第13讲 椭圆及其方程（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第13讲 椭圆及其方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：椭圆定义及应用 题型 2：求椭圆的标准方程 题型 3：由椭圆方程求参数 题型 4：椭圆上点的距离最值 题型 5：椭圆焦点三角形问题 题型 6：椭圆的几何性质 题型 7：求椭圆的离心率 题型 8：求离心率的取值范围 题型 9：椭圆相关轨迹问题 题型 10：椭圆的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 椭圆的定义 椭圆的几何性质 椭圆的离心率 焦点三角形 椭圆轨迹问题 椭圆的实际应用 1. 理解椭圆的定义，掌握焦点、焦距的概念，能运用椭圆定义解决距离计算、最值求解等相关问题。 2. 掌握椭圆的两种标准方程形式，理解 a、b、c 之间的数量关系，能根据已知条件求解椭圆的标准方程。 3. 能根据方程表示椭圆的条件求解参数范围，掌握椭圆的范围、对称性、顶点等基本几何性质。 4. 理解椭圆离心率的定义，掌握离心率的计算方法，能求解离心率的取值范围。 5. 掌握椭圆焦点三角形的相关性质，能解决焦点三角形的边长、角度、面积等问题。 6. 掌握与椭圆相关的轨迹方程的求解方法，能运用椭圆知识解决简单的实际应用问题，体会数形结合思想。 学习重点：椭圆的定义与标准方程、椭圆的几何性质、离心率的计算、焦点三角形的相关应用。 学习难点：椭圆离心率取值范围的求解、椭圆相关轨迹方程的推导、椭圆定义与几何性质的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 即时即练如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 即时即练求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 知识点03 椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 即时即练（多选题）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 题型 1：椭圆定义及应用 【典例1-1】（2026·高二·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【典例1-2】（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【变式1-1】（2026·高二·广西·阶段检测）已知平面内两个定点之间的距离是6，动点到这两个定点的距离之和是8，那么动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-2】（2026·高二·重庆·阶段检测）设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（   ） A．4 B．6 C． D． 【变式1-3】（2026·高二·广西南宁·阶段检测）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（   ） A．8 B．12 C．32 D．72 题型 2：求椭圆的标准方程 【典例2-1】（2026·高二·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【典例2-2】（2026·高二·海南·阶段检测）（1）已知直线经过两直线和的交点，且平行于直线，求直线的一般方程； （2）已知圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （3）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程. 【变式2-1】（2026·高三·北京·一轮复习）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程； (2)两个焦点分别是，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8； (3)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点． 【变式2-2】（2026·高二·海南三亚·期中）求满足条件的曲线方程： (1)椭圆C的焦点在x轴上，短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆C的标准方程； (2)圆心在第一象限且在直线上，圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【变式2-3】（2026·高二·浙江宁波·期中）求满足下列条件的椭圆标准方程： (1)焦点坐标为，并且椭圆上一点到两焦点距离之和为10； (2)经过两点. 题型 3：由椭圆方程求参数 【典例3-1】已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3-2】（2026·高二·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【变式3-2】（2026·高二·湖北武汉·开学考试）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·湖北十堰·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·高二·江西·期末）若曲线表示椭圆，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 4：椭圆上点的距离最值 【典例4-1】（2026·高二·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高二·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【变式4-3】（2026·高二·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026·高二·山东青岛·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（  ） A．5 B．5 C． D．4 【变式4-5】（2026·高二·天津北辰·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型 5：椭圆焦点三角形问题 【典例5-1】（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高二·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-1】（2026·高二·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（  ） A． B． C．2 D． 【变式5-3】（2026·高二·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式5-4】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 题型 6：椭圆的几何性质 【典例6-1】（多选题）（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．的周长为 D．点P在圆上 【典例6-2】（多选题）（2026·高二·湖南邵阳·期末）关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 【变式6-1】（多选题）（2026·高二·广西百色·期末）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 【变式6-2】（多选题）（2026·高二·宁夏中卫·期末）已知分别是椭圆：，的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 【变式6-3】（多选题）（2026·高二·安徽·阶段检测）已知椭圆和椭圆，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【变式6-4】（多选题）（2026·高二·山西晋中·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（     ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 题型 7：求椭圆的离心率 【典例7-1】（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆，点A是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 【典例7-2】（2026·高二·上海·期中）已知点分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为______________. 【变式7-1】（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【变式7-2】（2026·高三·四川眉山·阶段检测）已知点是椭圆：上的一点，，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为__________． 【变式7-3】（2026·高二·江苏扬州·期末）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为_______ 题型 8：求离心率的取值范围 【典例8-1】（2026·高二·浙江杭州·期末）已知为椭圆：上一点（不在椭圆长轴上），，分别为的左、右焦点，若的内切圆与相切于点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围为________. 【典例8-2】（2026·高二·广东深圳·期末）记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 【变式8-1】（2026·高二·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【变式8-2】（2026·高二·浙江金华·阶段检测）已知椭圆：，，若任意以为圆心的圆和椭圆至多有两个交点，则椭圆离心率的取值范围为________． 【变式8-3】（2026·高二·全国·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_________ 【变式8-4】已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 题型 9：椭圆相关轨迹问题 【典例9-1】（2026·高二·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【典例9-2】（2026·高二·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 【变式9-1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为___________． 【变式9-2】已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是______． 【变式9-3】已知点是平面直角坐标系上异于的任意一点，过点作直线及的平行线，分别交轴于两点，且，则点的轨迹方程为_____． 【变式9-4】已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为______． 【变式9-5】（2026·高二·河北张家口·期中）平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为______． 【变式9-6】（2026·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 【变式9-7】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是_________． 【变式9-8】（2026·高二·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 题型 10：椭圆的实际应用 【典例10-1】（2026·高二·贵州毕节·期中）一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，，，，则四边形的面积为______. 【典例10-2】（2026·高二·重庆·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为_______. 【变式10-1】（2026·高二·山东·阶段检测）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为______． 【变式10-2】（2026·高二·山东·期中）嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是________. 【变式10-3】（2026·高三·江苏南京·开学考试）数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案：________． 【变式10-4】（2026·高二·重庆·期末）如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程__________.    【变式10-5】（2026·高三·全国·三轮复习）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为______（用，，R表示）． 1．（2026·高二·上海徐汇·阶段检测）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 7．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 为椭圆的右焦点，第一象限内的点在椭圆上，若轴，直线与圆相切于第四象限内的点，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北保定·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为C 上的点且不与 C 的左、右顶点重合， 且平分，则（    ） A． B．2 C． D． 10．（多选题）（2026·高二·贵州·阶段检测）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（     ） A．的长半轴长为2 B．的周长为6 C．的最大值为 D．上存在点，使得 11．（多选题）（2026·高二·四川成都·期末）设为椭圆：上一动点，为左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A．过的直线交于两点，则的周长为 B．的最大值为 C．存在点，使得为直角 D．的取值范围为 12．已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 13．（2026·高二·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 15．（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 16．设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线l的倾斜角为，椭圆的离心率为．如果，求椭圆的方程． 17．（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 18．（2026·高三·全国·一轮复习）点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 19．（2026·福建漳州·三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，且，点在上． (1)求的方程； (2)若点在上且在第一象限，为直角三角形，求点的坐标． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 椭圆及其方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：椭圆定义及应用 题型 2：求椭圆的标准方程 题型 3：由椭圆方程求参数 题型 4：椭圆上点的距离最值 题型 5：椭圆焦点三角形问题 题型 6：椭圆的几何性质 题型 7：求椭圆的离心率 题型 8：求离心率的取值范围 题型 9：椭圆相关轨迹问题 题型 10：椭圆的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 椭圆的定义 椭圆的几何性质 椭圆的离心率 焦点三角形 椭圆轨迹问题 椭圆的实际应用 1. 理解椭圆的定义，掌握焦点、焦距的概念，能运用椭圆定义解决距离计算、最值求解等相关问题。 2. 掌握椭圆的两种标准方程形式，理解 a、b、c 之间的数量关系，能根据已知条件求解椭圆的标准方程。 3. 能根据方程表示椭圆的条件求解参数范围，掌握椭圆的范围、对称性、顶点等基本几何性质。 4. 理解椭圆离心率的定义，掌握离心率的计算方法，能求解离心率的取值范围。 5. 掌握椭圆焦点三角形的相关性质，能解决焦点三角形的边长、角度、面积等问题。 6. 掌握与椭圆相关的轨迹方程的求解方法，能运用椭圆知识解决简单的实际应用问题，体会数形结合思想。 学习重点：椭圆的定义与标准方程、椭圆的几何性质、离心率的计算、焦点三角形的相关应用。 学习难点：椭圆离心率取值范围的求解、椭圆相关轨迹方程的推导、椭圆定义与几何性质的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 即时即练如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【解析】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 即时即练求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【解析】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）设椭圆方程为， 由题可得，解得， 所以所求椭圆标准方程为. 知识点03 椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 即时即练（多选题）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 【答案】BC 【解析】由图知，，因，则是正三角形， 又，则，故椭圆的离心率为，故D错误； 由可得，则， 由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误； 焦距为，故B正确；的周长为，故C正确. 题型 1：椭圆定义及应用 【典例1-1】（2026·高二·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】由椭圆可得：， 根据椭圆的定义，， 则. 故选：D 【典例1-2】（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【答案】D 【解析】因为椭圆C的方程为，所以，由椭圆的定义可得，且，所以. 故选：D. 【变式1-1】（2026·高二·广西·阶段检测）已知平面内两个定点之间的距离是6，动点到这两个定点的距离之和是8，那么动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【解析】因为，是两个定点，，而， 所以由椭圆的定义得，动点P的轨迹是椭圆. 故选：B. 【变式1-2】（2026·高二·重庆·阶段检测）设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】椭圆 ，其中， 是椭圆 上的动点， 根据椭圆的定义可得 到该椭圆的两个焦点的距离之和为. 故选：B. 【变式1-3】（2026·高二·广西南宁·阶段检测）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（   ） A．8 B．12 C．32 D．72 【答案】B 【解析】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B. 题型 2：求椭圆的标准方程 【典例2-1】（2026·高二·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【解析】（1）根据题意可知：椭圆的焦点在轴上，且，， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆方程为， 代入点，可得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【典例2-2】（2026·高二·海南·阶段检测）（1）已知直线经过两直线和的交点，且平行于直线，求直线的一般方程； （2）已知圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （3）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程. 【解析】（1）联立两直线方程，解得，即两直线的交点坐标为. 因为直线平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即. 故直线的一般方程为； （2）圆心在直线上，可设圆心的坐标为. 因为圆经过两点，所以, 即， 即，解得， 所以圆心的坐标为，半径， 故圆的标准方程为； （3）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，即. 又椭圆经过点，所以，解得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，即. 又椭圆经过点，所以，解得，所以， 此时椭圆的标准方程为. 故椭圆的标准方程为；. 【变式2-1】（2026·高三·北京·一轮复习）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程； (2)两个焦点分别是，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8； (3)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点． 【解析】（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为． 由椭圆的定义知， ， 所以，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为． （2）由已知得，因此．又因为，所以， 因为椭圆的焦点在轴上，所以所求的椭圆的标准方程为：． （3）解法一：因为椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为． 由已知得：，又因为，所以． 因为点在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或（舍去）． 因此，，从而椭圆的标准方程为． 解法二：由椭圆的定义，点到两焦点，的距离之和等于， 即 ， 所以，因为，所以，所以椭圆的标准方程为． 【变式2-2】（2026·高二·海南三亚·期中）求满足条件的曲线方程： (1)椭圆C的焦点在x轴上，短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆C的标准方程； (2)圆心在第一象限且在直线上，圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【解析】（1）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为. 由已知，有解得，， 因为焦点在x轴，所以方程为. （2）设圆的标准方程为, 圆心到直线的距离, 由题可知，,解得， 所以圆的标准方程为. 【变式2-3】（2026·高二·浙江宁波·期中）求满足下列条件的椭圆标准方程： (1)焦点坐标为，并且椭圆上一点到两焦点距离之和为10； (2)经过两点. 【解析】（1）由题意可知，， 则， 所以椭圆的方程为； （2）设椭圆的方程为， 将代入得，解得， 所以椭圆的方程为. 题型 3：由椭圆方程求参数 【典例3-1】已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 【典例3-2】（2026·高二·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，即实数的取值范围为． 【变式3-1】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】因为方程表示椭圆，所以， 解得且． 【变式3-2】（2026·高二·湖北武汉·开学考试）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得. 【变式3-3】（2026·高二·湖北十堰·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，可得. 故选：B 【变式3-4】（2026·高二·江西·期末）若曲线表示椭圆，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆需满足，解得且， 故选：B． 题型 4：椭圆上点的距离最值 【典例4-1】（2026·高二·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 【典例4-2】（2026·高二·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 【变式4-1】已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点为， 故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值. 故选：B. 【变式4-2】（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】设为椭圆的下焦点， 由椭圆方程知，，，， 则， 由椭圆的定义得 所以，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式4-3】（2026·高二·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，， 将曲线的方程化为，则圆心为，半径， 由椭圆定义得，即， 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 因为，所以的最小值为. 故选：A 【变式4-4】（2026·高二·山东青岛·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（  ） A．5 B．5 C． D．4 【答案】B 【解析】根据椭圆方程可得：， 所以， 故点为椭圆的焦点，设另一个焦点为， 设圆的圆心为，其半径为， 所以，所以， 要求的最大值，即求的最大值， 因为，所以当三点共线时，的值最大为，而的最大值为， 所以的最大值为. 故选：B. 【变式4-5】（2026·高二·天津北辰·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：D. 题型 5：椭圆焦点三角形问题 【典例5-1】（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 【典例5-2】（2026·高二·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以. 故选：B 【变式5-1】（2026·高二·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B 【变式5-2】（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，， 设，，在中，由余弦定理得， 即，所以， 根据椭圆的定义可知，代入可求得， 故的面积为． 故选： 【变式5-3】（2026·高二·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】椭圆方程，得，，，，. 由椭圆定义，； 已知，即。 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 综上所述或，焦距. 因为，即或,故是直角三角形. 【变式5-4】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 【答案】C 【解析】椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误； 当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误； 时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确； 如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误. 故选：C． 题型 6：椭圆的几何性质 【典例6-1】（多选题）（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．的周长为 D．点P在圆上 【答案】CD 【解析】A：由椭圆的标准方程可知：， 由椭圆的定义可知：，所以本选项说法不正确； B：由椭圆的标准方程可知：， 所以椭圆的焦距为，所以本选项说法不正确； C：的周长为，所以本选项说法正确； D：， 因为，所以， 所以点P在以原点为圆心，半径为的圆上，即圆的方程为， 所以本选项说法正确. 【典例6-2】（多选题）（2026·高二·湖南邵阳·期末）关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 【答案】BCD 【解析】由可知椭圆的焦点在轴上，且长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，离心率为. 故A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD. 【变式6-1】（多选题）（2026·高二·广西百色·期末）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 【答案】BCD 【解析】由椭圆方程可知，，∴，则，，， 对于A，焦距，故A错误； 对于B，离心率，故B正确； 对于C，，， 则的周长为，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 【变式6-2】（多选题）（2026·高二·宁夏中卫·期末）已知分别是椭圆：，的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 【答案】AC 【解析】由椭圆方程：，可知，. 对于D选项，离心率为，D选项错误； 对于A选项，的周长为，A选项正确； 对于B选项，根据椭圆焦半径性质，，取等号条件是为长轴的两个端点， 由题知等号条件取不到，因此，无最小值，B选项错误； 对于C选项，不妨设，由椭圆的定义，则， 中，由余弦定理可得， 从而，即，，C选项正确. 故选：AC 【变式6-3】（多选题）（2026·高二·安徽·阶段检测）已知椭圆和椭圆，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【解析】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上， 且，， 则两椭圆的焦点、顶点均不相同，故AC错误； 两椭圆的离心率均为，即离心率相等，故B正确； 两椭圆有相同的对称轴（为坐标轴）和对称中心（为坐标原点），故D正确； 故选：BD. 【变式6-4】（多选题）（2026·高二·山西晋中·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（     ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解析】由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 题型 7：求椭圆的离心率 【典例7-1】（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆，点A是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】连接，为等边三角形，且，又因为， 在中，由余弦定理可得， 则，故， 解得. 【典例7-2】（2026·高二·上海·期中）已知点分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为______________. 【答案】 【解析】由题意得，又，， 所以，所以， 所以，，所以. 【变式7-1】（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 【变式7-2】（2026·高三·四川眉山·阶段检测）已知点是椭圆：上的一点，，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故答案为： 【变式7-3】（2026·高二·江苏扬州·期末）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为_______ 【答案】/ 【解析】 由可得：， 由角平分线的性质可得：， 所以，设， 由题意，因为，所以， 由余弦定理可得：， 解得：， 又， 所以， 得：， 故答案为： 题型 8：求离心率的取值范围 【典例8-1】（2026·高二·浙江杭州·期末）已知为椭圆：上一点（不在椭圆长轴上），，分别为的左、右焦点，若的内切圆与相切于点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围为________. 【答案】 【解析】若的内切圆与分别相切于，且位于第一象限， 所以，，，如下图示， 由， 且， 由三角形三边关系知，所以， 所以，而，故离心率范围为. 故答案为： 【典例8-2】（2026·高二·广东深圳·期末）记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 【答案】 【解析】显然动椭圆的长半轴长为，设的半焦距为，则，且的离心率亦为， 由椭圆的对称性易知， ∴，即， ①当点在上顶点位置时（临界位置一）， 在中，由余弦定理得：， ②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二）， 满足条件的点有四个，不妨取，如图， ∴，则由椭圆定义可知， 在△中，由余弦定理的推论可知， ∴，解得，即， ∴的离心率的取值范围亦为， 故答案为：. 【变式8-1】（2026·高二·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 【变式8-2】（2026·高二·浙江金华·阶段检测）已知椭圆：，，若任意以为圆心的圆和椭圆至多有两个交点，则椭圆离心率的取值范围为________． 【答案】 【解析】由题意有：设圆的方程为：， 由，所以， 令， 又，所以为开口向上的一元二次函数，对称轴为， 当，即， 所以，所以， 所以存在满足，所以在上有两个零点， 由对称性知，此时圆和椭圆有4个交点，不满足题意； 当时，对称轴，所以在上单调递增， 所以对任意，最多有一个解，即至多有一个零点， 此时圆和椭圆至多有2个交点，满足题意， 则，所以； 当时，对称轴，所以在上单调递增， 所以对任意，最多有一个解，即至多有一个零点， 此时圆和椭圆至多有2个交点，满足题意， 故， 综上，， 故答案为：. 【变式8-3】（2026·高二·全国·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_________ 【答案】 【解析】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点，   ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故答案为：. 【变式8-4】已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【解析】设，则，因为为线段的中点， 所以在轴右侧，且，即， 因为，所以，即，所以离心率的取值范围是. 故答案为： 题型 9：椭圆相关轨迹问题 【典例9-1】（2026·高二·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【答案】 【解析】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆， 因为，， 所以焦距，解得， 因为，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 因此，解得， 动点的轨迹方程是. 【典例9-2】（2026·高二·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 【答案】 【解析】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 【变式9-1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为___________． 【答案】 【解析】设，，. 由可得，，即. 又点为线段上靠近点的三等分点，所以， 即，所以，. 所以，整理得. 故答案为：. 【变式9-2】已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】椭圆的焦点在轴上，则短轴在轴上，所以，． 设，，由为的重心，得则 又为椭圆上一动点，所以，即，所以． 当点在轴上时，不能构成三角形，所以，则， 即点的轨迹方程为． 故答案为：． 【变式9-3】已知点是平面直角坐标系上异于的任意一点，过点作直线及的平行线，分别交轴于两点，且，则点的轨迹方程为_____． 【答案】 【解析】根据题意，设点的坐标为，则过点与直线平行的直线为， 令，得点的纵坐标．同理，过点与直线平行的直线为， 令，得点的纵坐标． 因为，所以， 所以，化简得， 由得，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 【变式9-4】已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】连接，因为圆，所以圆心为，半径， 由垂直平分线的性质可知，则， 而， 故点的轨迹是焦点为，的椭圆， 且，即，则， 因此，点的轨迹方程为． 【变式9-5】（2026·高二·河北张家口·期中）平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式9-6】（2026·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 【变式9-7】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是_________． 【答案】或 【解析】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 【变式9-8】（2026·高二·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 【答案】 【解析】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 题型 10：椭圆的实际应用 【典例10-1】（2026·高二·贵州毕节·期中）一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，，，，则四边形的面积为______. 【答案】25.6 【解析】设椭圆的方程为，由题意知，其中， 令，代入椭圆方程得，所以， 又，所以，结合，所以，， 所以， 所以四边形的面积为. 【典例10-2】（2026·高二·重庆·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为_______. 【答案】 【解析】如下图所示： 不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接， 延长、交于点， 由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点， 又因为为的中点，则， 所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为. 故答案为：. 【变式10-1】（2026·高二·山东·阶段检测）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为______． 【答案】0.02/ 【解析】设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c， 由题意，得，，解得，， 所以这个椭圆的离心率． 故答案为：0.02 【变式10-2】（2026·高二·山东·期中）嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是________. 【答案】 【解析】由题意可知，， 不妨设，则，，，如下图所示： 所以上、下截面椭圆的离心率分别为，， 所以. 故答案为： 【变式10-3】（2026·高三·江苏南京·开学考试）数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案：________． 【答案】 【解析】由题知，因为椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆， 所以，直线围成的矩形外接圆即为该定圆：． 若直线上存在点使为直角， 即，为椭圆切线时，该直线与该圆有交点，， 解得， 故答案为:． 【变式10-4】（2026·高二·重庆·期末）如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程__________.    【答案】或 【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于， 此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中， ,又， 所以， 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即， 所以椭圆的标准方程为或， 故答案为：或. 【变式10-5】（2026·高三·全国·三轮复习）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为______（用，，R表示）． 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c， 由题意可知，， 所以． 所以，所以． 故答案为：. 1．（2026·高二·上海徐汇·阶段检测）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线方程化为，它表示顶点分别为的菱形， 以为焦点，长轴长为26，短轴长为10的椭圆方程为， 在直角坐标系中，作出曲线和椭圆，如下图： 由图形以及椭圆的定义知：若在椭圆上，又在曲线上时， 即或时，； 若在椭圆内部，又在曲线上时，， 所以. 故选：C 2．（2026·高二·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 3．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，则， 则，， 所以椭圆的离心率为. 5．（2026·高三·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线的斜率分别为，得，则，即， 又，因此，而， 于是，即，所以的离心率． 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 7．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 为椭圆的右焦点，第一象限内的点在椭圆上，若轴，直线与圆相切于第四象限内的点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为轴，为椭圆的右焦点， 所以，， 由题意，存在且不为零，设，， 则到的距离，解得（负值舍去）． 又因为，解得，即， 所以． 9．（2026·河北保定·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为C 上的点且不与 C 的左、右顶点重合， 且平分，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】如图 设，由得，则， 因，则， 又因平分，则，即，故， 因点P为C 上的点，则，即，联立解得， 因，则，设， 由余弦定理，，解得，即. 10．（多选题）（2026·高二·贵州·阶段检测）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（     ） A．的长半轴长为2 B．的周长为6 C．的最大值为 D．上存在点，使得 【答案】ABD 【解析】对A，由题意，    解得，A正确； 对B，由题意，的周长为，B正确； 对C，的最大值为，C错； 对D，当为短轴端点时，，此时，D正确. 11．（多选题）（2026·高二·四川成都·期末）设为椭圆：上一动点，为左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A．过的直线交于两点，则的周长为 B．的最大值为 C．存在点，使得为直角 D．的取值范围为 【答案】AD 【解析】由题可知，，， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，当为上下顶点时，最大值为，B错误； 对于C，当为上下顶点时，最大，此时，故这样的点不存在，C错误； 对于D，设（，即），则，所以， 是增函数， 因为，，所以的值域为， 即的取值范围为，D正确. 12．已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【解析】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 13．（2026·高二·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 【答案】 【解析】由题意可得，椭圆长轴为6，短轴为4，焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为, 则，即, 所以椭圆的标准方程为. 14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【答案】 【解析】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 15．（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 【解析】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，，，所以的离心率． （2）依题意，设，则，， 因此， 则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以的最大值为，最小值为. 16．设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线l的倾斜角为，椭圆的离心率为．如果，求椭圆的方程． 【解析】 解法一（常规解法）：由，得，则椭圆方程为，即， 因为直线过右焦点，且倾斜角为，所以直线l的方程为， 联立，消去得： ． 设，则， 所以，解得， 所以椭圆方程为： ． 解法二（硬解定理）：设直线方程，则， 由过焦点的弦长公式，得， 化简得，又，∴，解得，椭圆方程为． 17．（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 【解析】（1）由题意知，，；故，； 由可得：，解得，故； 故椭圆的标准方程． （2）设，线段的中点坐标为； 联立直线与椭圆方程： 可得：； 则，解得：； 故，； 则，； 则，，即，整理可得：； 故的中点轨迹为：； 因为，故，故； 综上，轨迹方程为． 18．（2026·高三·全国·一轮复习）点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 【解析】因为点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数， 所以，整理得．即， 则M的轨迹方程为； 19．（2026·福建漳州·三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，且，点在上． (1)求的方程； (2)若点在上且在第一象限，为直角三角形，求点的坐标． 【解析】（1）解法一：由题意，得，解得， 所以的方程为． 解法二：由题意，得椭圆的左、右焦点分别为，，点在上， 所以，， 所以，， 所以的方程为． （2）解法一：设，，，由题意，得，． 因为点在上且在第一象限，为直角三角形， 所以或． 若，则，代入椭圆的方程得，解得， 所以； 若，则①， 又在上，所以②， 联立①②，解得，所以． 综上，点的坐标为或． 解法二：因为点在上且在第一象限，为直角三角形， 所以，或． 若，则，代入椭圆的方程得，解得， 所以； 若，则， 因为，即， 解得． 设，，， 所以，即，所以． 又在上，所以，所以，即． 综上，点的坐标为或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $