第09讲 圆的标准方程与一般方程（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第09讲 圆的标准方程与一般方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：圆的标准方程求解 题型 2：圆的一般方程求解 题型 3：二元二次方程表圆判定 题型 4：点与圆位置关系判定 题型 5：点到圆的距离最值 题型 6：圆的轨迹方程求解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆的定义 圆的标准方程 圆的一般方程 点与圆的位置关系 1. 理解圆的几何定义，掌握圆的标准方程的推导过程，能根据圆心坐标与半径准确写出圆的标准方程，也能从标准方程中直接读出圆心与半径。 2. 掌握圆的一般方程的形式特征，理解二元二次方程表示圆的充要条件，能熟练完成圆的标准方程与一般方程的相互转化。 3. 掌握待定系数法求圆的方程的基本步骤，能根据题目给出的几何条件，合理选择标准方程或一般方程求解圆的方程。 4. 掌握点与圆三种位置关系的判定方法，能通过代数计算或几何特征判断点与圆的位置关系，并解决相关的简单应用问题。 学习重点：圆的标准方程与一般方程的形式及互化，待定系数法求圆的方程，点与圆的位置关系判定。学习难点：圆的一般方程表示圆的充要条件的理解，根据不同几何条件灵活选取方程形式求解圆的方程，圆的方程的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 即时即练过点，的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点02 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 即时即练若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点03 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上, 即时即练已知，点是圆上任意一点，则的最小值为________，最大值为________. 知识点04 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程 的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 即时即练过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型 1：圆的标准方程求解 【典例1-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高二·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2026·高二·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 题型 2：圆的一般方程求解 【典例2-1】（2026·高二·北京·期中）“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高二·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·内蒙古锡林郭勒·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 题型 3：二元二次方程表圆判定 【典例3-1】（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例3-2】若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式3-1】（2026·高二·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·高二·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 题型 4：点与圆位置关系判定 【典例4-1】（2026·高二·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高二·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高二·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·湖北咸宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 5：点到圆的距离最值 【典例5-1】（2026·高二·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【典例5-2】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 【变式5-1】（2026·高二·江苏南京·期末）已知实数满足关系：，则的最小值______． 【变式5-2】（2026·高二·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是______________. 【变式5-3】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）已知圆，圆，，分别为圆和上的动点，为轴上的动点，则的最小值为___． 题型 6：圆的轨迹方程求解 【典例6-1】（2026·高三·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【典例6-2】（2026·高二·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 【变式6-1】（2026·高二·天津·阶段检测）已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， (1)求圆C的方程； (2)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【变式6-2】（2026·高二·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【变式6-3】已知直线过点，直线过点，且，互相垂直，若，交于点，求点的轨迹方程． 【变式6-4】（2026·高二·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【变式6-5】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 1．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 2．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·山东济宁·期末）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 5．（2026·高二·河南信阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·高二·广东广州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．1 B．11 C．21 D．31 7．（2026·高二·北京·期末）若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·高二·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 11．（2026·高二·安徽·阶段检测）有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 12．（多选题）（2026·高二·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（   ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 13．（多选题）（2026·高二·吉林四平·阶段检测）已知为直线上的动点，下列结论正确的是（    ） A．若，则点的轨迹是一个圆 B．若，则点的轨迹是一条直线 C．若，则点到的距离为 D．是的一个方向向量 14．（多选题）（2026·高二·安徽·阶段检测）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 15．（2026·高二·四川南充·期中）已知为圆：上一动点，，点为轴上一动点，则的最小值为__________． 16．（2026·高二·山东菏泽·阶段检测）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 17．（2026·高二·上海·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 18．（2026·高二·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 19．（2026·高二·云南大理·期中）在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 20．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 21．（2026·高二·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线. (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 22．（2026·高二·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 23．（2026·高二·陕西咸阳·期末）已知过点的直线与直线平行. (1)求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程. 24．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）已知平行四边形的两条边所在直线方程分别为，，且它的对角线交点. (1)求顶点、的坐标； (2)求此平行四边形的面积； (3)求外接圆的标准方程. 25．（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 圆的标准方程与一般方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：圆的标准方程求解 题型 2：圆的一般方程求解 题型 3：二元二次方程表圆判定 题型 4：点与圆位置关系判定 题型 5：点到圆的距离最值 题型 6：圆的轨迹方程求解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆的定义 圆的标准方程 圆的一般方程 点与圆的位置关系 1. 理解圆的几何定义，掌握圆的标准方程的推导过程，能根据圆心坐标与半径准确写出圆的标准方程，也能从标准方程中直接读出圆心与半径。 2. 掌握圆的一般方程的形式特征，理解二元二次方程表示圆的充要条件，能熟练完成圆的标准方程与一般方程的相互转化。 3. 掌握待定系数法求圆的方程的基本步骤，能根据题目给出的几何条件，合理选择标准方程或一般方程求解圆的方程。 4. 掌握点与圆三种位置关系的判定方法，能通过代数计算或几何特征判断点与圆的位置关系，并解决相关的简单应用问题。 学习重点：圆的标准方程与一般方程的形式及互化，待定系数法求圆的方程，点与圆的位置关系判定。学习难点：圆的一般方程表示圆的充要条件的理解，根据不同几何条件灵活选取方程形式求解圆的方程，圆的方程的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 即时即练过点，的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，要使过点，的圆的面积最小，那么此时圆的直径为， 此时圆的圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为，故B正确. 知识点02 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 即时即练若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 知识点03 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上, 即时即练已知，点是圆上任意一点，则的最小值为________，最大值为________. 【答案】 4 6 【解析】圆的圆心，半径， 则. 所以， . 故答案为：4；6. 知识点04 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程 的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 即时即练过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 题型 1：圆的标准方程求解 【典例1-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 【典例1-2】（2026·高二·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 【变式1-1】（2026·高二·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得圆心坐标为，圆直径为：，则圆半径为. 从而圆方程为：. 故选：C 【变式1-2】（2026·高二·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 【变式1-3】（2026·高二·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 【变式1-4】（2026·高二·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 题型 2：圆的一般方程求解 【典例2-1】（2026·高二·北京·期中）“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，，， ， 则直线的方程为，所以， 是线段的中点，所以， 是线段的中点，所以， 设康威圆的方程为， 代入，，得： ，解得， 所以圆的一般方程为，即， 所以圆心. 故选：D 【典例2-2】（2026·高二·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 【变式2-1】（2026·高二·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的方程为. 因该圆过点，，，所以，解得. 因此圆的方程为. 化简得. 因此该圆的圆心为. 故选：C 【变式2-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 【变式2-3】（2026·高二·内蒙古锡林郭勒·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 【变式2-4】已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的一般方程为，圆心坐标为， 因为圆经过两点，，且圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为. 故选：C. 题型 3：二元二次方程表圆判定 【典例3-1】（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 【典例3-2】若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 【变式3-1】（2026·高二·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 【变式3-2】（2026·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 【变式3-3】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 【变式3-4】（2026·高二·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 【变式3-5】（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【解析】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 题型 4：点与圆位置关系判定 【典例4-1】（2026·高二·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 【典例4-2】（2026·高二·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-1】（2026·高二·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 【变式4-2】（2026·高二·湖北咸宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 题型 5：点到圆的距离最值 【典例5-1】（2026·高二·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【解析】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 【典例5-2】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 【答案】 【解析】由，令，即，解得，即， 所以，， 所以直线的方程为：， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为：， 所以点到直线的距离的最小值为：， 所以面积的最小值为. 【变式5-1】（2026·高二·江苏南京·期末）已知实数满足关系：，则的最小值______． 【答案】 【解析】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心 坐标为，圆的半径 ， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离； 如图 ， ， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 【变式5-2】（2026·高二·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是______________. 【答案】40 【解析】圆的方程为，其圆心. 根据两点间距离公式，原点到圆心的距离. 因为在圆上运动，圆的半径. 表示点到原点距离的平方. 的最小值为； 的最大值为. 最大值与最小值的差为. 故答案为：40. 【变式5-3】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）已知圆，圆，，分别为圆和上的动点，为轴上的动点，则的最小值为___． 【答案】 【解析】圆，圆心坐标，半径为， 则圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为， 又圆的圆心坐标，半径为， 的最小值为圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和， 即：． 故答案为:． 题型 6：圆的轨迹方程求解 【典例6-1】（2026·高三·河北邢台·阶段检测）已知，两点． (1)求以线段为直径的圆的标准方程； (2)若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【解析】（1）因为为直径，则的中点为， 所以圆心为， 半径， 所以圆的标准方程为. （2）设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得， 所以， （1）知，点的轨迹方程为， 将代入得， 即. 又∵，∴， ∴动点的轨迹方程为．（除两点）. 【典例6-2】（2026·高二·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 【解析】（1）由得中点为. 直线的斜率. 所以其垂直平分线的斜率. 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为外接圆半径，圆心为. 所以外接圆方程为. （2）设，又. 则. 由于在上，将其代入圆方程可得. 化简可得. 即所求的轨迹方程为. 【变式6-1】（2026·高二·天津·阶段检测）已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， (1)求圆C的方程； (2)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【解析】（1）设圆心坐标为， 圆的圆心在直线上且与轴切于点， ，解得， 圆心，半径， 故圆的方程为. （2）设点的坐标为，点的坐标为， 点，又点为的中点， ，， ，即点的坐标为， 在圆上运动， ， 即， 点的轨迹方程为. 【变式6-2】（2026·高二·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【解析】设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得，即， 所以的轨迹方程为. 【变式6-3】已知直线过点，直线过点，且，互相垂直，若，交于点，求点的轨迹方程． 【解析】方法一：由题可知 ,所以点C的轨迹是以AB为直径的圆，圆心坐标为 ,半径为1. 分析可知，当点 C 与 A 或 B 重合时，满足题意. 所以点C的轨迹方程是：. 方法二：设点． 当直线，的斜率都存在时，可得其斜率分别为,. 由，互相垂直，可得, 化简整理得，即为点的轨迹方程. 当直线斜率不存在时，其方程是:,此时的斜率为,其方程是,点与点重合,满足上述方程； 当直线的斜率不存在时，其方程是:,此时直线的斜率为,其方程是:  .  ,此时点  C  与点 重合；点与点重合,满足上述方程. 综上可知，点的轨迹方程为． 方法三: 解:由直线，互相垂直，且，交于点，得,即,所以, 设点(异于、)，则， 当点与或重合时，满足条件，其坐标满足上述方程. 所以,点的轨迹方程为. 【变式6-4】（2026·高二·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【解析】（1）设， 由题意可知：，即， 则，整理可得， 所以动点的轨迹方程为； （2）设， 因为点为线段的中点，且，则， 又因为点在圆上运动， 则，可得， 所以点的轨迹方程为. 【变式6-5】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【解析】（1）设直线的斜率为， 因为直线的一个方向向量为，所以， 所以直线的方程为，即； （2）方法一：设，因为三点不共线，所以. 因为，且斜率均存在，所以， 又，所以，化简得， 因此，直角顶点C的轨迹方程为，即. 方法二：线段的中点为，由中点坐标公式得， 由直角三角形的性质知, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 （由于三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 所以直角顶点的轨迹方程为. 1．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 2．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 所以， 又，所以， 以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，设， 所以，整理得到， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，故到距离的最大值为， 则三角形面积的最大值为. 3．（2026·高二·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 4．（2026·高二·山东济宁·期末）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 【答案】D 【解析】因为，所以， 又直线：，则过定点， 直线：，则过定点， 因为且交于，所以， 所以点P的轨迹是圆心为AB中点、半径为的圆， 所以点的轨迹方程为， 表示该圆上的点到原点的距离的平方， 又圆上点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：D 5．（2026·高二·河南信阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】AO是∠BAC的角平分线，， 设，则，两边平方化简得， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去与轴的交点）. ，又，. 故选：C. 6．（2026·高二·广东广州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．1 B．11 C．21 D．31 【答案】C 【解析】因为，则设， 则，其中， 则， 当时，取最大值为. 故选：C. 7．（2026·高二·北京·期末）若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在圆外， 所以， 即存在，使得（其中）， 所以只需， 故，即， 解得， 故选：B 8．（2026·高二·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 设，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D. 9．（2026·高二·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 10．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 【答案】C 【解析】以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得，解得， ∴圆． 当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7． 故选：C． 11．（2026·高二·安徽·阶段检测）有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系如图，则， 可知圆心在y轴负半轴上，设为， 则，即，解得， 即圆心为，半径， 可得桥拱所在圆的方程为， 令，可得，解得， 所以水面宽是12米． 故选：A. 12．（多选题）（2026·高二·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（   ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 【答案】ACD 【解析】当时方程为；当时方程为； 当时方程为；当时方程为， 对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变， 因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心， 为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离， 因此曲线在第一象限围成图形面积， 由对称性得总面积为，B错误； 对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确； 对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 13．（多选题）（2026·高二·吉林四平·阶段检测）已知为直线上的动点，下列结论正确的是（    ） A．若，则点的轨迹是一个圆 B．若，则点的轨迹是一条直线 C．若，则点到的距离为 D．是的一个方向向量 【答案】BCD 【解析】因为点为直线上的动点，设，若， 则，即，因为， 所以，显然点的轨迹是由点确定， 当确定时，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，故A错误； 若，则，所以，又点在直线上， 所以，即点的轨迹方程为，它是一条直线，故B正确； 若，则点到的距离即为直线与直线的距离，即为，故C正确； 直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故D正确； 故选：BCD 14．（多选题）（2026·高二·安徽·阶段检测）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AC 【解析】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 15．（2026·高二·四川南充·期中）已知为圆：上一动点，，点为轴上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 如图，由题意，的最小值是，最小值即为求最小值，点关于轴的对称点为，则， 当，，三点共线时，最小， ，即此时的值最小，即 的最小值为. 故答案为：. 16．（2026·高二·山东菏泽·阶段检测）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 【答案】 【解析】设，因为点在圆上运动， 所以，且， 又点，，， 所以 ， 令，函数为减函数，又， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值. 所以取的最大值与最小值之和为. 故答案为： 17．（2026·高二·上海·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为_______________ . 【答案】64 【解析】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：， 当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 18．（2026·高二·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【解析】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 19．（2026·高二·云南大理·期中）在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设三角形内切圆半径为，则， 即，解得，所以圆心为， 故圆的方程为，设， 则 20．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 【解析】（1） 因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得. 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得； （2）因为，， . 所以的周长为， 的面积为； （3） 设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为. 设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于， 则，解得. 所以的内切圆的方程为. 21．（2026·高二·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线. (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【解析】（1）由题意，直线的斜率， 则所求直线的斜率， 代入点斜式方程得， ∴过点且和垂直的直线的方程为. （2）设圆心为，半径为 ∵圆心在直线上，，则点为， 由题意可得， 则，解得， ∴圆心的坐标为，半径， 圆的标准方程为. 22．（2026·高二·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 【解析】（1）由可知其中点. 设线段的中垂线的斜率为， 则， 易知过点，所以，即； （2）由解得，故圆心坐标为， 圆的半径为， 故圆的标准方程为. 23．（2026·高二·陕西咸阳·期末）已知过点的直线与直线平行. (1)求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程. 【解析】（1）设直线的方程为， 把点代入可得：，解得， 故直线的方程为：. （2）由点和点可得，线段的中垂线方程为， 联立，解得， 即圆心的坐标为， 又半径， ∴圆的标准方程为. 24．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）已知平行四边形的两条边所在直线方程分别为，，且它的对角线交点. (1)求顶点、的坐标； (2)求此平行四边形的面积； (3)求外接圆的标准方程. 【解析】（1）联立，解得. 因为为平行四边形对角线交点，所以为中点，设，则，解得. （2）因为四边形为平行四边形，所以，所以. 设，则，解得， 所以. 又点到距离为： （3）因为四边形为平行四边形，所以，设直线方程为， 代入得，解得，所以直线方程为. 联立和得，解得. 设圆的方程为，又三个顶点为，，， 则，解得. 故外接圆的标准方程为 25．（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 【解析】（1）由题可设圆心的坐标为，则有，整理求得， 故圆心为，， 则圆的方程为； （2）设线段中点，， 由题意知，， ∵点P在圆上运动， ∴， ∴的轨迹方程为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $