预习13 椭圆及其方程（3知识点+10题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习13 椭圆及其方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 知识点 2 ：椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 知识点 3 ：椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 【题型1 椭圆的定义及其应用】 1．设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】如图，连接，    因为是的中点，是的中点， 所以为的中位线，即， 又由椭圆的定义可得，所以. 故选：A． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：设，， 因为椭圆C：， 所以由椭圆的定义可知，， 所以，即， 由勾股定理可知：， 求得 故选：B. 3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D 4．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【题型2 求椭圆的标准方程】 5．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 6．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】直线与坐标轴的两个交点分别为和． 若椭圆的焦点在轴上，则，，，故所求椭圆的标准方程为． 若椭圆的焦点在轴上，则，，，故所求椭圆的标准方程为． 故椭圆方程为或； 故选：C 7．已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，因经过点的直线垂直平分线段，则，即， 因，则的周长等于的周长， 即，解得，，故椭圆的标准方程为. 故选：D． 8．已知，是椭圆的左、右焦点，过与y轴的平行线与椭圆E交于C，D，，，则椭圆E的方程为 ． 【答案】 【详解】由题意，轴，且，则， 由椭圆的定义知，，则， 在中，， 则，所以， 所以椭圆E的方程为． 故答案为：. 9．已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为 ． 【答案】或 【详解】由题意，有， ∴椭圆C的标准方程可能为或. 故答案为：或 【题型3 根据方程表示椭圆求参数】 10．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件， 故选：B. 11．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 12．“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若椭圆 的焦点在y轴，则，解得. 对于A，由能推出，反之不成立，符合题意； 对于B，由不能推出，不符合题意； 对于C，显然为充要条件，不符合题意； 对于D，由不能推出，不符合题意； 故选：A 13．在平面直角坐标系内，已知曲线方程． (1)若方程表示圆，则圆有多少个？ (2)若方程表示椭圆，则椭圆有多少个？ 【答案】(1)5 (2)20 【详解】（1）因为方程表示圆，所以． 因为，所以共有5种情况， 即圆有5个． （2）因为方程表示椭圆，所以． 因为，所以当焦点在轴上时，， 当时，没有对应的值，有0个椭圆； 当时，，有1个椭圆； 当时，，有2个椭圆； 当时，，有3个椭圆； 当时，，有4个椭圆． 由分类加法计数原理知，焦点在轴上的椭圆有个． 焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆个数相同，有10个． 综上所述，满足题意的椭圆共有个 【题型4 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 14．已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得， 所以，因为，故在椭圆内， 所以， 当在线段上时，等号成立. 故选：B. 15．已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 16．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A．－5 B．－4 C．－3 D．－2 【答案】B 【详解】 在椭圆中，，，则，则，则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为1， 由椭圆的定义可得， 所以， 再由圆外的点到圆上动点的最小值为到圆心的距离减去半径， 所以有， 利用当且仅当、、三点共线且在线段上时，取最小值， 所以有 故的最小值为－4. 故选：B． 【点睛】方法点睛：要利用椭圆的定义和圆的有关平面几何求最值的结论来求解. 17．已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题可得，，则，故，设右焦点为，则， ，由椭圆的定义可得，则， 易得点在椭圆外，所以， 当且仅当三点共线且点在线段上时等号成立，所以的最大值为． 故答案为：. 18．设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 15 23 【详解】椭圆长轴长为10，左焦点，令右焦点为，点在椭圆外， 因此，当且仅当为线段与椭圆交点时取等号； ， 当且仅当为线段的延长线与椭圆交点时取等号， 所以的最小值为15，最大值为23. 故答案为：15；23    19．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】 如图所示， 由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则， 再由椭圆定义可知， 即， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 又， 即的最小值为， 故答案为：. 【题型5 椭圆的焦点三角形】 20．已知点在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】如图所示： 不妨设，，（，），， 则可知，， 两式相除可得，所以， 又，所以， 则由得，可得（，）， 由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立）， 所以, 所以的最小值为. 故选：B． 21．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，延长到点，使得为线段的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】 由题意得，记点，则，即为线段的中点， 为线段的中点，则在中，，， 则，所以动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 其焦距为，长轴长为，短半轴长为， 可得的最小值为2． 故选：B. 22．（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 23．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 【答案】ACD 【详解】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长， 半焦距，故， 对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大， 此时面积为，故A正确； 对于B，若的平分线必过椭圆的中心， 因为，则此时为等腰三角形，故， 故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心， 故B错误； 对于C，因为，故， 由余弦定理可得， 故，故， 所以，故，故C正确； 对于D，设，则， 故， 所以， 而，故， 所以即，故， 所以，因为，故符号该不等式， 故椭圆C上存在点P，使得，故D正确； 故选：ACD. 24．已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为 ． 【答案】8 【详解】因为椭圆，所以，设椭圆右焦点为， 由椭圆定义得 则的周长为． 故答案为：8. 【题型6 椭圆的简单几何性质】 25．若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，由于椭圆在y轴上的两顶点间的距离为2， 所以正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得， 故，所以的焦距为. 故选：B 26．（多选）已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 【答案】ACD 【详解】对于椭圆，，则， 则， 对于A，椭圆的长轴长为，故A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，且， 则焦点坐标为，故B错误； 对于C，离心率，故C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为，故D正确； 故选：ACD 27．（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（    ） A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 【答案】AD 【详解】， ，解得. 该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值， 短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值， 椭圆的焦距为， 椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误. 故选：AD. 28．（多选）已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 【答案】BD 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率，A错误； 对于B，椭圆与的焦距长都为6，相等，B正确； 对于C，椭圆与的长轴长不相等，C错误； 对于D，椭圆的短轴长是的短轴长的两倍，D正确. 故选：BD 29．已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 【答案】 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故答案为： 【题型7 求椭圆的离心率】 30．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示： 由题意可知，设，则， 因为，由勾股定理可得， 即，解得，故， 所以， 由余弦定理可得， 即，因为，故， 故选：A. 31．已知椭圆的右焦点为F，O为坐标原点，过F作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得（负值舍去）， 将代入椭圆方程得，且，得，所以， 因此，所以，，故C的离心率为． 故选：C． 32．已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的平分线交于点D，设 则， 所以， 而 设，则，于是﹐ 所以， 在，由余弦定理可得：﹐ 则，则， 所以椭圆离心率， 故选：C． 33．已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】如图所示，由椭圆，可得， 则的中点为，且， 所以以为直径的圆为， 又由的中点在以为直径的圆上，可得， 整理得， 因为，所以，即， 等式两边同除以，可得，解得， 又因为，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 34．已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】以为直径的圆，和椭圆关于轴对称，则交点在中垂线上，不妨设点在第一象限，则，代入椭圆：，得， 即，解得. 故答案为：. 35．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，记的外心为A，内切圆半径为r，若，且，则C的离心率为 . 【答案】/0.5 【详解】 设，， 则①，在中， 由及余弦定理可得， 即②，得， 所以， 又， 又， 因为，所以， 解得. 故答案为：. 【题型8 求椭圆离心率的取值范围】 36．已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，又椭圆焦点在轴上，则，，则， 因此C的离心率. 故选：B 37．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足，，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，，，， 由，可得，所以. 又，，由得， 整理得，由P在C上，得，即， 得，即，解得或（舍去）， 由，可得，即，又，所以，故C的离心率的取值范围是. 故答案为：. 38．已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对称性可知，， 因为，， 所以当点位于长轴端点时最小， 由题可知，在椭圆上存在一点，使得， 只需当点位于长轴端点时，，即，故， 又，所以椭圆离心率的取值范围为. 故选：B    39．已知椭圆上存在两点，到点的距离相等，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设AB中点为且，则，， 由题意，点在线段AB中垂线上， 坐标代入椭圆方程得，所以， 所以AB中垂线方程：， 令，则，显然，故， 所以，， 故选: 40．已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，得，化简得， 即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点， 由消去得，即， 显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解， 则，解得，所以椭圆C的离心率. 故选：C 【点睛】关键点点睛：求出点的轨迹轨迹方程并解方程组是求出范围是关键. 41．已知过原点的直线交椭圆于两点，椭圆的右焦点为，且，若椭圆的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，令椭圆半焦距为， 由，得，即四边形为矩形，则， 设，于是， 由椭圆的定义，得，因此， 即，而，即， 于是，又，则， 而， 且，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 【题型9 与椭圆相关的轨迹问题】 42．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 43．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q， 由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：A 44．在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（    ） A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对 【答案】B 【详解】 如图建系，设正方体边长为，则， 可得， 又因为，所以， 化简得，即得， 动点的轨迹为椭圆的一部分. 故选：B. 45．已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 【答案】8 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 因为两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大， 最大值为. 故答案为：8 46．如图，设A，B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程． 【答案】 【详解】设点M的坐标为，因为点A的坐标是， 所以直线AM的斜率＝， 同理，直线BM的斜率＝． 由已知有·＝ ， 化简得点M的轨迹方程为 故答案为： 47．已知长为2的线段上存在点使，若点和点分别在轴和轴上运动，点的轨迹为.求的方程. 【答案】 【详解】设，，，依题意，，即， 则，整理得， 又，即， 因此，整理得， 所以的方程为. 【题型10 椭圆的实际问题】 48．小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而，则， 解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 49．已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（   ） A．农历每月第（，）天和第天的月相外边缘形状相同 B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C．月相外边缘的离心率与无关 D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 【答案】D 【详解】由方程（，）知： 对于A：当时，椭圆方程为， 当时，椭圆方程为， 化简为，即，所以A错误； 对于B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为： ， ， ， ， ， 因为，， 所以， 所以，所以B错误； 对于C：月相外边缘的离心率为： ，即， 所以月相外边缘的离心率与有关，所以C错误； 对于D：农历初六至初八，即时，即， 此时月相外边缘离心率： ，即， 因为，，所以，， 所以，故D正确. 故选：D. 50．（多选）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为千米 B．椭圆的短轴长为千米 C．椭圆的焦距为千米 D．椭圆的长轴长为千米 【答案】ACD 【详解】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 则 解得 , 所以， 故椭圆的短轴长为千米，A正确，B错误； ，故C正确，D正确, 故选:ACD. 51．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是，则卫星轨道的离心率为 . 【答案】 【详解】如图所示，可得，即， 又由， 所以椭圆的离心率为， 故答案为：. 52．在大西北的荒漠上，，两地相距2，正准备在荒漠上围成一片以为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园．按照规划，围墙总长度为8． (1)农艺园的最大面积能达到多少? (2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点，且与成角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分有多长? 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由题意知平行四边形相邻两边长之和为4，另两个端点，在以，为焦点的椭圆上． 以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为()． 因为(点在短轴端点)， 所以农艺园的最大面积为2 ． （2）由题可知，直线型水沟的方程是=+1，暂时不加固的部分的长度即直线被椭圆所截得的弦长． 把直线方程代入椭圆方程，得． 设两交点的坐标为，则 所以弦长为． 所以暂时不加固的部分长为． 一、单选题 1．已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的方程为， 所以，则 所以的离心率为． 故选：B 2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为该椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】依题意，，故，故， 在中，，且，故为等边三角形， 故，得，则. 故选：D. 4．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 5．已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】设的左焦点为，半焦距为， 由题意得，又离心率，所以， 由椭圆的定义得：， 所以， 当点为线段的延长线与的交点时取等号， 故的最大值为. 故选：D. 6．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：C. 7．设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，， 解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 因为平分，由角平分线定理可得，故， 所以，即， 故，所以. 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 由，得， 所以. 故选：B. 8．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，    设圆与轴切于点，与切于点，设椭圆与轴正半轴交于点， 下面证明重合， 设， , ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，， 则，所以， 故选：C. 二、多选题 9．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 10．已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为3 C．的取值范围是 D．当倾斜角为时，的周长为8 【答案】ACD 【详解】对于A，根据题意，，所以椭圆的离心率， 又，， 所以椭圆，故A正确； 根据椭圆定义，可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故B错误； 设，又， 所以， 则， 因为，所以的取值范围是，C正确； 当倾斜角为时，直线垂直平分， 所以的周长为： ， 故D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为 . 【答案】5 【详解】椭圆的焦点在轴上，焦距为 所以. 可得，解得. 故答案为：5. 12．已知点是平面直角坐标系上异于的任意一点，过点作直线及的平行线，分别交轴于两点，且，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】根据题意，设点的坐标为，则过点与直线平行的直线为， 令，得点的纵坐标．同理，过点与直线平行的直线为， 令，得点的纵坐标． 因为，所以， 所以，化简得， 由得，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 13．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作平行于轴的直线与交于两点，与轴交于点，且，则的方程为 . 【答案】 【详解】如图所示，连接，因为，为的中点， 所以为的中点，又因为，则，又， 所以为等边三角形，设，则，所以. 则由椭圆的定义可知，即，得. 因为，且为等边三角形，所以， 解得，所以，所以，， 所以的方程为. 故答案为： 四、解答题 14．求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的方程为：. （2）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 15．已知点，分别为椭圆的（）的左、右焦点，椭圆的焦距为，且椭圆的离心率为，过点作轴的垂线交椭圆于点，，求证：为正三角形． 【答案】证明见解析 【详解】易知，， 将代入，解得，不妨设，． 在中，， 即，也即， 又因为轴垂直且平分线段， 于是为正三角形． 16．已知椭圆的焦距为，点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上任一点，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是 【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦距为，解得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）设点，则，且， 所以，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 所以，. 所以，的最小值为，最大值为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习13 椭圆及其方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 知识点 2 ：椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 知识点 3 ：椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 【题型1 椭圆的定义及其应用】 1．设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 4．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【题型2 求椭圆的标准方程】 5．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 7．已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知，是椭圆的左、右焦点，过与y轴的平行线与椭圆E交于C，D，，，则椭圆E的方程为 ． 9．已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为 ． 【题型3 根据方程表示椭圆求参数】 10．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 11．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系内，已知曲线方程． (1)若方程表示圆，则圆有多少个？ (2)若方程表示椭圆，则椭圆有多少个？ 【题型4 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 14．已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 15．已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A．－5 B．－4 C．－3 D．－2 17．已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为 ． 18．设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ． 19．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【题型5 椭圆的焦点三角形】 20．已知点在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，延长到点，使得为线段的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 22．（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 23．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 24．已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为 ． 【题型6 椭圆的简单几何性质】 25．若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（   ） A．2 B． C． D． 26．（多选）已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 27．（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（    ） A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 28．（多选）已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 29．已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 【题型7 求椭圆的离心率】 30．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 31．已知椭圆的右焦点为F，O为坐标原点，过F作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 32．已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 33．已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为 ． 34．已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 35．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，记的外心为A，内切圆半径为r，若，且，则C的离心率为 . 【题型8 求椭圆离心率的取值范围】 36．已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足，，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是 . 38．已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．已知椭圆上存在两点，到点的距离相等，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．已知过原点的直线交椭圆于两点，椭圆的右焦点为，且，若椭圆的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型9 与椭圆相关的轨迹问题】 42．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 43．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 44．在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（    ） A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对 45．已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 46．如图，设A，B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程． 47．已知长为2的线段上存在点使，若点和点分别在轴和轴上运动，点的轨迹为.求的方程. 【题型10 椭圆的实际问题】 48．小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 49．已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（   ） A．农历每月第（，）天和第天的月相外边缘形状相同 B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C．月相外边缘的离心率与无关 D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 50．（多选）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为千米 B．椭圆的短轴长为千米 C．椭圆的焦距为千米 D．椭圆的长轴长为千米 51．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是，则卫星轨道的离心率为 . 52．在大西北的荒漠上，，两地相距2，正准备在荒漠上围成一片以为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园．按照规划，围墙总长度为8． (1)农艺园的最大面积能达到多少? (2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点，且与成角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分有多长? 一、单选题 1．已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 5．已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 6．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 10．已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为3 C．的取值范围是 D．当倾斜角为时，的周长为8 三、填空题 11．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为 . 12．已知点是平面直角坐标系上异于的任意一点，过点作直线及的平行线，分别交轴于两点，且，则点的轨迹方程为 ． 13．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作平行于轴的直线与交于两点，与轴交于点，且，则的方程为 . 四、解答题 14．求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 15．已知点，分别为椭圆的（）的左、右焦点，椭圆的焦距为，且椭圆的离心率为，过点作轴的垂线交椭圆于点，，求证：为正三角形． 16．已知椭圆的焦距为，点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上任一点，求的最大值与最小值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$