第二章 平面解析几何高频考点复习-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

第二章 平面解析几何高频考点复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 练题型 强知识：15大核心题型精准练 第二步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【题型1 直线的倾斜角与斜率问题】 1．已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 故选：D 2．如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 3．已知为直线的倾斜角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线方程，得直线斜率， 又为直线的倾斜角，所以， 所以. 故选：B. 4．已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 5．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【详解】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得， . 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或 【题型2 求直线的方程】 6．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 7．已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； （2）由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； （3），设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 8．据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 9．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故， 又的顶点， 所以所在的直线方程为， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得， 故点； （2）设点， 则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上， 所以， 故，解得，即点， 所以,故直线方程为. 10．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)24， 【详解】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 【题型3 直线的平行、垂直问题】 11．经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令与直线平行的直线方程为， 由题意可得，点在直线上，所以 解得， 所以所求直线的方程为： 故选：B 12．已知直线与平行，则实数的取值是 . 【答案】或2 【详解】因为直线与平行 所以，解得或， 当和时，两直线都不重合，符合题意. 故答案为：或2. 13．已知直线和直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为直线和直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 14．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则a的值为 ． 【答案】2 【详解】由题意可得. 故答案为：2. 15．已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为，所以直线的斜率为， 因为直线过点，所以，即. 故答案为：. 【题型4 点到直线的距离问题】 16．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 17．已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 【答案】C 【详解】由点坐标，可得到，同理可得到； ，所以四边形为平行四边形； 由，，可得到直线方程为， 点到直线的距离， 又， . 故选：C 18．已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 19．抛物线上一动点到直线的最短距离为 . 【答案】 【详解】设抛物线上动点， 由题意可得，当点到直线的距离最小时， 点为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线， 设直线与抛物线相切，则的， 解得，则有，，即 ， 所以点到直线的最小距离 . 故答案为：. 20．若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 【题型5 对称问题】 21．已知，C是关于直线的对称点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为C是关于直线的对称点， 故，解得，即， 又，，故， 故选：C 22．一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 23．三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 【答案】 【详解】由，则其关于轴的对称点为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 作图如下： 的周长. 故答案为：. 24．已知点关于直线对称，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】∵， ∴， 又的中点， ∴ 整理得：. 故答案为：. 25．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 【题型6 求圆的方程】 26．在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 【答案】 【详解】设圆的方程为， 则有， 解得，即圆的方程为． 27．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3， 故圆标准方程为. 故答案为：. 28．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【答案】 【详解】点和点的中点为， 点和点的斜率为， 则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径，圆方程为. 故答案为：. 29．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 【答案】 【详解】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点， ，， 则经过，，三点的圆的圆心为直角三角形的斜边的中点， 半径为的一半，即， 则经过，，三点的圆的标准方程是． 故答案为：． 30．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 【题型7 圆的切线问题】 31．已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由，则， 所以圆心，半径，， 由题设，则. 故选：A. 32．过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 33．若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则圆心，半径， 所以点与圆心的距离， 所以， 则，. 所以. 故选：C. 34．若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为 . 【答案】 【详解】设过点且与直线垂直的直线为， 则，解得， 所以，即圆心在直线，又圆心在轴上， 令，可得，所以圆心坐标为. 故答案为： 35．已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】 如图， 当的最大值为时，， 当时，最小时，最大. 由题得， 所以，则； 故选：A. 36．如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将满足的方程转化为，发现其是一个圆心在，半径为的圆， 而可看作是圆上一点与所在直线的斜率， 易知当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为， 则，由同角的三角函数关系可得，即斜率最大为， 所以的最大值为. 故选：D. 【题型8 圆的弦长问题】 37．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】由，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以，又因为的斜率为1，故直线的倾斜角为， 所以，所以.    故选：C. 38．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 39．点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则， 点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为. 故选：A. 40．已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 【答案】 【详解】当时，显然不符合题意， 当时，由两直线平行，得，解得或， 当时，两直线重合，不符合，所以． 由得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 截得的弦长为， 当且仅当时，取等号． 故截得的弦长最短为． 故答案为：；. 41．在平面直角坐标系中，点，动点满足，记点的轨迹为，直线与交于两点，若，则的值为 . 【答案】或 【详解】设，则由，得， 化简整理得，圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为， 因为，所以，， 所以，解得或. 故答案为：或. 42．已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． (1)求圆的方程； (2)设过点的直线与圆交于另一点，求面积的最大值及此时的直线的方程． 【答案】(1)； (2)，或． 【详解】（1）如图： 由题意，过点的直径所在直线方程为， 联立 ，解得. 圆心坐标为，半径 ， 圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为， 则的面积， 由于， 当，即时面积最大为． 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为； 故直线斜率存在，设为，则直线的方程为， 由到的距离， 解得或，故此时直线方程为或． 【题型9 圆锥曲线的方程问题】 43．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 44．若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可设椭圆的标准方程为：，. 则，解得：，， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 45．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 46．已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图：,故， ，故， 故，解得， 由于， 故，故，故椭圆方程为， 故选：B    47．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 【题型10 圆锥曲线的几何性质】 48．已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】依题意，，即，则的焦点在轴上， 因此，所以，故的短轴长为. 故选：B． 49．（多选）已知双曲线和，其中，且，则（   ） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 【答案】BD 【详解】双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为， 双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为，故A错误； 双曲线和焦距均为，故B正确； 双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，故C错误； 双曲线的渐近线为， 双曲线的渐近线为，故D正确． 故选：BD. 50．2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星中心成功发射．约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离进入预定轨道，并按照预定程序与空间站组合体实现圆满的自主快速交会对接．某飞船升空后初始运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，其远地点距地面的距离为S1，近地点距地面的距离为S2，设地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 建立适当坐标系画出椭圆，如图所示， 设椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为， 根据题意有，， 所以 又因为，所以. 故选：C 51．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 52．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆方程为，则，解得， 故椭圆方程为， 故选：A 53．双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 . 【答案】或4 【详解】双曲线的其中一条渐近线方程是， 由两条渐近线的夹角是，得直线的倾斜角是或， 则，或，， 所以该双曲线的焦距长是或4. 故答案为：或4 【题型11 焦点三角形问题】 54．椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】D 【详解】椭圆：的上、下顶点分别为，， 则，， 又椭圆：， 则椭圆的焦点为，， 则的周长为 故选：D 55．若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 【答案】1 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 56．设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为 【答案】4 【详解】设内切圆的半径为，则，， . 过点作于点，于点，于点， 则由的内切圆圆心为知：，，，， ，解得：，. 故答案为： 57．（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 58．已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【答案】/ 【详解】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 59．双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则 . 【答案】10 【详解】解法一： ，所以， ， 设（，），， ， ， 又因为：，则，， ； 解法二：不妨设点在右支上，如下图，设，， 双曲线内切圆的圆心为，连接， ， 设分别与圆相切于点，双曲线右顶点为，连接， 则， 即， 又因为，所以与重合，即， 所以内切圆与轴切在双曲线的顶点处，， 可得，可得 则， ， 所以，， 即：； 解法三：设，，， ，， 则 ，所以， 由焦点三角形面积公式； 解法四：设，，， 则， 即：①， 由余弦定理，得：， ②， 设，则， 得，，则. 故答案为：10. 【题型12 离心率问题】 60．已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为. 故选：B 61．设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，易知，， 将代入椭圆E：得：，解得 不妨设，则， 因为，所以，所以， ， 因为的周长是4b，所以， 即，所以. 故选：B 62．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 因为为等腰三角形，且为钝角，则， 设点，则，， 则，可得，又因为，故， 所以 ， 所以，化简得出. 故答案为：. 63．已知双曲线分别为的左､右焦点，是双曲线左支上位于第二象限内的点，的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为分别为双曲线的左､右焦点，所以|， 因为，所以，因为的斜率为，所以， 因为是三角形的内角，所以，在中，由余弦定理得， 所以， 所以，由双曲线的定义知，，即，所以. 故选：A 64．已知双曲线的左、右焦点分别为、， 到的渐近线的距离为 ，过作斜率不为的直线与的左、右支分别交于、两点， 若的内切圆与相切于点，且，则的离心率是 . 【答案】 【详解】    设直线，分别于内切圆相切于 则且， 即，两式相加得 所以 由点到渐近线的距离公式可得，， 根据已知条件可知：， 所以， 故答案为：. 65．已知是双曲线在第一象限上的一点，点与点关于原点对称，过点作，与的另外一个交点为，连接，与轴交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 如图，取的中点，连接， 因为为的中点，故， 设，，，， 因为在双曲线上，则，两式相减可得，， 即，而，， 故，即， 又因为，则，即， 所以，即，所以， 又，则, 即，故， 所以，而，故, 故，则双曲线的离心率为. 故选：C. 66．已知双曲线C：（，）的两条渐近线分别为，，直线l：（）与，分别交于P，Q两点，若满足，则C的离心率为 【答案】 【详解】不妨设：，：． 联立解得故， 同理可得，故线段PQ的中点， 而，故，解得， 故． 故答案为： 【题型13 轨迹问题】 67．与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与圆的位置关系可得，， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 故选：B. 68．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 69．若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 70．长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，， 则有， 即，由题意可得， 即，即， 故选：A． 71．在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 【题型14 圆锥曲线的弦长问题】 72．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意得，设直线， 联立得， ， 由韦达定理得， 故， 圆心O到直线的距离为， 所以，解得， 所以或 故选：C. 73．已知直线与抛物线交于两点，且，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设， 联立，得， 则，解得，，， ，解得. 故选：C. 74．已知直线与椭圆交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若，，则 ． 【答案】 【详解】由对称性可得，，， 所以，，， 所以椭圆方程为，，解得，，． 故答案为：. 75．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 76．已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得，，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得，    ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 77．已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的离心率为，且焦距为， 可得且，解得，，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部， 设直线：，且， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 因此 ， 由，可得，即， 所以的取值范围为. 【题型15 定点定值问题】 78．已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 【详解】（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 79．已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【详解】（1）由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切， 则，因为，解得，故抛物线的方程为. （2）设点、、， 显然直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 则，，即点， 因为轴，则，解得， 因此，直线的斜率为. （3）由抛物线焦点弦长公式可得， 由（2）可得， 所以. 80．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有. (1)求的离心率； (2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)过定点，证明见解析 【详解】（1）设，则， 当直线的倾斜角为时，，所以，故的横坐标为， 代入的方程，得，则，则， 因，则，即，解得（负值舍去）， 故的离心率为. （2）由（1）可知，， 因直线不与轴平行，故设直线，设， 联立，得， 则， 因为，且是线段的中点，则， 所以，即， 因，， 所以， 即， 即 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 81．已知双曲线，点，过点的直线与的左、右两支分别交于两点，设点是点关于轴的对称点，证明：直线过定点. 【答案】证明见解析 【详解】设点是点关于轴的对称点，连接，由双曲线的对称性可知交轴于点，与交于轴上的一点， 因为过点的直线与的左、右两支分别交于两点，所以直线的斜率存在， 设直线，，与双曲线方程联立，得 ，由韦达定理可知， 由对称性可设，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由双曲线的对称性可知若直线过定点，则直线也过定点，则两直线的交点即为所求定点， 在直线方程中令，得 所以直线过定点. 82．已知为双曲线：的左顶点，为双曲线的右焦点，.斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点.设直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求双曲线的标准方程. (2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，定值为. 【详解】（1）根据题意可得， 解得， 故双曲线的标准方程为. （2）是定值. 证明如下： 设，.因为直线过点，所以直线的斜率存在. 设直线：， 由得， 由题意得且，得，， ，. 因为为双曲线的左顶点，所以，，， 所以 ， 故是定值，该定值为. 83．已知椭圆右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得 ：且， 解得：， 所以椭圆的方程为； （2）由题意，可设直线的方程为 ，，则 联立方程组消去得方程：， ， 所以， 所以直线的方程为：， 令，则， 故直线过定点. 一、单选题 1．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 2．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题设得，得， 故选：A. 3．“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1， 设圆心到直线的距离为 则，解得：. 而为的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件， 故选：B 4．已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】设，依题意得， 动点到的距离比点到轴的距离的大2， 则，即， 所以的轨迹方程是或， 故选：C 5．已知圆直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．圆与圆只有一条公切线 【答案】D 【详解】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，故A正确： 对于B，，又， 即定点在圆C内，则直线与圆C相交，有两个交点，故B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线l的距离为， 而圆C半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，故C正确： 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为，所以两圆相交， 因此它们有两条公切线，故D错误. 故选：D 6．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，的一个顶点坐标为， 故， 由于为与的交点，，故，解得， 将代入中得， 将，代入中得， 又，故， 所以的渐近线方程为. 故选；B 7．已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 圆的标准方程为，则圆心为，半径， 直线恒过定点，记为，且点在圆内，轴， 又直线的斜率不为0，所以点的轨迹是以为直径的圆，且不为点，所以点轨迹方程为，. 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D. 8．若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，此时曲线为开口向右的抛物线， 由于曲线关于轴对称，因此可作出曲线图象如下： 直线恒过定点, 当直线与相切时，则， 故，解得或， 结合图形可知此时，故， 同理直线与相切时，， 故当与直线没有公共点，则或， 故选：B 二、多选题 9．已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线平行 D．若，则直线与圆相切 【答案】ACD 【详解】对于A, ，由且，故，故直线恒过点，故A正确， 对于B，当时，，即，直线与直线平行，B错误，C正确， 对于D,当时，直线，此时圆心到直线的距离为1，与半径1相等，因此直线与圆相切，D正确， 故选：ACD 10．已知点，，，点在曲线：上，则（   ） A．存在无数个点，使得为定值 B．存在无数个点，使得为定值 C．直线与的所有交点的横坐标之积为 D．直线与的所有交点的横坐标之和大于5 【答案】ABD 【详解】由，得， 即4或， 所以曲线由圆与椭圆组成，且圆的圆心为，椭圆的焦点为，故A，B均正确. 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，则，， 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，， 则，，则， ，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11．已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（   ） A．曲线C是中心对称图形 B． C．满足的点P有2个 D．满足的点P有8个 【答案】ABC 【详解】曲线C是由以，为焦点的等轴双曲线和长轴长为4，，为焦点的椭圆组合而成， 所以曲线C是关于原点O的中心对称图形，故A正确； 若P是曲线C上任意一点，必然，故B正确； ，为双曲线和椭圆的公共焦点， 若，则，， 由双曲线和椭圆的定义可知，点P为右支和的交点，有两个，故C正确； 若，则点P在以为直径的圆上，此时点P为圆与曲线C的交点， 因为圆与有4个公共点，与有2个公共点，且易知曲线和的交点不在圆上， 所以满足的点P有6个，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题 12．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 【答案】1或7 【详解】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①若在左支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； ②若在右支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； 故答案为：1或7 13．已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】 点在抛物线上，，解得，所以抛物线的方程为， 又直线，是圆的两条切线， 设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径，则， 所以，解得，则直线的方程为，直线的方程为， 联立直线和抛物线的方程，得，由， 得，得，直线的方程为. 14．已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 【答案】 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以， 故答案为：．    四、解答题 15．在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 16．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)若为的准线，证明：以为直径的圆与相切． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）直线过点， 所以抛物线的焦点， 所以， 所以抛物线的方程为． （2）设， 由，消去并化简得， 解得， 所以， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为． （3） 设的中点为，且到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半， 所以以为直径的圆与直线相切． 17．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 18．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的左焦点为F，若T为直线上一点，过点F且与TF垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为M. （ⅰ）证明：点M在直线OT上（O为原点）； （ⅱ）求的面积的最大值，以及此时点T的坐标. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）面积最大值为，点T的坐标. 【详解】（1）由题知，∴，∴， 又，∴，， ∴椭圆C的标准方程为. （2）（ⅰ）由题可设，，PQ的中点为， 若直线PQ的斜率为0，不存在满足的点T，故设PQ的方程为， 代入椭圆方程得， 则，，， ∵TF的方程为，令，得， ∴，∴OT过PQ的中点，即点M在直线OT上. （ⅱ）由（ⅰ）可得， . ∵， 而，，， 当且仅当，即时等号成立. ∴，当且仅当时等号成立. ∴的面积最大值为，及此时点T的坐标. 19．已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的焦点为，， 对椭圆：有， 又椭圆的离心率为，则由，得， 又有， 椭圆的标准方程为； （2）设，，设直线方程为， 由，整理得：， 由， ，， ，， ， 要使为定值，则， 即，即， 解得：或舍， 故． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 平面解析几何高频考点复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 练题型 强知识：15大核心题型精准练 第二步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【题型1 直线的倾斜角与斜率问题】 1．已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知为直线的倾斜角，则（   ） A． B． C． D． 4．已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【题型2 求直线的方程】 6．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 8．据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 9．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 10．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【题型3 直线的平行、垂直问题】 11．经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知直线与平行，则实数的取值是 . 13．已知直线和直线垂直，则实数的值为 ． 14．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则a的值为 ． 15．已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 【题型4 点到直线的距离问题】 16．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 17．已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 18．已知在直线上，则的最小值为 ． 19．抛物线上一动点到直线的最短距离为 . 20．若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【题型5 对称问题】 21．已知，C是关于直线的对称点，则（    ） A． B． C． D． 22．一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 23．三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 24．已知点关于直线对称，则直线的方程为 . 25．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【题型6 求圆的方程】 26．在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 27．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 28．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 29．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 30．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 圆的切线问题】 31．已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 32．过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 33．若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 34．若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为 . 35．已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 36．如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【题型8 圆的弦长问题】 37．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则（    ） A． B．2 C． D．4 38．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．10 39．点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 40．已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 41．在平面直角坐标系中，点，动点满足，记点的轨迹为，直线与交于两点，若，则的值为 . 42．已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． (1)求圆的方程； (2)设过点的直线与圆交于另一点，求面积的最大值及此时的直线的方程． 【题型9 圆锥曲线的方程问题】 43．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 44．若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 45．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 46．已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 47．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型10 圆锥曲线的几何性质】 48．已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 49．（多选）已知双曲线和，其中，且，则（   ） A．与虚轴长相等 B．与焦距相等 C．与离心率相等 D．与渐近线相同 50．2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星中心成功发射．约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离进入预定轨道，并按照预定程序与空间站组合体实现圆满的自主快速交会对接．某飞船升空后初始运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，其远地点距地面的距离为S1，近地点距地面的距离为S2，设地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 51．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 52．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 53．双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 . 【题型11 焦点三角形问题】 54．椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（    ） A．4 B． C． D．6 55．若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 56．设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为 57．（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 58．已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 59．双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则 . 【题型12 离心率问题】 60．已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 61．设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 62．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 63．已知双曲线分别为的左､右焦点，是双曲线左支上位于第二象限内的点，的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 64．已知双曲线的左、右焦点分别为、， 到的渐近线的距离为 ，过作斜率不为的直线与的左、右支分别交于、两点， 若的内切圆与相切于点，且，则的离心率是 . 65．已知是双曲线在第一象限上的一点，点与点关于原点对称，过点作，与的另外一个交点为，连接，与轴交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 66．已知双曲线C：（，）的两条渐近线分别为，，直线l：（）与，分别交于P，Q两点，若满足，则C的离心率为 【题型13 轨迹问题】 67．与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 68．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 69．若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 70．长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 71．在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【题型14 圆锥曲线的弦长问题】 72．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（     ） A． B． C．或 D．或 73．已知直线与抛物线交于两点，且，则（    ） A． B．3 C． D． 74．已知直线与椭圆交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若，，则 ． 75．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 76．已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 77．已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 【题型15 定点定值问题】 78．已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 79．已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 80．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有. (1)求的离心率； (2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点. 81．已知双曲线，点，过点的直线与的左、右两支分别交于两点，设点是点关于轴的对称点，证明：直线过定点. 82．已知为双曲线：的左顶点，为双曲线的右焦点，.斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点.设直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求双曲线的标准方程. (2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 83．已知椭圆右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点. 一、单选题 1．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 3．“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．已知圆直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．圆与圆只有一条公切线 6．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线平行 D．若，则直线与圆相切 10．已知点，，，点在曲线：上，则（   ） A．存在无数个点，使得为定值 B．存在无数个点，使得为定值 C．直线与的所有交点的横坐标之积为 D．直线与的所有交点的横坐标之和大于5 11．已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（   ） A．曲线C是中心对称图形 B． C．满足的点P有2个 D．满足的点P有8个 三、填空题 12．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 13．已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为 . 14．已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 四、解答题 15．在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 16．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)若为的准线，证明：以为直径的圆与相切． 17．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 18．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的左焦点为F，若T为直线上一点，过点F且与TF垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为M. （ⅰ）证明：点M在直线OT上（O为原点）； （ⅱ）求的面积的最大值，以及此时点T的坐标. 19．已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$