预习14 双曲线及其方程（3知识点+11题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习14 双曲线及其方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 知识点 2 ：双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 知识点 3 ：双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 【题型1双曲线的定义及其应用】 1．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【答案】C 【详解】对于双曲线，可得，则. 设双曲线的左右焦点分别为，已知点到右焦点的距离为19，即. 根据双曲线的定义，则有. 可得或. 当时，； 当时，. 所以点到左焦点的距离为或. 故选：C. 2．（多选）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 【答案】AC 【详解】由题，，圆的半径为3，连接， 则， 当点在圆内时，如图， 所以， 所以此时点的轨迹为以为焦点的椭圆； 当点在圆上时，如图，为圆的弦， 所以点的轨迹为点； 当点在圆外时，如图， 则， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线. 综上，点的轨迹可能为椭圆和双曲线. 故选：AC. 3．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 【题型2求双曲线的标准方程】 4．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等轴双曲线可得： 且， 因为，所以， 又焦点在轴上，故得双曲线方程为：， 故选：B． 5．若双曲线的一个焦点为，则等于（   ） A． B． C． D．8 【答案】D 【详解】根据双曲线标准方程特点分析可知，且，， 因为双曲线的一个焦点为，所以， 由知：，解得， 故选：D 6．以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 7．经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】设双曲线的标准方程为， 代入点得： ，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 8．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为； 【题型3根据方程表示双曲线求参数】 9．曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 10．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C 11．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程表示双曲线， ，解得或 的取值范围是 故选：D. 12．（多选）已知曲线，下列说法正确的有（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】ACD 【详解】对于A，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，A正确； 对于B，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，B错误； 对于C，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，C正确； 对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，D正确. 故选：ACD 13．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 【题型4双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值】 14．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 15．已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，， 因为P在双曲线上，所以，所以， 连接，则， 因为， 所以，当三点共线时取等号， 即点和点Q距离的最大值为3， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质的应用，解题的关键是利用已知条件结合双曲线的性质可得，，考查数形结合的思想，属于中档题. 16．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则， 所以，且，所以， 的周长为， 当且仅当M，P，A三点共线时取等号， 则周长的最小值为． 故选：B． 17．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 18．已知，动点M满足，则△MNB周长的最小值为 . 【答案】10 【详解】解：动点M的轨迹为双曲线的左支，，△MNB的周长最小时，最小，，又， 当且仅当N，M，A三点共线且M在线段AN上时，等号成立， ∴△MNB的周长为. 故答案为：10 【题型5双曲线的焦点三角形】 19．设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. 故选：C. 20．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【详解】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 21．过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D 22．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【详解】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 23．已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 . 【答案】4 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长， 而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故答案为：. 24．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与双曲线右支相交于A，B两点（点A在第一象限），且，则的面积等于 ． 【答案】 【详解】因为，则， 又因为，直线l的斜率为，其倾斜角为，即， 在中，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 即，所以的面积. 故答案为：. 【题型6双曲线的简单几何性质】 25．如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为12.3cm）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为4.1cm，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】设双曲线的焦距为，实轴长为.依题意可得，，则. 故选：C. 26．已知双曲线的离心率为，虚半轴长为2，则的焦距为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设的半焦距为，依题意，则，， 所以的焦距为. 故选：D 27．若双曲线的实轴长为4，则 ． 【答案】2或 【详解】当，即时， 双曲线的焦点在轴上，则，得， 当，即时， 双曲线的焦点在轴上，则，解得， 所以或． 故答案为：2或. 28．（多选）已知双曲线和，其中，且，则（   ） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 【答案】BD 【详解】双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为， 双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为，故A错误； 双曲线和焦距均为，故B正确； 双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，故C错误； 双曲线的渐近线为， 双曲线的渐近线为，故D正确． 故选：BD. 29．（多选）已知双曲线：，则（    ） A．的实轴长是虚轴长的9倍 B．的渐近线方程为 C．的焦距为4 D．的离心率为 【答案】BD 【详解】对于A，由双曲线方程可得， 故得E的实轴长是虚轴长的3倍，故A错误； 对于B，E：的渐近线方程是，故B正确； 对于C，E的焦距为，故C错误； 对于D，E的离心率为，故D正确. 故选：BD. 【题型7求双曲线的离心率】 30．设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可作图如下： 由双曲线，则渐近线方程为，右焦点，， 易知，，在中，， ∵， ∴，∴离心率. 故选：D. 31．设双曲线的左、右焦点分别为，，点在曲线上，，，，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】因为双曲线的左、右焦点分别为，，且，， 由双曲线的定义，可得，所以， 又因为， 由余弦定理得， 可得，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】 如图，由题意，令，则，，， 因为以为直径的圆过，则， 又为梯形，易知，所以， 则在中，由勾股定理可得，整理得， 因为，所以解得， 在中，由勾股定理可得， 且，则， 在中，由余弦定理可得， ， 解得，，整理得， ，即 故答案为：. 33．双曲线，左、右焦点为，，右支上有一点，，的内切圆与外接圆的半径之比为，则双曲线离心率为 ． 【答案】 【详解】设的内切圆半径为，外接圆半径为，，． 由余弦定理得：①， 又②， ①②，与①相加得： ， ，， 由得 平方整理得：， 即，故， 故答案为：． 34．已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设双曲线的右焦点为，取的中点为，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为，且，所以，所以， 所以，由可知，所以， 又，所以，所以， 所以，在中，，， 所以， 由得，所以C的离心率为. 故选：D 35．已知直线垂直于轴，交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线，与渐近线交于和两点. 由为等边三角形，可知， 即，化简可得. 故双曲线的离心率. 故选：C 【题型8求双曲线离心率的取值范围】 36．若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知双曲线的一条渐近线的斜率为， 依题意可得，所以 所以双曲线离心率，又， 可知双曲线离心率的取值范围是. 故答案为： 37．记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为 ．（请用区间表示） 【答案】 【详解】双曲线的渐近线的斜率， 若过原点的直线与双曲线C有公共点， 则直线的斜率小于，即，则， 所以离心率的取值范围是. 故答案为： 38．已知椭圆与双曲线有公共焦点，分别为其左､右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 由正弦定理得. ， ，故， ， ， ， ， ，即， ， 由函数性质知在上单调递增， ，即. 故答案为： 39．如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，由双曲线的定义可知，， 又四边形为等腰梯形，且，则， 则， 在中，由余弦定理可得， ， 即， 化简可得，即，解得， 又，所以. 故选：D 40．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设焦点在轴上，点在第一象限． 点在线段的垂直平分线上，． 由椭圆、双曲线的定义得：，，，整理得， ，即，， ,其中. 令 则. ∵当时，，∴在单调递增， ，∴，即. 故选：B. 【题型9 求双曲线的渐近线】 41．已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形. 因为，所以，故四边形为矩形， 由双曲线定义得，在直角中，， 由，得，解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故选：A. 42．曲线的左，右焦点为，C上有一点P，与y轴交于点Q，满足以P为圆心，为半径的圆与x轴相切，恰交y轴于Q，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题：轴，故， 由定义知，， 又，为中点，所以， 所以， 故C的渐近线方程为， 故选：C. 43．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于两点.若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，又， 则， 由双曲线定义，可得，则， 所以，即，解得， 在中，由余弦定理，可得， , ，则， ， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 44．已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的内切圆分别切，于点，， 则，，， 因为，所以， 得， 所以，即，① 因为，所以， 即，②， 所以①+②，得，得， 因为，所以，所以， 所以双曲线：的渐近线方程为， 即. 故选：D. 45．已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设，由，得， 由，可得，即，则， 又，得，即， ，即，解得， ，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 【题型10 与双曲线相关的轨迹问题】 46．已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 47．已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 48．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 49．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 50．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 【答案】 【详解】 由题意可知，点在线段的垂直平分线上， 所以， 又点是圆上一动点， 所以． ①当时，； ②当时，， 所以的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左､右焦点，实轴长为的双曲线， 可得， 所以的轨迹的方程为． 【题型11双曲线的实际问题】 51．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 52．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东， 故选：A. 53．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为 ．    【答案】 【详解】由题可知，A，D共线，，B，C共线，如图，    设，则，又， 所以，， 又，所以， 所以，解得， 则， 而， 则， 化简得， 所以． 故答案为：. 54．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为 cm. 【答案】/ 【详解】 以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设双曲线方程为，由已知可得，且， 所以，即，所以双曲线方程为. 由题知该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm， 所以双曲线过点和，代入双曲线方程得： ，解得：. 所以，即喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 55．为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领海巡航.某日，正巡逻在A处的“唐山号”突然发现来自P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯郸号”正分别位于如图所示的B、C两处，其中A在B的正东方向相距6海里处，C在B的北偏西30°方向相距4海里处.由于B、C比A距P更远，因此，4秒后B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1海里），试确定疑似敌舰相对于A点“唐山号”的位置.    【答案】在A的北偏东30°方向，相距10海里处. 【详解】取A、B所在直线为x轴，线段AB的中点O为原点建立直角坐标系，如图，，    依题意，，则点P在以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，方程为， 又B、C同时测得同一信号，即有，则点P又在线段BC的中垂线上， 而线段BC的中点，直线BC的斜率为， 线段BC的中垂线方程为，即， 由方程组，解得，即，直线的斜率， 即直线AP的倾斜角为，， 所以P在A的北偏东30°方向，相距10海里处. 一、单选题 1．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 2．若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以与是双曲线的焦点， 因为双曲线上的点到点的距离为4，且， 所以或，又，所以. 故选：B 3．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 4．双曲线的右焦点为，点P，Q分别在的两条渐近线上.若且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】设，不妨设点在上，点在上，由， 得，设直线PF的方程为，由，解得， 由，得是PF的中点，则， 因此，解得，所以双曲线的离心率为2. 故选：C 5．已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 6．双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，且，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由双曲线定义可知： ，且， 不妨设， 所以，， 则，， 在中，， 由余弦定理得 ， 即， 即， 解得，舍去负值， 在中，由余弦定理得 ， 即， 即，结合， 即得， 故得，即， 设， 则，， 而， ． 故选：． 7．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则最小值为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】B 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接 所以 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：B 8．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意知，表示的曲线为双曲线的右支， 点为双曲线的左焦点，光线射向双曲线上的点， 由双曲线的光学性质可知，反射光线所在直线过右焦点， 由已知，，所以， 点到直线：的距离，即， 所以， 所以，，且， 所以，,又，得， 所以，得， 故选：B. 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴的椭圆 C．若，则是焦点在轴的双曲线 D．若，则是直线 【答案】BC 【详解】由题意曲线， 若,则,为两条平行直线,若，则曲线为，是直线，D错误. 当且时，曲线，即， 当时，即且时，曲线为椭圆，所以A错误； 若，，是焦点在轴的椭圆，B正确； 若，则，是焦点在轴的双曲线，C正确； 故选：BC 10．双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 三、填空题 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 【答案】4 【详解】由双曲线定义可得， 所以， 故周长为 故答案为：4 12．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 【答案】6 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：    所以，又， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故答案为：6 13．已知双曲线的右焦点为，其左、右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交于两点，直线与交于点，若与的面积相等，则的离心率为 ． 【答案】2 【详解】双曲线左顶点，右顶点，右焦点（其中， 将代入双曲线方程可得，解得， 不妨设和， 直线的斜率为，其方程为：， 同理可得直线的方程为：，直线的方程为：， 即直线的一般式方程为， 联立直线与直线，解得：，即， 因为与的面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 即：，因为，所以化简得，即， 故答案为：2 四、解答题 14．曲线 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）曲线表示双曲线，则， 即，解得. （2）当时，曲线为双曲线， 点在曲线上，设，则，所以， 因为， 所以， 解得，故点的横坐标为. 15．求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)求过点，的双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，，即， 两边平方得， 整理得. （2）设双曲线的方程为，将，代入得： ，解得， 所以双曲线方程为. 16．已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的焦距为， 半焦距，右焦点， 右焦点到渐近线的距离为， 一条渐近线方程为，即， ，得， ， 双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义可知，， ， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故的最小值为. 17．是双曲线C：上任意一点. (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：由已知可得，，，所以双曲线的渐近线方程为. 到直线，即直线的距离， 到直线，即直线的距离， 所以，点P到双曲线C的两条渐线的距离的乘积为 . 又在双曲线上，所以，所以， 所以是一个常数. （2）解：因为，所以，所以或. 所以． 当时，的最小值为， 所以的最小值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习14 双曲线及其方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 知识点 2 ：双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 知识点 3 ：双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 【题型1双曲线的定义及其应用】 1．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 2．（多选）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 3．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【题型2求双曲线的标准方程】 4．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 5．若双曲线的一个焦点为，则等于（   ） A． B． C． D．8 6．以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 . 8．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【题型3根据方程表示双曲线求参数】 9．曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知曲线，下列说法正确的有（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 13．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ． 【题型4双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值】 14．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 15．已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 16．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 18．已知，动点M满足，则△MNB周长的最小值为 . 【题型5双曲线的焦点三角形】 19．设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 20．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 21．过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 22．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 23．已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 . 24．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与双曲线右支相交于A，B两点（点A在第一象限），且，则的面积等于 ． 【题型6双曲线的简单几何性质】 25．如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为12.3cm）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为4.1cm，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．3 D．2 26．已知双曲线的离心率为，虚半轴长为2，则的焦距为（   ） A． B． C．4 D． 27．若双曲线的实轴长为4，则 ． 28．（多选）已知双曲线和，其中，且，则（   ） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 29．（多选）已知双曲线：，则（    ） A．的实轴长是虚轴长的9倍 B．的渐近线方程为 C．的焦距为4 D．的离心率为 【题型7求双曲线的离心率】 30．设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．设双曲线的左、右焦点分别为，，点在曲线上，，，，则的离心率为 ． 32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为 ． 33．双曲线，左、右焦点为，，右支上有一点，，的内切圆与外接圆的半径之比为，则双曲线离心率为 ． 34．已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ） A．3 B． C．2 D． 35．已知直线垂直于轴，交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【题型8求双曲线离心率的取值范围】 36．若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是 ． 37．记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为 ．（请用区间表示） 38．已知椭圆与双曲线有公共焦点，分别为其左､右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 . 39．如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 40．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型9 求双曲线的渐近线】 41．已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 42．曲线的左，右焦点为，C上有一点P，与y轴交于点Q，满足以P为圆心，为半径的圆与x轴相切，恰交y轴于Q，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 43．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于两点.若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 44．已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 45．已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型10 与双曲线相关的轨迹问题】 46．已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 47．已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 48．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 49．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 50．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 【题型11双曲线的实际问题】 51．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 52．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 53．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为 ．    54．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为 cm. 55．为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领海巡航.某日，正巡逻在A处的“唐山号”突然发现来自P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯郸号”正分别位于如图所示的B、C两处，其中A在B的正东方向相距6海里处，C在B的北偏西30°方向相距4海里处.由于B、C比A距P更远，因此，4秒后B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1海里），试确定疑似敌舰相对于A点“唐山号”的位置.    一、单选题 1．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 2．若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 4．双曲线的右焦点为，点P，Q分别在的两条渐近线上.若且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．4 5．已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 6．双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，且，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 7．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则最小值为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 8．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴的椭圆 C．若，则是焦点在轴的双曲线 D．若，则是直线 10．双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 三、填空题 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 12．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 13．已知双曲线的右焦点为，其左、右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交于两点，直线与交于点，若与的面积相等，则的离心率为 ． 四、解答题 14．曲线 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标. 15．求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)求过点，的双曲线的标准方程． 16．已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 17．是双曲线C：上任意一点. (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)，求的最小值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$