第08讲 点到直线的距离（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第08讲 点到直线的距离 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：点到直线距离计算 题型 2：直线围图形面积求解 题型 3：两平行线间距离计算 题型 4：点关于直线对称 题型 5：直线关于点对称 题型 6：直线关于直线对称 题型 7：反射光线应用 题型 8：将军饮马最值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 点到直线的距离公式 两点间距离公式 距离公式的推导 平行线间的距离 距离公式的综合应用 1. 理解点到直线距离的几何定义，掌握点到直线距离公式的推导过程，能准确表述并熟记距离公式，明确公式的适用前提。 2. 掌握点到直线距离公式的使用步骤，能将直线方程化为一般式后代入公式，规范、准确地计算点到直线的距离。 3. 理解两条平行直线间距离的几何意义，掌握将平行线距离转化为点到直线距离的化归方法，能求解两平行直线间的距离。 4. 能运用点到直线的距离公式解决三角形面积、直线对称、动点距离最值等综合问题，深化数形结合思想，提升运算求解与逻辑推理能力。 学习重点：点到直线的距离公式及其应用，两平行直线间距离的求解，距离公式在平面几何问题中的常规应用。 学习难点：点到直线距离公式的推导与理解，距离公式与直线位置关系的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 即时即练已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 知识点02 两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 即时即练若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 题型 1：点到直线距离计算 【典例1-1】（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【典例1-2】（2026·高二·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-2】（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【变式1-3】（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 题型 2：直线围图形面积求解 【典例2-1】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【典例2-2】（2026·高二·江苏南通·期末）已知点，直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若，设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【变式2-1】（2026·高二·四川广安·期末）已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点M； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于A，B两点，求面积的最小值及面积取得最小值时直线的方程． 【变式2-2】（2026·高二·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【变式2-3】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【变式2-4】（2026·高一·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 题型 3：两平行线间距离计算 【典例3-1】（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 题型 4：点关于直线对称 【典例4-1】（2026·高二·山东青岛·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高二·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高二·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高二·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 题型 5：直线关于点对称 【典例5-1】（2026·高二·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【典例5-2】（2026·高三·全国·三轮复习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高二·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高二·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2026·高二·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式5-5】（2026·高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型 6：直线关于直线对称 【典例6-1】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【典例6-2】（2026·高二·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高二·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式6-2】（2026·高二·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高二·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-4】（2026·高二·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 题型 7：反射光线应用 【典例7-1】如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【典例7-2】（2026·高二·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高二·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式7-2】（2026·高二·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式7-4】（2026·高二·重庆·期末）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-5】（2026·高二·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型 8：将军饮马最值 【典例8-1】（2026·高二·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【典例8-2】已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为________. 【变式8-1】（2026·高二·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【变式8-2】（2026·高二·江西宜春·阶段检测）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【变式8-3】（2026·高二·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为________ 【变式8-4】（2026·高二·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【变式8-5】（2026·高二·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为______，的最大值为______ . 1．（2026·高二·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 8．（2026·高二·天津西青·期末）与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·高二·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 10．（2026·高二·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 11．（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 12．（多选题）（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 13．（多选题）（2026·高二·浙江·开学考试）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 14．（多选题）（2026·高二·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 15．（2026·高二·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 16．点到直线的最大距离是______． 17．（2026·高二·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 18．（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 19．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 20．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 21．（2026·高二·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 22．（2026·高二·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 23．（2026·高二·上海·期末）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球的位置为，目标球的位置为，球的位置为． (1)如图①，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程； (2)如图②，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程． 24．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 点到直线的距离 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：点到直线距离计算 题型 2：直线围图形面积求解 题型 3：两平行线间距离计算 题型 4：点关于直线对称 题型 5：直线关于点对称 题型 6：直线关于直线对称 题型 7：反射光线应用 题型 8：将军饮马最值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 点到直线的距离公式 两点间距离公式 距离公式的推导 平行线间的距离 距离公式的综合应用 1. 理解点到直线距离的几何定义，掌握点到直线距离公式的推导过程，能准确表述并熟记距离公式，明确公式的适用前提。 2. 掌握点到直线距离公式的使用步骤，能将直线方程化为一般式后代入公式，规范、准确地计算点到直线的距离。 3. 理解两条平行直线间距离的几何意义，掌握将平行线距离转化为点到直线距离的化归方法，能求解两平行直线间的距离。 4. 能运用点到直线的距离公式解决三角形面积、直线对称、动点距离最值等综合问题，深化数形结合思想，提升运算求解与逻辑推理能力。 学习重点：点到直线的距离公式及其应用，两平行直线间距离的求解，距离公式在平面几何问题中的常规应用。 学习难点：点到直线距离公式的推导与理解，距离公式与直线位置关系的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 即时即练已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为直线的一个方向向量为， 又与直线垂直，所以， 解得，所以直线， 所以到直线的距离为. 知识点02 两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 即时即练若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【解析】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 题型 1：点到直线距离计算 【典例1-1】（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【解析】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 【典例1-2】（2026·高二·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点到直线的距离为. 故选：B. 【变式1-1】（2026·高二·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 【变式1-2】（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 【变式1-3】（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【解析】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 题型 2：直线围图形面积求解 【典例2-1】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【解析】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 【典例2-2】（2026·高二·江苏南通·期末）已知点，直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若，设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【解析】（1）因为直线，联立 所以交点， 因为C在线段AB上，所以， 即，解得 所以或 （2）因为直线，联立 所以交点； 令中，则，所以， 因为，所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为， 设， 所以， 所以当即时，S的最小值为4. 【变式2-1】（2026·高二·四川广安·期末）已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点M； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于A，B两点，求面积的最小值及面积取得最小值时直线的方程． 【解析】（1）由，可得， 令，解得，所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，， 令，得；令，得； 所以面积 ， 当且仅当，即时，的面积取得最小值为4． 此时直线的方程为． 【变式2-2】（2026·高二·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【解析】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 【变式2-3】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【解析】（1）直线的方程可以改写为， 令，所以直线过定点， 因为在第一象限，所以不论为何值，直线总经过第一象限； （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，， 令，得；令，得， 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 【变式2-4】（2026·高一·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 【解析】（1）由题意可知线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 因此边上的高所在的直线的方程为，即. （3）直线的方程为，即， ， 点到直线的方程为， 因此，. 题型 3：两平行线间距离计算 【典例3-1】（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 【典例3-2】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线，直线平行， 则直线与间的距离为. 【变式3-1】（2026·高二·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 【变式3-2】（2026·高二·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C 【变式3-3】（2026·高二·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 题型 4：点关于直线对称 【典例4-1】（2026·高二·山东青岛·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 【典例4-2】（2026·高二·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 【变式4-1】（2026·高二·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 【变式4-2】（2026·高二·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即. 故选：A 【变式4-3】（2026·高二·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 题型 5：直线关于点对称 【典例5-1】（2026·高二·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【典例5-2】（2026·高三·全国·三轮复习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式5-1】（2026·高二·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【变式5-2】（2026·高二·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A 【变式5-3】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 【变式5-4】（2026·高二·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 【变式5-5】（2026·高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 题型 6：直线关于直线对称 【典例6-1】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【解析】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【典例6-2】（2026·高二·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式6-1】（2026·高二·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 【变式6-2】（2026·高二·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 【变式6-3】（2026·高二·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 【变式6-4】（2026·高二·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 题型 7：反射光线应用 【典例7-1】如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 【典例7-2】（2026·高二·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 【变式7-1】（2026·高二·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是. 故选：B 【变式7-2】（2026·高二·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则， 直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B 【变式7-3】（2026·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 【变式7-4】（2026·高二·重庆·期末）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意易得AB所在的直线方程为，即. 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点P关于直线AB对称的点为， 点P关于y轴对称的点为，则直线MN即直线， 则直线MN的方程为， 故选：D 【变式7-5】（2026·高二·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 题型 8：将军饮马最值 【典例8-1】（2026·高二·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 【典例8-2】已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为________. 【答案】 【解析】作点关于轴的对称点， 作点关于直线的对称点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 【变式8-1】（2026·高二·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式8-2】（2026·高二·江西宜春·阶段检测）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 【变式8-3】（2026·高二·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为________ 【答案】 【解析】， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得，解得， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 【变式8-4】（2026·高二·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 【变式8-5】（2026·高二·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为______，的最大值为______ . 【答案】 . 【解析】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 1．（2026·高二·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 2．（2026·高二·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 3．（2026·高二·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 4．（2026·高三·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 5．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【解析】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 7．（2026·高二·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【解析】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 8．（2026·高二·天津西青·期末）与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与直线关于轴对称的直线为l, 取l上任意一点，则关于轴的对称点为， 所以在直线上，即，亦即. 故选：D. 9．（2026·高二·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 10．（2026·高二·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】因为直线与， 所以，解得， 则方程为，即， 由平行线间距离公式得距离为，故A正确. 故选：A 11．（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 12．（多选题）（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【解析】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 13．（多选题）（2026·高二·浙江·开学考试）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【解析】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 14．（多选题）（2026·高二·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 【答案】ABC 【解析】A：由题设，原点到直线的距离为，对， B：由， 所以任意，点在直线上，对， C：令，则， 令，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，对， D：由原点与点所成直线的斜率为， 而直线的斜率为，显然其不与直线垂直， 所以原点与点不关于直线对称，错. 故选：ABC 15．（2026·高二·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 【答案】 【解析】设点关于的对称点的坐标为，连接， 则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 16．点到直线的最大距离是______． 【答案】 【解析】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 17．（2026·高二·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【解析】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 18．（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【答案】 【解析】因为，，所以. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，即. 因为为边的中点，所以. 因为，所以. 直线：，即. 直线：，即. 联立，解得，即. 故. 19．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【解析】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 20．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【解析】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 21．（2026·高二·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【解析】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 22．（2026·高二·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【解析】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 23．（2026·高二·上海·期末）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球的位置为，目标球的位置为，球的位置为． (1)如图①，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程； (2)如图②，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程． 【解析】（1）若，即，所以， 即，此时三点共线， 故的球心运动的直线方程为，即. （2）若，由（1）知过的直线方程为， 依题意，当两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限， 设两球碰撞时球的球心坐标为，此时， 则有，解得，即， 所以母球的球心运动的直线方程为. 24．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 【解析】（1）由题可设直线的方程为， 把点代入可得，解得. 直线的方程为. （2）设，则，，联立解得，.. 设，则，，联立解得，. . （3）是的中点，，到的距离， 又点到的距离，. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $