第11讲 圆与圆的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第11讲 圆与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：判断两圆的位置关系 题型 2：由两圆位置关系求参数 题型 3：求两圆的公切线长 题型 4：求两圆的公切线方程 题型 5：过两圆交点的圆系方程应用 题型 6：求两圆公共弦方程与弦长 题型 7：圆相关的最值问题求解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆与圆的位置关系 公切线方程 公共弦方程 公共弦长 过交点的圆系方程 1. 掌握圆与圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），能通过圆心距与两圆半径的数量关系准确判断两圆的位置关系。 2. 理解两圆相切、相交的几何特征，掌握公切线的相关概念，能计算两圆的公切线长，求解公切线方程。 3. 掌握两圆公共弦所在直线方程的推导方法，能求解公共弦方程并计算公共弦的长度。 4. 了解过两圆交点的圆系方程，能利用圆系方程简化求解过两圆交点的圆的相关问题。 5. 能结合圆的几何性质解决与两圆相关的最值问题，深化数形结合与转化化归的数学思想。 学习重点：圆与圆位置关系的判定方法、两圆公共弦方程与弦长的计算、公切线长的求解。 学习难点：两圆公切线方程的求解、过两圆交点的圆系方程的灵活应用、与两圆相关的最值问题的分析与求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法一般是几何法，如下表： 位置关系 几何法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 即时即练圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 知识点02 圆与圆的公切线 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条 即时即练已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 知识点03 公共弦所在直线方程 设圆，圆 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得 方程表示圆与的公共弦所在直线的方程． （1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． （2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． 即时即练已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 【答案】4 【解析】圆与圆相交于，两点， 所以，两点坐标均满足两圆方程. 由，可得，即， 故两圆公共弦所在的直线方程为； 因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则公共弦的长为4． 知识点04 过两圆交点的圆系方程 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆）， 特别地，当时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 即时即练过两圆与的交点和点的圆的方程是_______________. 【答案】 【解析】设所求圆的方程为： 将代入得： 所求圆的方程为： 本题正确结果： 题型 1：判断两圆的位置关系 【典例1-1】（2026·高二·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 【典例1-2】（2026·高二·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 【变式1-1】（2026·高二·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【解析】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 【变式1-2】（2026·高二·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 【变式1-3】（2026·高二·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】A 【解析】由，得， 所以圆的圆心，半径， 由，得， 所以圆的圆心，半径， 所以， 所以两圆内切， 故选：A 题型 2：由两圆位置关系求参数 【典例2-1】（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 【典例2-2】（2026·高二·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 【变式2-1】（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 【变式2-2】（2026·河北石家庄·一模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，已知，且， 所以， 化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点， 所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得， 解得. 【变式2-3】（2026·高三·全国·二轮复习）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可知点的轨迹是以为直径的圆，如图， 因，故圆心为，半径为， 所以圆. 依题意，圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：. 【变式2-4】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若圆与圆相外切，则，即，解得或； 若圆与圆相内切，则，即，解得或； 故使得圆与圆相切的的值有、、、，共个. 题型 3：求两圆的公切线长 【典例3-1】（2026·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 【典例3-2】（2026·高二·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解析】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 【变式3-1】（2026·高二·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式3-2】（2026·高二·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【解析】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 【变式3-3】（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【解析】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 【变式3-4】（2026·高二·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【解析】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 题型 4：求两圆的公切线方程 【典例4-1】（2026·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 【典例4-2】（2026·高三·四川巴中·阶段检测）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 【变式4-1】（2026·高三·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【变式4-2】（2026·高三·重庆·阶段检测）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 【变式4-3】（2026·高三·广西百色·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或. 故选：C. 【变式4-4】已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线. 两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为，A正确； 当时，切线方程为，即，B正确； 另两条切线与直线平行且相距为1，又由， 设切线，则，解得， 即切线方程分别为，； 整理可得两切线方程为和， 所以C正确，D不正确. 故选：D. 题型 5：过两圆交点的圆系方程应用 【典例5-1】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【答案】 【解析】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 【典例5-2】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【答案】 【解析】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 【变式5-1】（2026·高二·广西钦州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【解析】（1）设圆的方程为：， 由题意得方程组，解得：， 所求的标准方程为：：. （2）由（1）得圆的一般方程为：， 将两圆的方程作差得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得：， 故到直线的距离为， 所以所求公共弦长为. （3）设所求的圆的方程为：， 整理得到， 该圆圆心为， 因为该圆心在直线，故， 解得， 故所求圆的方程为. 【变式5-2】求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程． 【解析】设过圆两交点的圆方程为， 因为圆过原点，所以，得， 所以． 所以圆的方程为． 【变式5-3】（2026·高二·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【解析】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 题型 6：求两圆公共弦方程与弦长 【典例6-1】（2026·高二·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为__________. 【答案】 【解析】两圆为① ，② ， ②-①可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为点，半径为， 圆心到公共弦的距离为公共弦的长为. 故答案为： 【典例6-2】（2026·高二·安徽芜湖·期末）若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 【答案】 【解析】圆与圆， 两圆的方程相减，得， 即为直线的方程， 的圆心到距离为， 所以 故答案为： 【变式6-1】（2026·高二·江苏南京·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 【答案】 【解析】由，得，即， 又，两圆方程相减得，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·高二·山东淄博·阶段检测）已知圆，过点作圆的切线，切点为，则直线的方程为___________线段AB的长度为___________ 【答案】 【解析】因为过点作圆的切线，切点为， 所以在以为圆心，的长为半径的圆， 由圆，得， 所以圆心，半径为，又， 所以，所以以为圆心， 以为半径的圆的方程为，即， 两圆方程相减得直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以. 故答案为：①；②. 【变式6-3】（2026·高二·甘肃平凉·期末）已知圆和圆相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】圆，即为，圆心为，半径； 圆，即为，圆心为，半径； 则，即，可知圆和圆相交， 两圆方程作差可得，即两圆的公共弦所在直线方程为， 由题意可得，即，且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型 7：圆相关的最值问题求解 【典例7-1】（多选题）（2026·高二·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【解析】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 【典例7-2】（多选题）（2026·高二·河北邢台·开学考试）若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 【答案】BC 【解析】因为圆与圆N关于直线对称，所以圆. 圆心距，恰好等于两圆的半径和，所以两圆外切；A错误，B正确； 因为，所以圆N上一点与点的距离的最小值为，C正确； 因为，所以圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为，D错误. 【变式7-1】（多选题）（2026·高二·安徽·期中）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 且，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，当与圆相切时，， 所以的面积为，故B正确． 对于C，连接，则， 当取最小值时取得最小值， 又，所以，故C正确； 对于D，设，则， 在中，，则， 由对C的分析，知， 所以， 令，则，， 当且仅当时等号成立，故D错误． 【变式7-2】（多选题）（2026·高二·福建莆田·期末）点在圆上，点在圆上，则（ ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两圆的公切线有2条 【答案】AB 【解析】根据题意，圆，其圆心，半径， 圆，即， 其圆心，半径，圆心距>，故两圆外离，故公切线有4条，故D错误； 则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确； 对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C错误. 故选：AB. 【变式7-3】（多选题）（2026·河南开封·二模）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 【答案】BCD 【解析】对于A，原点到直线的距离为， 所以圆上动点到直线的距离的最大值为，故 A错误； 对于B，满足的动点的轨迹是以为直径的圆， 设线段的中点为，则，圆的半径为， 所以圆， ，因为，所以圆与圆相交，故B正确； 对于C，过点作圆的两条切线，切点分别为， 由切线性质可知四点共圆，该圆的方程为， 则直线的方程为两圆的相交弦， 所以，故C正确； 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有， 设，则， 化简可得， 因为，所以，即点 所以， 当且仅当三点共线且点在中间时等号成立， 所以的最小值是，故D正确． 【变式7-4】（多选题）（2026·高二·河南新乡·阶段检测）已知直线（）与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，下列结论正确的是（   ） A．线段中点的轨迹方程是 B．点到点的距离的最大值为 C．点到点的距离的最小值为 D．点活动区域围成图形的面积为 【答案】BD 【解析】由，得， 由，得， 由，得，设，则， 即， 因此点的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为，即有， 则代入，整理得：， 即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 即线段中点的轨迹方程是，所以A错误； 点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点到点的距离的最大值， 所以最大值为，所以B正确； 点与圆上点连线的距离减去圆C的半径即为点到点的距离的最小值， 所以最小值为，所以C错误； 点轨迹是以圆心在圆上，半径为的圆， 故点C的活动区域为圆盘，其面积为，所以D项正确． 故选：BD. 【变式7-5】（多选题）（2026·高二·河南信阳·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中．已知，，点满足．设点的轨迹为圆，下列结论正确的有（    ） A．圆的方程是 B．圆与圆有四条公切线 C．的最小值为 D．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，则该直线斜率为 【答案】ACD 【解析】对于A，设，由， 可得， 即，化简可得，故A正确； 对于B，圆圆心到圆圆心的距离为， 又因为且， 故两圆相交，有两条公切线，故B错误； 对于C，由选项A可知：圆的圆心为，半径， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的取值范围为，即的最小值为，故C正确； 对于D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意， 设直线，则由题意C到的距离等于， 即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确. 故选：ACD. 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 2．（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为， 其中，设， 代入 得方程解得 或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 3．（2026·高一·北京西城·期中）如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 4．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 5．（2026·高二·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 6．（2026·高二·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 7．（2026·高二·浙江杭州·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，，且两圆相交， 则，则， 因为点到直线的距离为， 则圆与圆中间的圆环内的点到直线的距离，即， 则，故的取值范围为. 8．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得； 综上，则或. 9．（多选题）（2026·高二·广西玉林·期中）点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（    ） A．圆心距 B．的最小值为2 C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为4 【答案】ACD 【解析】由题意可知：圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 对于选项ABC：圆心距，故A正确； 的最小值为，故B错误； 的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为， 可知点M在圆内，当圆经过点M的弦与垂直时，弦长取最小值， 最小值为，故D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）（2026·高二·贵州毕节·期中）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法错误的是（    ） A．圆和圆的公共弦所在直线方程为 B．圆和圆关于直线对称 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】化简，圆心， ，圆心， A.    两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为，故A选项错误； B.    与公共弦直线方程平行，故不可能对称，B选项错误； C.    两圆心距离为，，故C选项错误； D. 如图，设关于直线的对称点为， 则，解得，即关于直线对称点为 连接交直线于点M，此时最小, ，即的最小值为，故D正确. 故答案为：ABC 11．（多选题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 12．（多选题）（2026·高二·河南周口·期末）已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 【答案】AD 【解析】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误； 对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误； 对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确. 13．（多选题）（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆过定点 B．若圆与直线相交，则 C．若圆与圆相切，则圆的面积为 D．对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 【答案】ACD 【解析】对于A，由，可知圆过定点，故A正确； 对于B，，由圆与直线相交得， 解得或，故B错误； 对于C，由两圆半径相同，故不可能内切，于是只能外切，而， 故，即，可得圆的面积为，故C正确； 对于D，由题意知，直线的方程为，即， 设与其平行的直线方程为，若其与两圆均相切，则， 整理得， 取时等号成立，故D正确. 14．（2026·山东·模拟预测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【解析】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 15．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可） 【答案】9，（满足即可，答案不唯一） 【解析】因为，， 所以点P的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆， 则点P的轨迹方程为， 又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点， 因为，且， 所以，解得. 16．（2026·高二·湖南衡阳·开学考试）若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】由已知得，半径，，半径. 因为，两圆没有公共点， 所以两圆的位置关系为外离或内含， 所以或， 即或， 所以或，即或或. 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 17．（2026·高二·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【解析】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 18．（2026·高二·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知圆 圆 (1)若圆C₁与圆C₂恰有三条公切线，求实数a的值； (2)设a = 2时，圆C₁与圆C₂相交于A、B两点，求|AB|. 【解析】（1）因圆与圆恰有3条公切线，所以两圆外切， 又因为圆：，所以圆心，半径， 同理，圆：，圆心，半径， 所以圆心距， 由，得， 解得或. （2）当时，圆：，其圆心为,半径为， 圆：，其圆心为，半径为， 则两圆的圆心距，即两圆相交， 将两圆方程相减得，即两圆的公共弦所在直线方程， 所以圆心到直线的距离为：， 且半径，则. 19．（2026·高二·河南开封·开学考试）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【解析】（1），， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. （2）①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 20．（2026·高二·安徽安庆·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆：（）与圆没有公共点，求的取值范围. 【解析】（1）设圆心为， 因为圆心在直线上，所以，即. 又圆经过和，所以， 代入，并化简： ， 因此，圆心为， 半径 所以圆的标准方程为：. （2）圆：圆心，半径； 圆：圆心，半径 两圆没有公共点，即外离或内含. 圆心距 外离条件： , 解得或 内含条件： , , 判别式，无解. 的取值范围为：或 21．（2026·高二·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【解析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. （2）由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 圆与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：判断两圆的位置关系 题型 2：由两圆位置关系求参数 题型 3：求两圆的公切线长 题型 4：求两圆的公切线方程 题型 5：过两圆交点的圆系方程应用 题型 6：求两圆公共弦方程与弦长 题型 7：圆相关的最值问题求解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆与圆的位置关系 公切线方程 公共弦方程 公共弦长 过交点的圆系方程 1. 掌握圆与圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），能通过圆心距与两圆半径的数量关系准确判断两圆的位置关系。 2. 理解两圆相切、相交的几何特征，掌握公切线的相关概念，能计算两圆的公切线长，求解公切线方程。 3. 掌握两圆公共弦所在直线方程的推导方法，能求解公共弦方程并计算公共弦的长度。 4. 了解过两圆交点的圆系方程，能利用圆系方程简化求解过两圆交点的圆的相关问题。 5. 能结合圆的几何性质解决与两圆相关的最值问题，深化数形结合与转化化归的数学思想。 学习重点：圆与圆位置关系的判定方法、两圆公共弦方程与弦长的计算、公切线长的求解。 学习难点：两圆公切线方程的求解、过两圆交点的圆系方程的灵活应用、与两圆相关的最值问题的分析与求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法一般是几何法，如下表： 位置关系 几何法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 即时即练圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 知识点02 圆与圆的公切线 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条 即时即练已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 知识点03 公共弦所在直线方程 设圆，圆 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得 方程表示圆与的公共弦所在直线的方程． （1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． （2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． 即时即练已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 知识点04 过两圆交点的圆系方程 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆）， 特别地，当时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 即时即练过两圆与的交点和点的圆的方程是_______________. 题型 1：判断两圆的位置关系 【典例1-1】（2026·高二·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【典例1-2】（2026·高二·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1-1】（2026·高二·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【变式1-2】（2026·高二·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【变式1-3】（2026·高二·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 题型 2：由两圆位置关系求参数 【典例2-1】（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高二·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·河北石家庄·一模）已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高三·全国·二轮复习）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型 3：求两圆的公切线长 【典例3-1】（2026·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【典例3-2】（2026·高二·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【变式3-1】（2026·高二·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【变式3-3】（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【变式3-4】（2026·高二·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 题型 4：求两圆的公切线方程 【典例4-1】（2026·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高三·四川巴中·阶段检测）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高三·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-2】（2026·高三·重庆·阶段检测）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高三·广西百色·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 题型 5：过两圆交点的圆系方程应用 【典例5-1】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【典例5-2】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【变式5-1】（2026·高二·广西钦州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【变式5-2】求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程． 【变式5-3】（2026·高二·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 题型 6：求两圆公共弦方程与弦长 【典例6-1】（2026·高二·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为__________. 【典例6-2】（2026·高二·安徽芜湖·期末）若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 【变式6-1】（2026·高二·江苏南京·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 【变式6-2】（2026·高二·山东淄博·阶段检测）已知圆，过点作圆的切线，切点为，则直线的方程为___________线段AB的长度为___________ 【变式6-3】（2026·高二·甘肃平凉·期末）已知圆和圆相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为______． 题型 7：圆相关的最值问题求解 【典例7-1】（多选题）（2026·高二·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【典例7-2】（多选题）（2026·高二·河北邢台·开学考试）若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 【变式7-1】（多选题）（2026·高二·安徽·期中）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式7-2】（多选题）（2026·高二·福建莆田·期末）点在圆上，点在圆上，则（ ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两圆的公切线有2条 【变式7-3】（多选题）（2026·河南开封·二模）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 【变式7-4】（多选题）（2026·高二·河南新乡·阶段检测）已知直线（）与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，下列结论正确的是（   ） A．线段中点的轨迹方程是 B．点到点的距离的最大值为 C．点到点的距离的最小值为 D．点活动区域围成图形的面积为 【变式7-5】（多选题）（2026·高二·河南信阳·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中．已知，，点满足．设点的轨迹为圆，下列结论正确的有（    ） A．圆的方程是 B．圆与圆有四条公切线 C．的最小值为 D．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，则该直线斜率为 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·北京西城·期中）如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（2026·高二·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（2026·高二·浙江杭州·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 9．（多选题）（2026·高二·广西玉林·期中）点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（    ） A．圆心距 B．的最小值为2 C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为4 10．（多选题）（2026·高二·贵州毕节·期中）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法错误的是（    ） A．圆和圆的公共弦所在直线方程为 B．圆和圆关于直线对称 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 11．（多选题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 12．（多选题）（2026·高二·河南周口·期末）已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 13．（多选题）（2026·高二·江西南昌·阶段检测）已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆过定点 B．若圆与直线相交，则 C．若圆与圆相切，则圆的面积为 D．对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 14．（2026·山东·模拟预测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 15．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可） 16．（2026·高二·湖南衡阳·开学考试）若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 17．（2026·高二·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 18．（2026·高二·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知圆 圆 (1)若圆C₁与圆C₂恰有三条公切线，求实数a的值； (2)设a = 2时，圆C₁与圆C₂相交于A、B两点，求|AB|. 19．（2026·高二·河南开封·开学考试）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 20．（2026·高二·安徽安庆·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆：（）与圆没有公共点，求的取值范围. 21．（2026·高二·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $