第15讲 抛物线及其方程（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第15讲 抛物线及其方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：抛物线定义及应用 题型 2：抛物线标准方程与焦点准线 题型 3：由抛物线上的点求标准方程 题型 4：抛物线的对称性应用 题型 5：抛物线上点到定点的距离最值 题型 6：抛物线上点的距离和差最值 题型 7：抛物线焦半径相关问题 题型 8：抛物线轨迹方程求解 题型 9：抛物线的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 抛物线的定义 焦点与准线 抛物线的标准方程 p 的几何意义 抛物线的对称性 抛物线的几何性质 1. 理解抛物线的定义，掌握焦点、准线的概念，能运用抛物线定义实现距离转化，解决相关计算与最值问题。 2. 掌握抛物线的四种标准方程形式，理解参数 p 的几何意义，能根据已知条件求解抛物线的标准方程，区分不同开口方向的方程差异。 3. 能根据抛物线上点的坐标求解标准方程，掌握抛物线的范围、对称性、顶点等基本几何性质。 4. 理解焦半径的定义与公式，能运用焦半径公式解决相关计算问题，掌握抛物线上的点到定点、焦点的距离和差最值的求解方法。 5. 掌握与抛物线相关的轨迹方程的求解方法，能运用抛物线知识解决简单的实际应用问题。 6. 深化数形结合与转化化归的数学思想，提升运用抛物线定义与性质分析解决综合问题的能力。 学习重点：抛物线的定义与标准方程、抛物线的几何性质、焦半径的应用、抛物线上点的距离最值求解。 学习难点：抛物线上点到定点与焦点的距离和差最值问题、抛物线相关轨迹方程的推导、抛物线定义与性质的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 即时即练已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 知识点02 抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为. 即时即练已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 知识点03 抛物线的几何性质 标准方程 图 形 几 何 性 质 范 围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶点 坐标原点 离心率 即时即练（多选题）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 【答案】BCD 【解析】对于A， 抛物线得，所以准线方程，故A错误； 对于B，，所以， 故B正确； 对于C，抛物线的焦点的坐标为 ，设直线方程为. 联立方程，消去得. 由韦达定理得，. . 因为，所以. 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，设中点为，则. 点到准线的距离. 又因为， 在中， ， 所以，故D正确. 知识点04 抛物线的焦半径及焦点弦 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则 抛物线方程 焦点弦公式 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 即时即练设抛物线（）的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为______. 【答案】4 【解析】因为为抛物线上一点，， 所以. 故答案为：4. 题型 1：抛物线定义及应用 【典例1-1】（2026·高二·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】根据抛物线的定义，是其准线， 因为的准线方程为， 所以，解得. 【典例1-2】（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，则，解得， 所以线段中点的横坐标为. 【变式1-1】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得，则. 【变式1-2】（2026·高二·江苏常州·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由抛物线的方程，可得，焦点的坐标为，准线方程为， 又由抛物线的定义可知点到的距离为，根据定义，点到准线的距离也为， 设点的横坐标为，则点到准线的距离为， 则点到轴的距离等于其横坐标的绝对值，即. 故选：C 【变式1-3】（2026·高二·湖北·期末）已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，为线段的中点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【解析】已知，设，因为为线段的中点，所以， 又由题知，所以. 故选：C. 题型 2：抛物线标准方程与焦点准线 【典例2-1】抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线的标准方程为，开口向下，，，故焦点坐标为． 【典例2-2】（2026·高二·云南昭通·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由抛物线，得抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以抛物线的准线方程为. 【变式2-1】（2026·高二·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】椭圆中心是原点，右顶点是， 它是抛物线的焦点，则，， 所以抛物线标准方程是． 故选：D． 【变式2-2】（2026·高二·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，其准线方程为， 则，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：B 【变式2-3】（2026·高二·北京延庆·期末）已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，故可设其标准方程为，， 因，解得，故抛物线的标准方程是. 故选：C 【变式2-4】（2026·高二·浙江丽水·期中）顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】焦点坐标为在轴正半轴上，可设抛物线方程为， 又，则，故抛物线的标准方程为. 故选：C 题型 3：由抛物线上的点求标准方程 【典例3-1】（2026·高二·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 【典例3-2】（2026·高二·陕西宝鸡·期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点在轴上，可设其方程为，代入点， ，解得，所以抛物线的方程为. 故选：D. 【变式3-1】（2026·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）经过点的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】设抛物线的方程为或， 将点代入，可得或， 解得或， 故抛物线的标准方程为或， 故选：C 【变式3-2】（2026·高二·重庆北碚·阶段检测）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】点在第二象限. 当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为， 把代入解得：，所以抛物线的标准方程为. 当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为， 把代入解得：，所以抛物线的标准方程为. 故选：D 【变式3-3】（2026·高二·海南·期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线方程为； 故选：C 【变式3-4】（2026·高二·黑龙江大庆·期中）若某抛物线过点（），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】依题意设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线标准方程为， 故选：A． 题型 4：抛物线的对称性应用 【典例4-1】（2026·高二·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】设正三角形的边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 【典例4-2】（2026·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 【变式4-1】（2026·山东·二模）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【解析】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 【变式4-2】（2026·高二·江苏盐城·期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果.因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 【变式4-3】（2026·高二·山东·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【解析】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 【变式4-4】（2026·高二·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 【变式4-5】（2026·高二·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 题型 5：抛物线上点到定点的距离最值 【典例5-1】（2026·高二·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【答案】 【解析】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号. 则的最大值为. 【典例5-2】（2026·高三·江苏·阶段检测）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 设，则由题意得：， 因为点P为抛物线上一点，所以， 代入可得：， 所以当时，的最小值为， 故答案为： 【变式5-1】已知点满足，，则的最小值为__________ 【答案】 【解析】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：。 【变式5-2】（2026·高二·辽宁·阶段检测）点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】设点的坐标为，其中，则， 所以点到点的距离为， 当时，取得最小值，最小值为，所以点到点距离的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高二·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 【答案】1 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是． 故答案为：. 【变式5-4】（2026·高二·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 【变式5-5】（2026·高二·上海·阶段检测）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为_____． 【答案】/ 【解析】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 题型 6：抛物线上点的距离和差最值 【典例6-1】（2026·高二·河北邢台·开学考试）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 【答案】 【解析】抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得， 则，当且仅当是线段的延长线与抛物线的交点时取等号， 直线，由且，得，即点， 所以的最大值为，此时点P的坐标为. 【典例6-2】（2026·高二·河北保定·开学考试）抛物线上有一动点P，其焦点为，，则的最小值为________． 【答案】16 【解析】由题意得，准线为，过向准线作垂线，垂足为，且有， 因为，则， 所以当三点共线时，最小，如图： 即. 【变式6-1】（2026·高三·重庆·开学考试）已知是抛物线上的一个动点，，点到轴的距离为，且的最小值为4，则_______. 【答案】2 【解析】由抛物线定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即，因此， 于是 根据三角形不等式，， 当且仅当 三点共线时取等号. 故， ， 两边平方： 整理得 【变式6-2】（2026·高二·江苏南通·期末）已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】设，因为点，动点满足， 所以，整理得， 即， 所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为抛物线，焦点，准线方程为， 过点准线的垂线，垂足为，则， 因为，当且仅当三点共线且在点之间时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式6-3】（2026·高二·山西·阶段检测）如图，是抛物线的焦点，点在上，点在圆的优弧上，且，则周长的最小值是____________． 【答案】17 【解析】由题可知圆的圆心与焦点重合． 过点作的准线的垂线，垂足为， 所以的周长为． 因为，所以， 所以周长的最小值是． 故答案为：17 【变式6-4】（2026·高二·河北秦皇岛·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________ 【答案】/ 【解析】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，， 则，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故答案为： 【变式6-5】（2026·高二·陕西商洛·期末）已知函数，则函数的最小值为______. 【答案】 【解析】函数， 所以函数表示与两点间距离与点到直线的距离之和， 所以点在曲线上，曲线是抛物线在第一象限的部分以及坐标原点， 且抛物线的焦点为，准线方程为， 所以函数的最小值就是的最小值，因为， 当且仅当在线段上时等号成立，所以函数的最小值为. 故答案为：. 题型 7：抛物线焦半径相关问题 【典例7-1】（2026·高二·上海·期中）抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 【答案】/ 【解析】 抛物线，焦点为，准线为， 由抛物线的定义可知，又， 是等边三角形， 设点，则， 由等边三角形性质可得，，所以， . 【典例7-2】（2026·高二·上海·阶段检测）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则__________ 【答案】 【解析】抛物线的焦点. 设， 因为，所以，直线方程为， 与联立整理得，， 即，解得或， 所以点横坐标或， 当时，，不符合题意，舍去. 所以， 所以； 【变式7-1】（2026·高二·天津南开·阶段检测）点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 则， 所以，则，所以， 所以. 故答案为： 【变式7-2】（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______． 【答案】18 【解析】由题意知，． 设点A，B，D的横坐标分别为，，，则，所以． 由抛物线的定义得． 故答案为：18 【变式7-3】（2026·高二·广西南宁·阶段检测）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则___________． 【答案】12 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，，则，， 因为，则，解得， 所以. 故答案为：12. 【变式7-4】（2026·高二·甘肃酒泉·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则________． 【答案】5 【解析】在中，令，解得，所以， 因为，所以，解得， 所以抛物线C的方程为，其准线方程为， 在方程中，令，得，所以，所以点A的纵坐标为4， 在方程中，令，解得，所以， 由抛物线的定义，得． 故答案为：. 题型 8：抛物线轨迹方程求解 【典例8-1】（2026·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 【典例8-2】（2026·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 【答案】 【解析】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 【变式8-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为． 故答案为: . 【变式8-2】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是________． 【答案】 【解析】将化为， 动点到点的距离比它到直线的距离大1， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线， 该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右， 设， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 故答案为：. 【变式8-3】（2026·高二·河南郑州·期中）若点满足方程，则点P的轨迹是______.（填圆锥曲线的类型，填方程不给分） 【答案】抛物线 【解析】由，得， 所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，即点到点的距离与到直线的距离相等， 又因为点不在直线上，由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线. 故答案为：抛物线. 【变式8-4】已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为___________；若动点M满足，则M的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为， 设，，，因为动点满足， 所以，即，， 所以，，因为，所以， 所以，即的轨迹方程为. 故答案为：；. 【变式8-5】点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是___________. 【答案】 【解析】点到点的距离比它到直线的距离小1， 点到直线的距离和它到点的距离相等. 因此点的轨迹符合抛物线的定义 根据抛物线的定义可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， ，抛物线的标准方程为， 故答案为：. 题型 9：抛物线的实际应用 【典例9-1】（2026·高二·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【解析】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图）， 设抛物线的标准方程为， 由题意可知点在抛物线上， 所以，则， 所以抛物线的标准方程为， 当水位下降，水面宽为8m时，， 设点，则， 所以，所以拱顶到水面的距离是8. 故答案为：8. 【典例9-2】（2026·高二·北京西城·期末）某只碗的侧面可以看作抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，若抛物线的顶点为原点，开口向上，对称轴为轴，碗底的直径为，碗口的直径为，碗的高度为，则抛物线的方程为_____. 【答案】 【解析】设抛物线为，过点，， 所以，可得， 所以抛物线为. 故答案为： 【变式9-1】（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    【答案】 【解析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 故答案为：. 【变式9-2】（2026·高二·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 【答案】/ 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：. 【变式9-3】（2026·高二·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______米 【答案】 【解析】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 【变式9-4】（2026·高二·四川绵阳·期中）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为__________m． 【答案】/ 【解析】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 设抛物线方程为，由图易知抛物线过点， 所以，得到，故抛物线方程为， 又行车道AB总宽度，将代入，得到， 所以限制高度为， 故答案为：. 【变式9-5】（2026·高二·上海·期末）抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为 ，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线 于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ______. 【答案】与 平行的向量均可 【解析】已知入射点纵坐标为，代入抛物线方程得，解得，即入射点为. 根据抛物线光学性质，反射光线经过焦点，因此反射后直线过和， 所以反射光线所在直线的一个方向向量. 设反射光线所在直线的法向量， 则，则，因此该直线的一个法向量可取为. 1．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【解析】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 2．（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 3．（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，设，若抛物线上存在点P，使得，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以点在以为直径的圆上， 而以为直径的圆的方程为， 又点在抛物线上， 所以圆与至少有一个交点，且交点横坐标大于， 即至少有一个正根， 即至少有一个正根， 所以，解得. 4．（2026·高二·江西吉安·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线方程为， 因为为等边三角形，所以， 而双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为，即， 所以离心率． 5．（2026·高二·河北石家庄·期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由题意得， 设，则，，． 因为，所以，解得， 所以． 6．（2026·高二·上海·期中）对于问题“已知直线l过抛物线的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，设，，M为线段RS的中点，求的长度”，甲同学解得，乙同学解得．则下列正确的选项为（   ） A．只有甲同学正确 B．只有乙同学正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【解析】如下图所示，连接，， ， ， 由抛物线的定义可知， ， ， 同理，，从而可得， 由直角三角形的性质可知， ， . 7．（多选题）（2026·高二·云南大理·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 【答案】ACD 【解析】已知抛物线为，其焦点为，直线的方程为， 联立抛物线与直线方程可得：，化简可得：， 由题意可得直线与抛物线交于两点，所以， 设，则由韦达定理可得：， 代入直线的方程可得：，所以利用中点公式可得：， 在A选项中，若直线的方程为：，则，所以，A选项正确， 在B选项中，，B选项错误， 在C选项中，，所以，C选项正确， 在D选项中，， D选项正确. 8．（多选题）（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 【答案】AC 【解析】对于A，因为抛物线的焦点为，准线为， 所以，由抛物线的定义可知：，故A正确； 对于B，设直线的方程为， 联立，设， 所以， 由抛物线的定义可知： ， 当时，的最小值为4，故B错误； 对于C，若为的中点，,, 因为所以，所以， 又因为 所以，故C正确； 对于D，设上任意一点为，则该点到的距离为： ， 当时，，故D错误. 9．（2026·高二·河北衡水·期末）已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 【答案】/ 【解析】由题意可得右焦点为，又因为MF垂直于轴，把代入抛物线， 可得，又因为公共点M在第一象限，所以，即，把代入 双曲线可得，，又因为，解得， 所以，即. 10．（2026·山西·二模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 【答案】 【解析】如图，设准线与轴交于点，过点作于点， 由抛物线的定义得，且， ，即，得. 11．（2026·高二·上海·期中）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： 【解析】（1）由可知，，则，所以焦点，准线为. （2）设点，则有， 则. 因为， 所以当，即时，，； 当，即时，，. 综上所述，. 12．（2026·高二·云南昆明·期中）（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程． （2）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求． （3）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射后光线所在直线的方程． 【解析】（1）根据题意双曲线方程可设为，与椭圆有公共焦点， ∴，即得， 又双曲线的离心率，故，解得． 故双曲线的方程为． （2）抛物线的准线为，过作垂直于直线，垂足为， 作于，直线与轴交于点，如图： 则轴，即，四边形是矩形， 中，， 由抛物线定义知，而 ， 则，解得，所以． （3）点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为， 则可得出反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切， 则圆心到反射光线的距离，即，解得或， 则反射直线的方程为或． 13．（2026·高二·上海浦东新·阶段检测）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 【解析】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为． （2）依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使， 即 所以车辆的限制高度为3.8米． 14．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为，斜率为的直线l与抛物线C相交于两点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若，求l的方程． 【解析】（1）由焦点，可得，得， 因此抛物线C的标准方程为． （2）设， 联立方程组，得， 韦达定理知， ， ， 则l的方程． 15．（2026·高二·山东菏泽·期末）已知抛物线的准线与圆相切，是上一点. (1)若是抛物线的焦点，为坐标原点，且满足，求； (2)若点的坐标为，求点到点的距离与到轴的距离之和的最小值. 【解析】（1）抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为1， 由抛物线的准线与圆相切，得，解得， 抛物线的准线为，焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，过作于， 由，得，在中，， 所以. （2）在抛物线的方程中，令，得，则点与焦点在抛物线的两侧， 设点到轴距离为，则 ，当且仅当是线段与抛物线的交点时取等号， 所以点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为12. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 抛物线及其方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：抛物线定义及应用 题型 2：抛物线标准方程与焦点准线 题型 3：由抛物线上的点求标准方程 题型 4：抛物线的对称性应用 题型 5：抛物线上点到定点的距离最值 题型 6：抛物线上点的距离和差最值 题型 7：抛物线焦半径相关问题 题型 8：抛物线轨迹方程求解 题型 9：抛物线的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 抛物线的定义 焦点与准线 抛物线的标准方程 p 的几何意义 抛物线的对称性 抛物线的几何性质 1. 理解抛物线的定义，掌握焦点、准线的概念，能运用抛物线定义实现距离转化，解决相关计算与最值问题。 2. 掌握抛物线的四种标准方程形式，理解参数 p 的几何意义，能根据已知条件求解抛物线的标准方程，区分不同开口方向的方程差异。 3. 能根据抛物线上点的坐标求解标准方程，掌握抛物线的范围、对称性、顶点等基本几何性质。 4. 理解焦半径的定义与公式，能运用焦半径公式解决相关计算问题，掌握抛物线上的点到定点、焦点的距离和差最值的求解方法。 5. 掌握与抛物线相关的轨迹方程的求解方法，能运用抛物线知识解决简单的实际应用问题。 6. 深化数形结合与转化化归的数学思想，提升运用抛物线定义与性质分析解决综合问题的能力。 学习重点：抛物线的定义与标准方程、抛物线的几何性质、焦半径的应用、抛物线上点的距离最值求解。 学习难点：抛物线上点到定点与焦点的距离和差最值问题、抛物线相关轨迹方程的推导、抛物线定义与性质的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 即时即练已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 知识点02 抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为. 即时即练已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 知识点03 抛物线的几何性质 标准方程 图 形 几 何 性 质 范 围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶点 坐标原点 离心率 即时即练（多选题）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 知识点04 抛物线的焦半径及焦点弦 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则 抛物线方程 焦点弦公式 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 即时即练设抛物线（）的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为______. 题型 1：抛物线定义及应用 【典例1-1】（2026·高二·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【典例1-2】（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式1-1】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式1-2】（2026·高二·江苏常州·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（2026·高二·湖北·期末）已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，为线段的中点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 题型 2：抛物线标准方程与焦点准线 【典例2-1】抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高二·云南昭通·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·北京延庆·期末）已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2026·高二·浙江丽水·期中）顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 题型 3：由抛物线上的点求标准方程 【典例3-1】（2026·高二·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高二·陕西宝鸡·期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）经过点的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-2】（2026·高二·重庆北碚·阶段检测）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-3】（2026·高二·海南·期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·高二·黑龙江大庆·期中）若某抛物线过点（），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 题型 4：抛物线的对称性应用 【典例4-1】（2026·高二·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【典例4-2】（2026·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（2026·山东·二模）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【变式4-2】（2026·高二·江苏盐城·期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【变式4-3】（2026·高二·山东·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【变式4-4】（2026·高二·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【变式4-5】（2026·高二·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 题型 5：抛物线上点到定点的距离最值 【典例5-1】（2026·高二·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【典例5-2】（2026·高三·江苏·阶段检测）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 【变式5-1】已知点满足，，则的最小值为__________ 【变式5-2】（2026·高二·辽宁·阶段检测）点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 【变式5-3】（2026·高二·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 【变式5-4】（2026·高二·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为_____. 【变式5-5】（2026·高二·上海·阶段检测）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为_____． 题型 6：抛物线上点的距离和差最值 【典例6-1】（2026·高二·河北邢台·开学考试）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 【典例6-2】（2026·高二·河北保定·开学考试）抛物线上有一动点P，其焦点为，，则的最小值为________． 【变式6-1】（2026·高三·重庆·开学考试）已知是抛物线上的一个动点，，点到轴的距离为，且的最小值为4，则_______. 【变式6-2】（2026·高二·江苏南通·期末）已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 【变式6-3】（2026·高二·山西·阶段检测）如图，是抛物线的焦点，点在上，点在圆的优弧上，且，则周长的最小值是____________． 【变式6-4】（2026·高二·河北秦皇岛·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________ 【变式6-5】（2026·高二·陕西商洛·期末）已知函数，则函数的最小值为______. 题型 7：抛物线焦半径相关问题 【典例7-1】（2026·高二·上海·期中）抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 【典例7-2】（2026·高二·上海·阶段检测）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则__________ 【变式7-1】（2026·高二·天津南开·阶段检测）点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 【变式7-2】（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______． 【变式7-3】（2026·高二·广西南宁·阶段检测）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则___________． 【变式7-4】（2026·高二·甘肃酒泉·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则________． 题型 8：抛物线轨迹方程求解 【典例8-1】（2026·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【典例8-2】（2026·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 【变式8-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为________． 【变式8-2】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是________． 【变式8-3】（2026·高二·河南郑州·期中）若点满足方程，则点P的轨迹是______.（填圆锥曲线的类型，填方程不给分） 【变式8-4】已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为___________；若动点M满足，则M的轨迹方程为___________. 【变式8-5】点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是___________. 题型 9：抛物线的实际应用 【典例9-1】（2026·高二·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【典例9-2】（2026·高二·北京西城·期末）某只碗的侧面可以看作抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，若抛物线的顶点为原点，开口向上，对称轴为轴，碗底的直径为，碗口的直径为，碗的高度为，则抛物线的方程为_____. 【变式9-1】（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    【变式9-2】（2026·高二·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 【变式9-3】（2026·高二·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______米 【变式9-4】（2026·高二·四川绵阳·期中）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为__________m． 【变式9-5】（2026·高二·上海·期末）抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为 ，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线 于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ______. 1．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，设，若抛物线上存在点P，使得，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·江西吉安·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·河北石家庄·期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 6．（2026·高二·上海·期中）对于问题“已知直线l过抛物线的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，设，，M为线段RS的中点，求的长度”，甲同学解得，乙同学解得．则下列正确的选项为（   ） A．只有甲同学正确 B．只有乙同学正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 7．（多选题）（2026·高二·云南大理·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 8．（多选题）（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 9．（2026·高二·河北衡水·期末）已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 10．（2026·山西·二模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 11．（2026·高二·上海·期中）已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： 12．（2026·高二·云南昆明·期中）（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程． （2）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求． （3）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射后光线所在直线的方程． 13．（2026·高二·上海浦东新·阶段检测）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 14．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为，斜率为的直线l与抛物线C相交于两点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若，求l的方程． 15．（2026·高二·山东菏泽·期末）已知抛物线的准线与圆相切，是上一点. (1)若是抛物线的焦点，为坐标原点，且满足，求； (2)若点的坐标为，求点到点的距离与到轴的距离之和的最小值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $