直线的方向向量导出两直线夹角的余弦公式. 【典例6-2】已知直线的方程为.求证： (1)无论取何值时，都经过一个确定的点； (2)无论取何值时，对于上任意一点，向量均与向量垂直. 【变式6-1】写出满足下列条件的直线的方程． (1)经过点和； (2)平行于向量，并且经过点． 【变式6-2】求直线按照向量表示的方向和大小平移后所得到的直线的方程. 【变式6-3】已知直线.求证： (1)无论取何值，直线l都经过一个确定的点M； (2)无论取何值，对于直线上任意一点，向量均与向量垂直. 【变式6-4】试分别写出过点，且满足下列条件之一的直线方程： （1）与向量平行；（2）与向量垂直；（3）斜率为. 题型 7：直线过定点问题 【典例7-1】（2026·高二·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【典例7-2】（2026·高二·天津武清·阶段检测）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______． 【变式7-1】（2026·高二·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【变式7-2】（2026·高三·上海·期中）已知函数（且）的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为________． 题型 8：直线与坐标轴围三角形 【典例8-1】（2026·高二·山东枣庄·期中）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 【典例8-2】（2026·高二·甘肃白银·期中）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【变式8-1】（2026·高二·广东汕头·阶段检测）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围； (3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【变式8-2】（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知直线． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式8-3】（2026·高二·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【变式8-4】（2026·高二·甘肃酒泉·期中）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【变式8-5】（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知直线过定点P： (1)求过P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)l与x轴，y轴正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点： （i）求三角形OAB面积取最小值时直线l的方程； （ⅱ）求取最小值时直线l的方程． 1．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 2．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 4．（2026·高三·全国·一轮复习）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·湖南衡阳·期末）设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 7．（2026·高二·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·贵州遵义·期末）若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高二·江苏南通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 11．（多选题）（2026·高二·河北雄安·期末）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高二·重庆·期中）直线：恒过定点______． 13．（2026·高一·上海·阶段检测）过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 14．（2026·高一·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 15．若方程表示一条直线，则实数满足_________． 16．在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 17．（2026·高二·江苏无锡·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)光线自点射到轴上的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程： (2)直线经过点，且直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4. 18．直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 19．（2026·高二·安徽·期中）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 20．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 21．（2026·高二·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 22．（2026·高二·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 23．（2026·高三·河南·期末）已知平面内三点，，. (1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于， 两点，求的最小值及此时的方程. 24．（2026·高二·安徽合肥·期中）已知关于的方程表示一个直线系. (1)证明：直线过定点，并求出定点坐标； (2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 直线的方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：点斜式求方程 题型 2：斜截式求方程 题型 3：两点式求方程 题型 4：截距式求方程 题型 5：一般式求方程 题型 6：直线方程的向量形式 题型 7：直线过定点问题 题型 8：直线与坐标轴围三角形 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 点斜式方程 斜截式方程 两点式方程 截距式方程 一般式方程 1. 理解直线方程的几何意义，掌握点斜式、斜截式方程的推导过程与适用条件，能根据斜率与定点、截距等条件准确写出对应形式的直线方程。 2. 掌握两点式、截距式方程的形式特征与适用范围，能根据两点坐标、坐标轴截距求解直线方程，明晰两类形式的使用限制。 3. 掌握直线方程的一般式，理解一般式与其他四种形式的转化关系，能根据需求完成直线方程不同形式的互化。 4. 理解直线的方向向量、法向量与直线方程的内在联系，能结合向量信息求解直线方程，深化数形结合的思想方法。 5. 掌握直线过定点问题的求解思路，能解决直线与坐标轴围成三角形的面积、周长等相关问题，提升方程思想与综合解题能力。 学习重点：直线方程的五种基本形式及其适用条件，根据已知条件灵活选用形式求解直线方程，不同形式直线方程的互化。 学习难点：直线方程各形式适用条件的辨析，直线过定点问题的通用解法，直线与坐标轴围成三角形的综合问题，实际情境中直线方程形式的最优选择。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 即时即练写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 【解析】（1）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得， 直线的点斜式方程为； （2）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 （3）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 知识点02 直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 即时即练求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【解析】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 知识点03 直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 即时即练写出一个过和的直线的两点式方程______. 【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【解析】经过点和点直线两点式方程是：或. 故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 知识点04 直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 即时即练直线的截距式方程为________. 【答案】 【解析】直线的截距式方程为：. 故答案为： 知识点05 直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 即时即练（1）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程 （2）直线经过点，平行于轴，写出直线的方程； （3）直线经过点，，写出直线的一般式方程； （4）直线在轴、轴上的截距分别是，，写出直线s的斜截式方程． 【解析】（1）由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为. （2）由直线m经过点，平行于x轴，所以直线的方程为. （3）由直线经过点，，可得直线的斜率为， 则直线，直线的一般式方程为. （4）由直线在轴、 轴上的截距分别是和，可直线的方程为， 所以直线的斜截式方程为. 题型 1：点斜式求方程 【典例1-1】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【解析】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 【典例1-2】已知在第一象限的 中， 求边所在直线的点斜式方程. 【解析】因为直线为水平直线， 所以， 故边所在直线的点斜式方程为. 【变式1-1】（2026·高二·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 【解析】（1）由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 因此直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. （2）由（1）知：直线的斜率为，而直线过点 所以直线的点斜式方程为. 【变式1-2】求过点，倾斜角等于的倾斜角的一半的直线的点斜式方程． 【解析】直线的斜率为，倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为，斜率为， 由直线过点，则直线的点斜式方程为. 题型 2：斜截式求方程 【典例2-1】已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【解析】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 【典例2-2】已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【解析】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为， 令得纵截距为，令得横截距为， 依题意得，，解得或， 所以直线方程为或. 【变式2-1】写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）因为直线斜率为，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：. （3）因为直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以直线过点，， 根据两点可求直线斜率，所以直线的斜截式方程为. 【变式2-2】已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【解析】设直线方程为，则时，时，. 由已知可得， 即，∴. 故所求直线方程为或 【变式2-3】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 题型 3：两点式求方程 【典例3-1】（2026·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 【典例3-2】经过点､的直线的两点式方程为___________. 【答案】 【解析】因为直线经过点､， 由直线的两点式方程可得，可得，即， 所以直线的两点式方程为. 故答案为：. 【变式3-1】已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为______． 【答案】 【解析】易得直线过，故l的斜率为. 故答案为： 【变式3-2】过点，直线的两点式方程为______． 【答案】 【解析】过点，直线的两点式方程为 故答案为： 题型 4：截距式求方程 【典例4-1】（2026·高二·浙江·阶段检测）一条直线经过点，并且与轴，轴分别交于，两点，当为的中点时，此直线的截距式方程为________. 【答案】 【解析】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为， 则有，解得，故该方程为. 故答案为：. 【典例4-2】（2026·高二·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为______. 【答案】 【解析】因为为的中点，故, 则直线的截距式方程为. 故答案为： 【变式4-1】过点和的直线方程的截距式为________. 【答案】 【解析】设直线方程为，将，代入， 可得，解得，，则方程为. 故答案为： 【变式4-2】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）过定点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线截距式方程为______． 【答案】/ 【解析】直线的斜率为，倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即，截距式方程为. 故答案为：. 【变式4-3】（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】 或 或 【解析】（1）设直线方程为，因为直线过点， 所以，整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． （2）由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为－2， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5， 则所求直线方程为或 故答案为：（1）或；（2）或. 题型 5：一般式求方程 【典例5-1】（2026·高二·福建莆田·开学考试）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【解析】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 【典例5-2】设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 【变式5-1】根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 【解析】（1）由点斜式，得， 化成一般式，得． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为． （4）由两点式，得， 化成一般式为． 【变式5-2】（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【解析】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 【变式5-3】（2026·高二·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【解析】（1）直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【变式5-4】（2026·高二·天津·阶段检测）直线过点，若直线与轴交点，与轴交点.若点恰为线段的中点，求直线方程 【解析】由题意，直线的斜率一定存在且斜率不为0，可设直线的方程为， 则直线在坐标轴上的交点分别为， 因为为的中点，可得，解得， 所以直线的方程为，即. 题型 6：直线方程的向量形式 【典例6-1】与一条直线平行的向量称为它的方向向量. (1)写出直线（、不同时为零）的一个方向向量； (2)用直线的方向向量导出两直线夹角的余弦公式. 【解析】（1）由直线的方向向量定义可得，直线的方向向量也为与其平行的直线的方向向量. 考虑上的两点与，则， 故直线（、不同时为零）的一个方向向量为. （2）由（1），设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为， 的夹角为，则. 即直线与的夹角余弦公式为 【典例6-2】已知直线的方程为.求证： (1)无论取何值时，都经过一个确定的点； (2)无论取何值时，对于上任意一点，向量均与向量垂直. 【解析】（1）证明：由，得，所以无论取何值，都经过定点. （2）如图所示，设点为，则. 由，得，即. 所以总与向量垂直. 【变式6-1】写出满足下列条件的直线的方程． (1)经过点和； (2)平行于向量，并且经过点． 【解析】（1）由已知条件可知直线的一个方向向量， 直线的一个法向量． 因此可设直线的一般式方程为， 代入，得， 所求直线的方程为． （2）所求直线平行于向量， 所求直线的斜率为． 又直线经过点， 所求直线的方程为，整理得． 【变式6-2】求直线按照向量表示的方向和大小平移后所得到的直线的方程. 【解析】设点是直线上的任意一点，由平移的定义知，在直线上存在一点，使得， 即，所以， 因为点在直线上，所以，从而， 即. 直线上的任意一点的坐标均满足这个方程，所以的方程为. 【变式6-3】已知直线.求证： (1)无论取何值，直线l都经过一个确定的点M； (2)无论取何值，对于直线上任意一点，向量均与向量垂直. 【解析】（1）：， ，故 所以直线恒过定点 （2）设，则 所以 因为 所以 所以 【变式6-4】试分别写出过点，且满足下列条件之一的直线方程： （1）与向量平行；（2）与向量垂直；（3）斜率为. 【解析】（1）与向量平行，则直线的斜率，又直线过点， 所以直线方程为整理得； （2）与向量垂直，则直线的斜率，又直线过点， 所以直线方程为，整理得； （3）因为直线的斜率为且过点，所以直线方程为，整理得； 题型 7：直线过定点问题 【典例7-1】（2026·高二·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【解析】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 【典例7-2】（2026·高二·天津武清·阶段检测）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______． 【答案】. 【解析】， 则，即定点坐标为. 故答案为：. 【变式7-1】（2026·高二·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【解析】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 【变式7-2】（2026·高三·上海·期中）已知函数（且）的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】函数（且）的图像恒过定点， 因为点在直线上，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 题型 8：直线与坐标轴围三角形 【典例8-1】（2026·高二·山东枣庄·期中）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 【解析】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （2）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【典例8-2】（2026·高二·甘肃白银·期中）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【解析】（1）直线，即. 由，解得. 所以直线过定点. （2）当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）由题，直线，且. 令，得，得； 令，得，得，即. 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为. 此时直线的方程为. 【变式8-1】（2026·高二·广东汕头·阶段检测）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围； (3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）由，得. 由直线方程的点斜式可知，直线过定点； （2）若当时，直线上的点都在轴下方，则 解得，所以k的取值范围是； （3）由题意直线过定点，且与轴的负半轴交于点､与轴的负半轴交于点， 则直线的斜率， 当时，得，当时，得，则，且， 所以 ， 当且仅当，即时，又，所以当时取“”， S的最小值为2，此时直线的方程为. 【变式8-2】（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知直线． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【解析】（1） 如图所示，结合图象可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上，. （2）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【变式8-3】（2026·高二·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【解析】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为， 当时，分母取得最大值，则此时取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 【变式8-4】（2026·高二·甘肃酒泉·期中）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【解析】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点.得证； （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为 【变式8-5】（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知直线过定点P： (1)求过P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)l与x轴，y轴正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点： （i）求三角形OAB面积取最小值时直线l的方程； （ⅱ）求取最小值时直线l的方程． 【解析】（1），即， 则，解得，则定点， 当直线过原点时，此时直线方程为，即直线方程为， 当直线不过原点时，若截距相等，则，则直线方程为，即. 综上所述，直线方程为或. （2）（i）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即，即时得到上述直线方程. （ii）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即，即得到上述直线方程. 1．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【解析】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 2．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，D错误. 3．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【解析】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 4．（2026·高三·全国·一轮复习）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为； 直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为， A.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； B.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故正确； C.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； D.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； 故选：B 5．（2026·高一·湖南衡阳·期末）设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 直线与线段没有交点， 即直线与线段没有交点， 对于直线， 令，则，则直线恒过点 . 根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 若直线与线段没有交点， 则. 6．（2026·高三·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 7．（2026·高二·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 8．（2026·高二·贵州遵义·期末）若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线的方向向量，所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为，即. 故选：C. 9．（多选题）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 10．（多选题）（2026·高二·江苏南通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【解析】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 11．（多选题）（2026·高二·河北雄安·期末）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】若两截距都为，则该直线过原点，其方程为，即； 若截距不为，不妨设其在横轴上的截距为，则在纵轴上的截距为， 此方程为，代入得，解得，整理得． 12．（2026·高二·重庆·期中）直线：恒过定点______． 【答案】 【解析】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 13．（2026·高一·上海·阶段检测）过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【解析】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 14．（2026·高一·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【解析】直线过定点，如图， 由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 15．若方程表示一条直线，则实数满足_________． 【答案】 【解析】当时，或； 当时，或． 要使方程表示一条直线， 则，不能同时为0，所以． 16．在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 17．（2026·高二·江苏无锡·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)光线自点射到轴上的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程： (2)直线经过点，且直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4. 【解析】（1）点关于轴上的对称点为，则反射光线过点， 则反射光线为，即为； （2）由题可知，该直线不过原点，设该直线方程为， 则有，解得，故直线方程为，即. 18．直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距都为0，∴，， ∴直线l的方程为； 当直线l不过原点时，此时且，令，即，∴， 此时直线l的方程为， ∴实数a的值为0或2． （2）直线l的方程可化为， 故要使l不经过第二象限，只需，解得， 所以a的取值范围为． 19．（2026·高二·安徽·期中）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 【解析】（1）当，即时，直线为，不经过第二象限，满足条件， 当，即时，直线可转化为， 则解得， 综上所述，的取值范围为； （2）当过坐标原点时，，解得，符合题意， 因为的斜率存在且不为，所以且， 当不过坐标原点时，即，令，则，令，则， 因为在轴上的截距为轴上截距的倍，所以， 解得，又，所以该方程无解； 综上所述， 20．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【解析】（1）存在．设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得，或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）存在．设直线方程为， 由题意可知 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 21．（2026·高二·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【解析】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 22．（2026·高二·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 【解析】（1）因为的三个顶点分别为，是的重心 所以重心坐标为，即. （2）因为的三个顶点分别为， 所以. 所以. （3）以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ②对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ③对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. 23．（2026·高三·河南·期末）已知平面内三点，，. (1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于， 两点，求的最小值及此时的方程. 【解析】（1）因为，，， 所以直线，AC的斜率分别为，. 因为直线经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足， 即，即直线的斜率的取值范围是. （2）由题意，得直线的斜率存在，设为，则. 因为直线过点，所以直线的方程为. 令，解得；令，解得，则，. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. 此时直线的方程为. 24．（2026·高二·安徽合肥·期中）已知关于的方程表示一个直线系. (1)证明：直线过定点，并求出定点坐标； (2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值. 【解析】（1）依题意，直线的方程可化成，由，得， 所以直线过定点，且定点坐标为； （2）依题意，直线分别与轴的正半轴交于两点，所以直线在两坐标轴上的截距均存在且为正， 故可设直线的方程为，则，； 由（1）知，直线过定点，所以； 因为，所以， 所以面积，当且仅当，即时取等号； 故面积的最小值为12. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $