第16讲 直线与圆锥曲线的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第16讲 直线与圆锥曲线的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：直线与圆锥曲线位置关系判定 题型 2：圆锥曲线的切线问题 题型 3：圆锥曲线的弦长计算 题型 4：圆锥曲线的中点弦问题 题型 5：直线与圆锥曲线相交面积求解 题型 6：圆锥曲线的定值问题 题型 7：圆锥曲线的定点问题 题型 8：圆锥曲线的最值与取值范围 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直线与圆锥曲线的位置关系 判别式法 圆锥曲线的切线 弦长公式 中点弦与点差法 相交图形面积 定点问题 定值问题 最值与取值范围 1. 掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，能通过联立方程结合判别式判断相交、相切、相离三种位置关系。 2. 掌握圆锥曲线切线问题的求解思路，能求过曲线上一点的切线方程及过曲线外一点的切线方程，理解切线的几何特征。 3. 掌握弦长公式的推导与应用，能准确求解直线与圆锥曲线相交所得的弦长。 4. 掌握中点弦问题的常用解法（点差法），能处理弦中点相关的参数求解、轨迹方程等问题。 5. 能求解直线与圆锥曲线相交形成的三角形、四边形等图形的面积，掌握面积的计算与优化方法。 6. 理解圆锥曲线定点、定值问题的核心逻辑，能通过代数推导证明或求解定点、定值，体会化归思想。 7. 掌握圆锥曲线最值与取值范围问题的分析方法，能结合函数性质、基本不等式求解相关问题，提升综合运算与逻辑推理能力。 学习重点：直线与圆锥曲线位置关系的判定、弦长公式与中点弦的应用、定点定值问题的求解、最值与取值范围的分析。 学习难点：定点定值问题的思路构建、最值与取值范围的综合求解、直线与圆锥曲线综合问题的运算简化与几何条件的代数转化。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与圆锥有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示（以椭圆为例）． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量,得到关于另一个变量的方程,则有下列结论： 当，时，直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离； 当，时，直线与圆锥曲线有且仅有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 当时， 直线与圆锥曲线有两个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离． 即时即练直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】曲线， 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 知识点02 弦长问题 设直线与圆锥曲线的两个交点为,则或 即时即练已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 【解析】（1）由题意可得，解得，， 故双曲线的方程为； （2）联立，则， 设, 则，， 故弦长为， 解得. 题型 1：直线与圆锥曲线位置关系判定 【典例1-1】（2026·高二·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【解析】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 【典例1-2】（2026·高二·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【解析】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 【变式1-1】（2026·陕西榆林·三模）已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又直线过点与的右支有公共点， 则直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为. 【变式1-2】（2026·高二·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 【变式1-3】过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【解析】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有两个公共点，不符合题意； 若直线的斜率为，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， 联立可得， 由，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，满足条件的直线共条. 题型 2：圆锥曲线的切线问题 【典例2-1】（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 【解析】（1）因为（），则其到圆心距离减去半径为2，故. （2）由（1）可知，抛物线的标准方程为：. 如图： 因为过点的切线一定有斜率，故设切线方程为：，即， 代入得：，整理得：. 因为直线与抛物线相切，所以或. 当时，由，所以切点； 当时，由，所以切点. 所以 【典例2-2】（2026·高二·四川遂宁·阶段检测）已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，. (1)求椭圆C的离心率和焦点坐标； (2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度. 【解析】（1）设椭圆方程为 根据题意可得，解得 ∴椭圆方程为，则，且焦点在轴上 ∴求椭圆C的离心率，焦点坐标 （2）设，根据题意可得，即 则 ∵ ∴当，即时，取到最大值 由题意可知切线l的斜率存在，设切线l：，即 联立方程，消去得 根据题意可得：，解得 ∴切线l：，与y轴交于点 ∴ 【变式2-1】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过抛物线上一点作曲线的两条切线分别交抛物线于，两点，求直线的斜率. 【解析】（1）设，由，，， ∴可得：， 故动点的轨迹为； （2）由题意知，切线斜率存在且不为，设切线方程为， 联立，得，化简得， ，解得， ∴切线方程为和， 联立，，解得，， ∴. 【变式2-2】（2026·高二·上海·期中）已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 【解析】（1）对于双曲线，可得， 则，即，因此左焦点， 双曲线渐近线斜率为，在右支上，当趋向无穷远时，直线斜率趋近，且永远取不到， 因此的取值范围是. （2）① 设切线方程为，即，代入双曲线方程， 整理得： ， 因为是切线，判别式，化简整理得： . ②存在两条斜率存在的切线，说明上述关于的方程有两个不相等的实根， 因此： ， 结合，解得或 ， 所以 的取值范围为 由韦达定理，， 当时，，得； 当时，，得， 因此的取值范围为. 【变式2-3】（2026·高二·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【解析】（1）由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 题型 3：圆锥曲线的弦长计算 【典例3-1】（2026·高二·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【解析】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 【典例3-2】（2026·高三·宁夏中卫·阶段检测）已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 【解析】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线的方程为， 联立椭圆方程，得， 设，所以， 则. 【变式3-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）已知直线，椭圆. (1)求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； (2)当时，求直线被椭圆截得的弦长. 【解析】（1）因为，整理可得， 由，解得， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. （2）当时，直线的方程为， 设直线与椭圆的交点为， 由，消去得：， ，， . 【变式3-2】（2026·高二·福建福州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【解析】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得，，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得， ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 【变式3-3】（2026·高二·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【解析】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 题型 4：圆锥曲线的中点弦问题 【典例4-1】（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【解析】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【典例4-2】（2026·高二·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【解析】（1）因为动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）由题意点在椭圆内，且直线l的斜率存在且不为0， 设点、，因为为线段的中点， 所以 ， 所以直线的方程为即. 【变式4-1】（2026·高二·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【变式4-2】（2026·高二·贵州黔南·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）设，则由题意可得， 化简得，故的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 故设直线，， ，得， 则， 则， 因线段的中点坐标为， 则，， 解得，经检验，满足， 则直线的方程为. 【变式4-3】（2026·高三·全国·三轮复习）已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 【解析】设直线与双曲线交于， 中点，则， 将代入双曲线方程有， 两式相减得：， 代入中点坐标：，即斜率. 得. 将直线方程代入双曲线方程得， 整理得， ， 方程有两个不同的实根，所以直线与双曲线有两个不同的交点， 故存在符合条件的直线. 【变式4-4】（2026·高二·重庆北碚·期末）已知椭圆的左､右焦点为､，离心率为，过的直线交C于A､B两点，若的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆上存在两点关于直线对称，求m的取值范围. 【解析】（1）周长为，即，.又因为，， 椭圆方程， （2）设椭圆上两点，关于对称，则的方程为 ，由消去有： 由得① 又 因为的中点在直线上，所以，即 所以②，由①②得：，即 题型 5：直线与圆锥曲线相交面积求解 【典例5-1】（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，且到抛物线准线的距离是． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线的准线交于点，证明：轴； (3)已知点，抛物线的准线与轴的交点为，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【解析】（1）抛物线：的焦点为，准线为， 因为焦点到抛物线准线的距离是，所以， 所以抛物线的方程为． （2） 由题意直线过焦点， 设的方程为，，， 由，得， ， ，， 直线的斜率，所以直线的方程为， 抛物线的准线方程为，代入得，即， 又，所以点的纵坐标， 所以，即与的纵坐标相等， 所以直线平行于轴，从而轴． （3）由（2）知的方程为，即， 点，点， 因为的面积与的面积相等， 所以到直线的距离相等，即，解得， 所以直线的方程为． 【典例5-2】（2026·高二·天津·阶段检测）已知椭圆的焦距为，其左顶点为A，上顶点为B，且． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【解析】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的方程为； （2）设、， 联立，消去可得， ，即， ，， 点到直线距离， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的面积的最大值为，此时直线的方程为. 【变式5-1】（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程. 【解析】（1）因为椭圆的离心率， 所以，则， 因为点在椭圆上，所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）设直线， 联立，化简得， ，解得. 由韦达定理得， 则， 所以， 又因为， 所以. 当时，即时，的面积取到最大值， 此时，直线或. 【变式5-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 【解析】（1）因为椭圆过点，所以，即， 又因为以长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且，即， 所以，故椭圆的方程为. （2）由（1）知，设过点的直线的方程为，设， 联立方程组，代入化简得：， 由韦达定理：， 又因为直线的斜率为：，直线的斜率为：， 且 所以， 解得，此时直线：， 方程变为， 判别式满足题意，且， 此时弦长， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 【变式5-3】（2026·高二·上海·期中）如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 【解析】（1）设，，根据对称性，有. 因为，都在椭圆上，所以，. 两式相减得，. 所以为定值. 所以时，. （2）当的倾斜角为时，与重合，舍去. 当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，. 设直线的方程为，代入. 得. 显然，，. 所以 设，所以，. 所以. 当且仅当即时等号成立，所以. 所以平行四边形面积的最大值为. 题型 6：圆锥曲线的定值问题 【典例6-1】（2026·高二·河南·阶段检测）已知双曲线的实轴的长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由双曲线的实轴的长为，得，所以， 又，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 联立，消去并整理，得 ， 由直线与双曲线有两个交点，得， 且 ，解得且． 设，则，故， 由且，得或， 将代入，整理得， 因为，所以，即 ， 故线段的中点的轨迹方程为或． （3）的面积是定值．理由如下： 设，则，双曲线的渐近线方程分别为 ． 点到两条渐近线的距离分别为， 故．分别取两条渐近线的法向量为， 则， 由于与两条渐近线垂直，所以，与该夹角互补 故， 所以的面积， 故的面积为定值． 【典例6-2】（2026·浙江台州·二模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【解析】（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为. （2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立， 消去y并整理得， 由，即，解得，. 所以切线方程分别为，. （ⅱ）设且，则且，联立， 所以，则， 由相切关系知，则， 所以，则， 由，则， 所以，则，得， 所以，即， 由，联立直线得，则， 由，联立直线得，，则， 因为，，， 所以，即， 故为定值，且定值为90°. 【变式6-1】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，抛物线的焦点在双曲线上，过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积为定值． 【解析】（1）抛物线的焦点为， 由题意得， 所以双曲线的标准方程为； （2）∵过点，由题意可知的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，， 则 ， ， ∴ ． 故直线与的斜率之积为定值． 【变式6-2】（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点. (1)若斜率为1的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积； (2)设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为定值. 【解析】（1） 如图所示，由题可知：，，所以，所以，， 不妨设，则联立方程：，解得：，所以，， 则 ，所以 由弦长公式可得：， 点到直线距离为： 则. （2）如图所示， 如图所示，不妨设，，，则， 则，，所以， 点和均在双曲线上，所以，， 解得：，， 所以 ，即：为定值3. 不妨设，，，则，则，， 所以， 点和均在双曲线上， 所以，，解得：，， 所以 ， 即为定值3. 【变式6-3】（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）已知，点，设为圆内的一个动点，为线段的中点.若始终满足，动点的轨迹记为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线，点，直线过点与曲线交于两点，与直线交于点. ①若，求直线的斜率； ②若记直线的斜率分别为问是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）取关于轴的对称点，连接，则， 故， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 其中，，则，则曲线C的方程为； （2）设， 依题意，直线的斜率必定存在，设， ，可得，恒成立， 则有，， ①若，则有， 解得，故其斜率为； ②易得，， ，同理可得， 则，而， 由，，则，则，故，即定值为. 题型 7：圆锥曲线的定点问题 【典例7-1】（2026·高二·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆的左右焦点间的距离为2，椭圆C的左顶点到左焦点的距离为1. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，斜率存在且不为0的直线l与C相交于点A，B（A在B的左侧），设直线的斜率分别为且 ①求证：直线l过定点； ②设直线相交于点M，求证：为定值. 【解析】（1）因为焦距为2，所以， 又左顶点到左焦点的距离为1，所以，所以， 故椭圆方程为； （2）①设直线方程为， 与椭圆联立，消去得， 则即. 设，由韦达定理得：； 直线的斜率，直线的斜率， 因此， ， 即，整理得， 所以，故直线过定点. ②直线的方程，因为， 故直线可写为，即， 直线过和，其方程为， 联立直线与的方程，消去后解得，即； 同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故， 所以 【典例7-2】（2026·高二·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【解析】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【变式7-1】（2026·高二·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【解析】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【变式7-2】（2026·高二·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【解析】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 【变式7-3】（2026·高二·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【解析】（1）（1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 【变式7-4】（2026·高二·浙江宁波·期末）已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求的方程； (2)设为的左、右顶点，过右焦点的直线与交于，两点（不与点重合）. （i）求的最大值； （ii）记的斜率分别为，证明：为定值. 【解析】（1）由椭圆的离心率为，且在曲线上， 可得，解得，所以椭圆的方程为. （2）（i）设直线的方程为，且，， 联立方程组，整理得， 所以，， 由椭圆，可得，所以， 所以， 令，则， 因为，所以当，即时，所以的最大值为. （ii）由，且， 可得，， 所以， 由（i）知，所以 . 题型 8：圆锥曲线的最值与取值范围 【典例8-1】（2026·高二·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 【解析】（1） 椭圆，得，，​， 上顶点，焦点， ， 根据椭圆的定义：，焦距， 周长； （2）设，由垂直性质得， ， ， 点积展开得： ， 又在椭圆上，满足， 代入上式得： ，得， 回代得​，即， 故的坐标为； （3）设， ，则， 距离平方为： ， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 最大值在对称轴处取得：即时，，得， 最小值在端点处取得：即时， ，得 故动点到点距离的最大值为​​​，最小值为. 【典例8-2】（2026·高二·重庆·阶段检测）设抛物线 的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知  . (1)求C的方程； (2)过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于 . ①证明:直线 MN 过定点； ② 求的最大值. 【解析】（1）由抛物线的定义知，， 不妨设点在第一象限，准线与轴的交点为， 因为，故为等边三角形，则， 因为，所以，则，得， 故抛物线方程为； （2）①设, 易知直线的斜率存在且不为，故设， 联立，得， 则，得， 则， 易知直线的斜率存在，若斜率不为，则设, 令，得，故， 因为，所以直线的斜率为， 则，即，此时直线 MN 过定点； 若直线的斜率为，则，则, 则，此时，，则直线，过原点， 故直线 MN 过定点； ②易知直线的斜率存在，联立得， 则， 则， 由①知，，与联立得，， 则，故， 则， 因为在上单调递增，所以， 所以，此时，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 【变式8-1】（2026·高二·河北衡水·期末）已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． (1)求抛物线的方程． (2)若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． (3)过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值． 【解析】（1）因为抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线的距离少， 所以抛物线的准线为直线． 由抛物线的定义知，所以， 所以抛物线的方程是． （2）设，则的重心． 由于直线 的斜率， 则，所以， 故 的重心在直线上运动． （3）由（1）知焦点．不妨设点 在 轴上方． ①当直线的斜率不存在时，，则 ． 联立方程组，解得，所以． 同理，由，得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，消去并整理， 得，则， 所以 ．而直线 的方程是， 联立方程组，解得，所以． 因为，所以，同理，． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立．所以． 因为，故的最小值是． 【变式8-2】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 【解析】（1）设，，由椭圆的定义可知的周长为， 所以，所以离心率. （2）由（1）可知，又，所以，所以椭圆的方程为. ①当直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 四边形的面积； ②当直线，的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，，，由，可得，． 所以，． 所以． 设的方程为，同理可得． 所以四边形的面积 ， 因为，当且仅当时取等号． 所以，即此时. 由①②可知，四边形面积的范围为. 【变式8-3】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 【解析】（1）由题意知，则；由，则， 故椭圆的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 联立，得， 由，得， 设，，则，， 则， 因为，所以，即， ∴，则或， 综上，斜率范围为. 1．（2026·高二·北京海淀·期末）已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的方程为，所以圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则（其中为弦长）， 因为弦长不小于，所以，即， 两边同时平方可得，移项可得，即. 选项A： 抛物线的焦点为，准线方程为， 当直线为时，圆心到直线的距离， 满足，但直线与抛物线无公共点，A错误； 选项B：圆的圆心为，半径为， 当直线为时，直线与圆无公共点，B错误； 选项C：当直线为时，到圆心的距离，满足弦长条件， 将代入双曲线方程，得，， 则方程无实数解，所以直线与双曲线没有公共点，C错误. 选项D：椭圆，原点在椭圆内部，该椭圆上的点到中心距离的范围为 则直线一定过椭圆内部或椭圆上的点， 所以直线与椭圆一定有公共点，D正确. 故选：D. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：，点，其中.过点作椭圆的两条切线，切点分别为，. (1)求直线的方程，并用表示； (2)若，求点的坐标及两条切线的方程. 【解析】（1）设过点的切线方程为，与椭圆方程联立， 得①，整理为， 其中，得， 代回①得，即，得， 因此两个切点，的横坐标均为，故切点弦的方程为．又切点在椭圆上，所以． 即．故．因为，所以． （2）点到直线：的距离为．所以． 即． 由题意． 当时，． 又函数在上为正数，且是增函数，为正数，且是增函数，所以单调递增，所以解唯一． 故．当时，切点横坐标为．代入椭圆方程得， 所以．当切点为时，切线方程为，即． 当切点为时，切线方程为， 即． 3．（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆的离心率为，它的顶点构成的四边形面积为4，过点作的切线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，求面积的最大值. 【解析】（1）由题意得，它的顶点构成的四边形面积为， 又，解得，故椭圆方程为； （2）过点作的切线，故或， 显然切线的斜率不为0，设切线方程为， 则，故， 与联立得， ，解得， 又，故， 设，则， 所以 ， 因为，所以 点到直线的距离为1，故， 当且仅当，即时，等号成立，满足或， 所以面积最大值为1. 4．（2026·高三·云南·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，离心率为，过点与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)过点向椭圆引两条切线，切点分别为，.求证：平分. 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）证明：易知与椭圆相切，不妨设切点为，设另一条切线为， 由得， 所以， 所以，则， 所以直线的斜率，所以直线的斜率， 所以， 所以，即平分. 5．（2026·高三·河南·开学考试）已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 【解析】（1）因为A关于l的对称点为B，所以直线AB与l垂直. 因为l的斜率为所以直线AB的斜率为 故直线AB的方程为 联立，解得 故两直线的交点坐标为 （2）易知点是线段AB的中点， 设所以，解得 将B的坐标代入抛物线W的方程，得，解得 故抛物线W的标准方程为 （3）由（1）得， 由（2）得， 联立，得 设直线AB与抛物线W的另一个交点为， 因为，所以，解得， 故 所以 故直线AB被抛物线W截得的弦长为 6．（2026·高二·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【解析】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 7．已知椭圆上有不同的两点关于直线对称，求实数m的取值范围． 【解析】假设存在实数，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称． 设椭圆上关于直线对称的点，，，， 则根据对称性可知线段被直线垂直平分． 可得直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点，在直线， 可设直线的方程为， 由，消去，整理可得， 即有，， 由可得，． 所以，，代入直线可得． 则存在这样的，且 8．（2026·高二·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，过点的直线与相交于，且的周长是8． (1)求的方程； (2)若的面积是，求的面积． 【解析】（1）因为的周长为，所以， 又，所以， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）有，，设， 因为的面积是，所以， 由于，所以点A为椭圆的短轴端点，根据椭圆对称性，不妨点A为下顶点， 所以直线方程为：， 所以，所以，所以或， 所以，代入得或（舍去）， 所以的面积为. 9．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． (1)求椭圆的方程． (2)已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 【解析】（1）设椭圆的方程为， 显然， 将点代入椭圆方程，即，解得或（舍去） 所以椭圆的方程为． （2）（i）法一： 设直线的方程为（由对称性知存在），如下图： 联立得，化简得， 由知，则， 因为，所以，即， 化简得，因为直线不过点，所以， 故． 法二： 设直线的方程为， 联立，得，化简， 得， 由知，即，则， 又，所以， 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 同理可得， 由此可知， 则直线的斜率， 故直线的斜率为定值． 法三： 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 因为为椭圆上异于的两点， 所以可设直线为，不同时为0， 联立与， 得， 等式两边同时除以，记， 化简得， 由于，所以，说明直线的斜率为定值． （ii）设直线为， 联立与，得， 因为，所以． 由韦达定理知 法一： 过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为， ，即， 化简得． 当且仅当时，的面积取最大值2． 法二： 易知， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，的面积取最大值2． 10．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 【解析】（1）由题可知， ，解得， 则双曲线的方程为：. （2）由题可知，，因此经过，且斜率为的直线， 联立直线与双曲线，得，得， 设，由韦达定理得：， 则， 代入，， 得， 点到直线的距离， 则， 即的面积为. 11．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【解析】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 12．（2026·高二·湖南·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)以为直径的圆与的一条渐近线相交于M，N两点，求四边形的面积． 【解析】（1）因为， 由双曲线定义得，点的轨迹是以，为焦点，且的双曲线， 所以， 故的方程为． （2）由题意得，的渐近线方程为， 以为直径，则为直角，且， 从而得到点到轴的距离为， 所以四边形的面积． 13．（2026·高二·安徽·期中）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点.线段的垂直平分线l和半径相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线分别交曲线C于另外的点P，Q. ①求证：为钝角； ②求四边形面积的最大值. 【解析】（1）由题意知，， 由椭圆定义得，点N的轨迹是以E，F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以，因此曲线C方程为. （2）①由（1）知，， 由椭圆对称性，不妨设， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为， 直线的方程为. 由，消去y得， 由韦达定理得，即. 由，消去y得， 由韦达定理得，即. 则， 因此， 所以为钝角. ②由①知，四边形面积为 . 设，则，当且仅当时取等号， 由对勾函数性质知在上单调递增， 则， 因此当时，四边形的面积最大，为6，此时点M的坐标为， 由对称性知，当点M的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6. 14．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆离心率为是椭圆其中的一个顶点，直线与椭圆交于两点，是轴上的一点，直线分别与直线交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）， 椭圆的标准方程为 （2）设， 联立直线与椭圆的方程，得 . 易得，. 设 则 由对勾函数性质知. . （3）直线方程为：，联立 得： 同理可得：点 ， ． 由（2）知：， 要使为常数 需要，方程组无解 不存在实数，使得为定值． 15．（2026·高二·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 16．（2026·高二·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 17．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【解析】（1）由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. （2）由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 18．（2026·西藏林芝·二模）设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)当最小时，求直线的方程； (3)设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 【解析】（1）由抛物线的定义可得，解得2. 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 设直线的方程为，，. 联立直线与抛物线的方程， 可得. 所以，. 根据抛物线的定义，，， 又因为，所以. . 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当且时等号成立. 联立，解得或 当，时，； 当，时，. 所以直线的方程为，即. （3）已知，，则直线的方程为，直线的方程为. 令，可得，. 根据圆的性质，若点在以为直径的圆上，则. 所以. 又因为，所以， 代入上式可得. 由（2）可知，代入上式可得，即， 解得或. 所以以为直径的圆经过轴上的两个定点和. 19．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）（i）因为点是上的一点，所以，解得，即， 当点到直线的距离取得最大值时，有， 又，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 设，由，得，所以， 所以． （ii）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 由，得， 此时即即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得． 所以 ．即为定值2. 20．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 【解析】（1）设椭圆的焦距为，则， 当P为椭圆上顶点时，此时，所以， 即该椭圆方程为：； （2）过定点， 易知，由于直线l不过A点，可设， 设， 则， 所以，则， 椭圆方程可化为 ， 则， 易知，则是上述方程的两个根， 即，所以， 即，过定点. 21．（2026·高二·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【解析】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 22．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 【解析】（1）由双曲线的焦距为，则， 即双曲线C：，则渐近线方程为； （2）不存在，理由如下： 由题意可得直线的方程为，设、， 联立，消去可得， 则，且， 若，则，即有， 即，则该方程无解，故不存在这样的； （3）由双曲线定义可得，则， 由，故. 23．（2026·高二·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限． (1)若直线的倾斜角为，求线段的长； (2)求四边形的面积的最小值． 【解析】（1）由题可知，， 则直线的方程为 联立，得，． 设，则， 则线段的长为. （2）依题意，，直线的斜率存在且不为0，设，， 由，得，显然， 设，则，得， 同理可得，， 四边形的面积，等号成立时， 故四边形的面积取得最小值32． 24．（2026·高二·河南濮阳·期末）已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 【解析】（1）设E的半焦距为.由题知，， ，， ，， 的方程为. （2）（i）方法一：设，易知直线l的斜率一定存在，设. 由，得， 设，，则. ，，整理得， ，，，即点P与原点重合. 方法二：设，，. 由，，作差可得. ，，，， 又，. 由题意知，直线l的斜率一定存在，且斜率不能等于，即， ，，即点P与原点重合. （ii）设. 当l与x轴垂直时，，设点，则， ， 又点A在E上，，即，. 当的斜率存在时，由得， 设，，则， ，当时，等号成立. 综上，的最小值为1. 25．（2026·高二·云南文山·期末）已知是椭圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意如图所示： 设，由题意得， 则，由， 所以，即， 因为是椭圆上任意一点， 所以， 所以点的轨迹的方程为. （2）设， （i）当时，点的坐标为， 由直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 故直线的方程为即， 联立，消去整理得， 则，， 所以； （ii）如图所示： 若直线的斜率不为，，且经过， 则设直线方程为：， 联立消去得：， 则， 且， 由，则， 所以 ， 令为定值， 则， 即， 所以有， 即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 综上所述，存在点，使得为定值，且的最小值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 直线与圆锥曲线的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：直线与圆锥曲线位置关系判定 题型 2：圆锥曲线的切线问题 题型 3：圆锥曲线的弦长计算 题型 4：圆锥曲线的中点弦问题 题型 5：直线与圆锥曲线相交面积求解 题型 6：圆锥曲线的定值问题 题型 7：圆锥曲线的定点问题 题型 8：圆锥曲线的最值与取值范围 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直线与圆锥曲线的位置关系 判别式法 圆锥曲线的切线 弦长公式 中点弦与点差法 相交图形面积 定点问题 定值问题 最值与取值范围 1. 掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，能通过联立方程结合判别式判断相交、相切、相离三种位置关系。 2. 掌握圆锥曲线切线问题的求解思路，能求过曲线上一点的切线方程及过曲线外一点的切线方程，理解切线的几何特征。 3. 掌握弦长公式的推导与应用，能准确求解直线与圆锥曲线相交所得的弦长。 4. 掌握中点弦问题的常用解法（点差法），能处理弦中点相关的参数求解、轨迹方程等问题。 5. 能求解直线与圆锥曲线相交形成的三角形、四边形等图形的面积，掌握面积的计算与优化方法。 6. 理解圆锥曲线定点、定值问题的核心逻辑，能通过代数推导证明或求解定点、定值，体会化归思想。 7. 掌握圆锥曲线最值与取值范围问题的分析方法，能结合函数性质、基本不等式求解相关问题，提升综合运算与逻辑推理能力。 学习重点：直线与圆锥曲线位置关系的判定、弦长公式与中点弦的应用、定点定值问题的求解、最值与取值范围的分析。 学习难点：定点定值问题的思路构建、最值与取值范围的综合求解、直线与圆锥曲线综合问题的运算简化与几何条件的代数转化。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与圆锥有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示（以椭圆为例）． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量,得到关于另一个变量的方程,则有下列结论： 当，时，直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离； 当，时，直线与圆锥曲线有且仅有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 当时， 直线与圆锥曲线有两个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离． 即时即练直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02 弦长问题 设直线与圆锥曲线的两个交点为,则或 即时即练已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 题型 1：直线与圆锥曲线位置关系判定 【典例1-1】（2026·高二·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【典例1-2】（2026·高二·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【变式1-1】（2026·陕西榆林·三模）已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【变式1-3】过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 题型 2：圆锥曲线的切线问题 【典例2-1】（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 【典例2-2】（2026·高二·四川遂宁·阶段检测）已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，. (1)求椭圆C的离心率和焦点坐标； (2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度. 【变式2-1】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过抛物线上一点作曲线的两条切线分别交抛物线于，两点，求直线的斜率. 【变式2-2】（2026·高二·上海·期中）已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 【变式2-3】（2026·高二·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 题型 3：圆锥曲线的弦长计算 【典例3-1】（2026·高二·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【典例3-2】（2026·高三·宁夏中卫·阶段检测）已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 【变式3-1】（2026·高二·重庆·阶段检测）已知直线，椭圆. (1)求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； (2)当时，求直线被椭圆截得的弦长. 【变式3-2】（2026·高二·福建福州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【变式3-3】（2026·高二·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 题型 4：圆锥曲线的中点弦问题 【典例4-1】（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【典例4-2】（2026·高二·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【变式4-1】（2026·高二·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式4-2】（2026·高二·贵州黔南·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式4-3】（2026·高三·全国·三轮复习）已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 【变式4-4】（2026·高二·重庆北碚·期末）已知椭圆的左､右焦点为､，离心率为，过的直线交C于A､B两点，若的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆上存在两点关于直线对称，求m的取值范围. 题型 5：直线与圆锥曲线相交面积求解 【典例5-1】（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，且到抛物线准线的距离是． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线的准线交于点，证明：轴； (3)已知点，抛物线的准线与轴的交点为，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【典例5-2】（2026·高二·天津·阶段检测）已知椭圆的焦距为，其左顶点为A，上顶点为B，且． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【变式5-1】（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程. 【变式5-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 【变式5-3】（2026·高二·上海·期中）如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 题型 6：圆锥曲线的定值问题 【典例6-1】（2026·高二·河南·阶段检测）已知双曲线的实轴的长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【典例6-2】（2026·浙江台州·二模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【变式6-1】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，抛物线的焦点在双曲线上，过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积为定值． 【变式6-2】（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点. (1)若斜率为1的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积； (2)设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为定值. 【变式6-3】（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）已知，点，设为圆内的一个动点，为线段的中点.若始终满足，动点的轨迹记为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线，点，直线过点与曲线交于两点，与直线交于点. ①若，求直线的斜率； ②若记直线的斜率分别为问是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由. 题型 7：圆锥曲线的定点问题 【典例7-1】（2026·高二·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆的左右焦点间的距离为2，椭圆C的左顶点到左焦点的距离为1. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，斜率存在且不为0的直线l与C相交于点A，B（A在B的左侧），设直线的斜率分别为且 ①求证：直线l过定点； ②设直线相交于点M，求证：为定值. 【典例7-2】（2026·高二·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【变式7-1】（2026·高二·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【变式7-2】（2026·高二·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【变式7-3】（2026·高二·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【变式7-4】（2026·高二·浙江宁波·期末）已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求的方程； (2)设为的左、右顶点，过右焦点的直线与交于，两点（不与点重合）. （i）求的最大值； （ii）记的斜率分别为，证明：为定值. 题型 8：圆锥曲线的最值与取值范围 【典例8-1】（2026·高二·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 【典例8-2】（2026·高二·重庆·阶段检测）设抛物线 的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知  . (1)求C的方程； (2)过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于 . ①证明:直线 MN 过定点； ② 求的最大值. 【变式8-1】（2026·高二·河北衡水·期末）已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． (1)求抛物线的方程． (2)若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． (3)过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值． 【变式8-2】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 【变式8-3】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 1．（2026·高二·北京海淀·期末）已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：，点，其中.过点作椭圆的两条切线，切点分别为，. (1)求直线的方程，并用表示； (2)若，求点的坐标及两条切线的方程. 3．（2026·高二·上海·阶段检测）已知椭圆的离心率为，它的顶点构成的四边形面积为4，过点作的切线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，求面积的最大值. 4．（2026·高三·云南·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，离心率为，过点与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)过点向椭圆引两条切线，切点分别为，.求证：平分. 5．（2026·高三·河南·开学考试）已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 6．（2026·高二·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 7．已知椭圆上有不同的两点关于直线对称，求实数m的取值范围． 8．（2026·高二·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，过点的直线与相交于，且的周长是8． (1)求的方程； (2)若的面积是，求的面积． 9．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． (1)求椭圆的方程． (2)已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 10．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 11．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 12．（2026·高二·湖南·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)以为直径的圆与的一条渐近线相交于M，N两点，求四边形的面积． 13．（2026·高二·安徽·期中）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点.线段的垂直平分线l和半径相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线分别交曲线C于另外的点P，Q. ①求证：为钝角； ②求四边形面积的最大值. 14．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆离心率为是椭圆其中的一个顶点，直线与椭圆交于两点，是轴上的一点，直线分别与直线交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（2026·高二·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 16．（2026·高二·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 17．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 18．（2026·西藏林芝·二模）设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)当最小时，求直线的方程； (3)设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 19．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 21．（2026·高二·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 22．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 23．（2026·高二·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限． (1)若直线的倾斜角为，求线段的长； (2)求四边形的面积的最小值． 24．（2026·高二·河南濮阳·期末）已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 25．（2026·高二·云南文山·期末）已知是椭圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $