预习16 直线与圆锥曲线的位置关系（2知识点+8题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习16 直线与圆锥曲线的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与圆锥有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示（以椭圆为例）． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量,得到关于另一个变量的方程,则有下列结论： 当，时，直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离； 当，时，直线与圆锥曲线有且仅有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 当时， 直线与圆锥曲线有两个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离． 知识点 2 ：弦长问题 设直线与圆锥曲线的两个交点为,则或 【题型1 直线与圆锥曲线位置关系的判断】 1．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 3．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 5．已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 6．已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作 条（填“条数”）． 【题型2 圆锥曲线的切线问题】 7．抛物线中，以为切点的切线方程为 8．已知抛物线：的准线与轴相交于点， (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 9．已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程． 10．已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【题型3 圆锥曲线的弦长问题】 11．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，则 ． 12．经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ． 13．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 15．已知双曲线：，点的坐标为 ．设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长． 16．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 【题型4 圆锥曲线的中点弦问题】 17．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 18．已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 19．已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 20．已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 21．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 22．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于点，且点是线段的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由. 【题型5 直线与圆锥曲线相交面积问题】 23．已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 24．已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（    ） A． B．5 C．2 D． 25．已知椭圆：的离心率是，点分别为的左右顶点，为上异于的一点，直线的斜率分别是． (1)求证：； (2)设为上的两点，是坐标原点，，，若面积是，求的方程． 26．已知双曲线过点，，分别为圆的两条切线，且分别交双曲线于点. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)当时，求的面积. 27．已知和，直线与椭圆切于点. (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 28．已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 【题型6 圆锥曲线的定值问题】 29．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 30．已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 31．已知双曲线经过，两点， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，点（异于点，），的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值． 32．过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为、（、不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为、，求证：为定值． 33．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.     34．已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 【题型7 圆锥曲线的定点问题】 35．已知椭圆的离心率为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求的方程； (2)已知为的左顶点，不过点的直线与交于两点，直线的斜率分别为，，，若，证明：过定点． 36．已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 37．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 38．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 39．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 40．已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点． 【题型8 圆锥曲线的最值、取值范围问题】 41．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 42．已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 43．抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为 ． 44．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 45．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 46．在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为. (1)求； (2)若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 1．若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段为直径的圆交y轴于两点，设线段的中点为H，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．设.为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点.若的面积是的面积的3倍，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线E：的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，满足，线段AB的中点为M，M到抛物线E的准线的距离为d，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．以MN为直径的圆与l相切 8．已知是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于异于原点的两点，若，则双曲线的渐近线方程是 . 9．如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 10．已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 11．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 12．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 13．如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． (1)求椭圆Γ的方程； (2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 14．已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习16 直线与圆锥曲线的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与圆锥有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示（以椭圆为例）． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量,得到关于另一个变量的方程,则有下列结论： 当，时，直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离； 当，时，直线与圆锥曲线有且仅有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 当时， 直线与圆锥曲线有两个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离． 知识点 2 ：弦长问题 设直线与圆锥曲线的两个交点为,则或 【题型1 直线与圆锥曲线位置关系的判断】 1．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【详解】直线，即恒过点， 又双曲线的渐近线方程为， 则点在其中一条渐近线上， 又直线与双曲线只有一个交点， 则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切， 即满足条件的直线有条. 故选：C 3．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 4．命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【详解】∵抛物线的对称轴为轴， ∴一条直线与抛物线有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与轴垂直， ∵直线存在斜率，与轴不垂直， ∴“直线与抛物线有且仅有一个公共点”等价于“直线与抛物线相切”，则命题p是命题q的充要条件. 故选：C. 5．已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】将代入，得， 则，解得． 因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是． 故答案为：. 6．已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作 条（填“条数”）． 【答案】4 【详解】由题双曲线的渐近线方程为， 因为点在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上， 所以如图过点作与双曲线有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2条分别与两条渐近线平行的直线. 故答案为：4. 【题型2 圆锥曲线的切线问题】 7．抛物线中，以为切点的切线方程为 【答案】 【详解】已知抛物线方程，将其变形为. 因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成. ，切线过点，则斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为，即. 故答案为：. 8．已知抛物线：的准线与轴相交于点， (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）抛物线：的准线与轴相交于点， 所以，则，抛物线方程为； （2）当直线的斜率不存在时，也抛物线无交点，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，与抛物线联立， 得，因为直线与抛物线相切， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 9．已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程． 【答案】. 【详解】设出切线方程为， 与联立得：， 由， 解得：，代入得切线方程为． 10．已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设与平行的：， 由，得， 由，得，则：. 【题型3 圆锥曲线的弦长问题】 11．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，则 ． 【答案】/ 【详解】依题意，椭圆左焦点，直线的方程为， 联立，消去得，设， 则， ， 因此． 故答案为： 12．经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ． 【答案】 【详解】设，，直线斜率为， 因为倾斜角为，所以，则直线方程为， 联立方程组，得到， 由韦达定理得，由焦半径公式得， ， 因为，所以，解得. 故答案为： 13．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，可得1 当直线l的斜率不存在时，，此时有1条直线符合要求； 当直线l的斜率存在时，若两点都在右支上，因，不符合要求； 若在左、右两支上时，因，根据双曲线的对称性知，有2条直线符合要求. 故这样的直线共有3条． 故选：D. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． （2），又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 15．已知双曲线：，点的坐标为 ．设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长． 【答案】 【详解】直线的方程为． 由方程组， 得． 设， 则， ． 16．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，或. 【详解】（1）设动点， 由题意，化简整理得， 故点P的轨迹C的方程是. （2）直线斜率不存在时不合题意， 斜率存在时，设直线与曲线C的交点为， 由，得，， 则，， ，整理得，解得或（舍）. 经检验，符合题意，直线l的方程为，即或. 【题型4 圆锥曲线的中点弦问题】 17．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 18．已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：设，，则，故， 所以，代入l得，则， 故选：D． 19．已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【答案】 【详解】设，，则，， 两式相减得， 是的中点，，， ，又，，， 解得，． 故答案为：. 20．已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【详解】由题意直线的方程为 ，即 ，与抛物线方程联立： ，得， 即，， 解得. 故答案为：1. 21．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则由题意可得， 化简得，故的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 故设直线，， ，得， 则， 则， 因线段的中点坐标为， 则，， 解得，经检验，满足， 则直线的方程为. 22．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于点，且点是线段的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由. 【答案】不存在，理由见解析 【详解】设存在被点平分的弦，且，则， 两式相减，得. 又点为弦的中点，∴，，. ∴直线的方程为， 联立方程组，消去，得， 此时，所以直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线. 【题型5 直线与圆锥曲线相交面积问题】 23．已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 设，则 ， 故选：A 24．已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【详解】设，，由，得，所以， 所以在点处的切线方程为，即， 又因为点在上，所以， 所以得到点处的切线方程为，即， 又因为点处的切线过点，故， 所以，同理可得， 所以直线的方程为. 联立整理得，所以，， 所以， 点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 25．已知椭圆：的离心率是，点分别为的左右顶点，为上异于的一点，直线的斜率分别是． (1)求证：； (2)设为上的两点，是坐标原点，，，若面积是，求的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）依题意，，可化为． 设，则．因为， 所以； （2）不垂直于轴，设，联立， 得，． 设，则，． 因为，，所以，即， 因为，，所以． 即，得，． ． 到距离距离，所以△面积． 由题设，，的方程是． 26．已知双曲线过点，，分别为圆的两条切线，且分别交双曲线于点. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)当时，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 将的坐标代入，得， 所以双曲线的方程为. 由题意可知，直线的斜率均存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为，，. 由消去，整理得. 由，得， 由，得. 由题意，解得，， 所以，同理. 由题意，，得.因为，所以， 故， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值. （2）不妨设，因为，，所以， 由（1）知，，， 所以直线的方程为，即， 当时，， 所以. 27．已知和，直线与椭圆切于点. (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由已知点在椭圆上，则， 又，，可知，即， 又直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆，得， 即， 化简可得， 联立，解得， 则，即，，， 所以离心率； （2）由（1）得椭圆方程为， 设，由已知，且， 则点到直线的距离， 又的面积， 化简可得， 又点在椭圆上，则， 联立方程，解得，则， 所以，即直线.      28．已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可知，① 又因为在双曲线的渐近线上，所以，② 由方程①和②解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意可设直线的方程为， 联立方程可得①， 所以， 且方程①的判别式， 得且． 设直线与双曲线交于两点，有 则 ， 所以，即， 解得或或， 所以实数或或． 【题型6 圆锥曲线的定值问题】 29．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 30．已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)0或 (3)证明见解析， 【详解】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 31．已知双曲线经过，两点， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，点（异于点，），的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）（方法1）当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，解得，双曲线方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，方程组无解． 综上，双曲线方程为． （方法2）设双曲线方程为，则， 解得，，所求双曲线方程为． （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设， 所以， 所以， 由题意知，，， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以， 即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为， 即直线过点，不符合题意，所以，设倾斜角为， 即，，即直线的倾斜角为定值． 32．过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为、（、不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为、，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【详解】设点、，先证明出直线的方程为， 由题意可知，联立可得， 故，所以，直线的方程为， 同理可知，直线的方程为， 由题意可得， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 由题意可知，直线经过点、，所以，即， 由题意可知，即， ，即为定值． 33．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.     【答案】(1) (2)为定值 【详解】（1） 设过点的直线l的方程为， 令，，联立，得， 则，， 故， 又，， 由，则， 则，故抛物线C的方程为； （2）由，显然，过点的直线斜率不为0， 故设直线CD方程为，，， 由，得， ， 解得或， 则，， 故， ， 又，， 所以 ， 故为定值. 34．已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可知，解得， 故椭圆C的标准方程是 （2）设，依题可设直线方程为， 由，消去可得：， 故 于是，， 故 ， 故为定值. 【题型7 圆锥曲线的定点问题】 35．已知椭圆的离心率为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求的方程； (2)已知为的左顶点，不过点的直线与交于两点，直线的斜率分别为，，，若，证明：过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由条件可知，解得：， 所以椭圆的方程为； （2）设直线，，， 联立，得， ，得， ，， ，， 所以， ， ， ， 得，即，得或， 若，则直线，恒过点，满足条件， 若，则直线，恒过点，与点重合，不满足条件， 所以直线恒过定点. 36．已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，定点坐标为 【详解】（1）因为椭圆的左焦点，所以， 又短轴长为，所以，由可得， 故椭圆的方程为. （2） 当直线和斜率存在时，设直线方程为：， 设，，则有中点， 联立方程，消去得：， 由韦达定理得：，所以的坐标为， 将上式中的换成，同理可得的坐标为， 若，即，， 此时直线斜率不存在，直线过定点； 当时，即直线斜率存在， 则， 直线为， 令，得， 此时直线过定点， 显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过， 综上所述：直线经过定点，定点坐标为. 37．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题知，，且，，得，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，，则由，得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在， 设直线AB：，代入双曲线方程， 化简得， 设，则，，，， 则， 整理得， 所以， 整理得，即，所以或． 当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为． 38．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)直线过定点． 【详解】（1）由已知，，则． 因为，则，所以，从而． 所以双曲线的方程是． （2） 设直线，代入，得， 即． 设点，则． 如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称， 猜想：定点在轴上． 设点，由题设，点，则． 因为向量与共线，则， 即， 即．所以，即． 因为为可变量，则，所以直线过定点． 39．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）已知当时，，，关于轴对称且． 设，因为，不妨设． 由斜率公式，即，解得，所以，． 面积，解得，抛物线方程为． （2）    证明：设，，， 则，． 因为，则，所以， 则，， 所以直线的方程为，整理得． 把代入直线方程，得， 所以直线过定点． 40．已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）的准线方程为， 因为点在上，且，即，得， 所以的方程为． （2）由（1）知，设． 设的方程为，代入，得． 所以，则， 代入，得，所以． 因为，所以的方程为，同理可得． 当时，，直线． 当时，， 直线的方程为， 即， 整理得． 所以直线过定点． 【题型8 圆锥曲线的最值、取值范围问题】 41．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，， 对于A：因为椭圆的方程为为椭圆上任意一点， 所以，，则的周长为6，故A正确； 对于B：当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，此时面积为，故B正确； 对于C：因为，所以的取值范围为，故C正确； 对于D：因为，所以， 又，所以，故D错误， 故选：ABC. 42．已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 【答案】 【详解】显然直线l的方程斜率不为0，因为焦点， 所以设直线l的方程为，联立得， 故，故， 所以， 显然G为的中点，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点， 设，则， ， ， 而，当且仅当，轴时取等号，则， 所以当时，. 故答案为： 43．抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P， 设､，如图所示，根据抛物线的定义， 可知、， 在梯形中，有， 在中，， 又∵，∴， ∴， 故的最大值是. 故答案为：. 44．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 45．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 46．在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为. (1)求； (2)若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意有，当轴时，在椭圆方程中，令，解得，则， ，又．解得，． （2）设直线：，设，， 联立，得， 所以，所以. ，所以的中点为， 所以. 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令，， 记， 又，所以，时，. 1．若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】命题q：直线与抛物线无公共点，把代入即无解，，又命题p：，所以q是p的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 3．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段为直径的圆交y轴于两点，设线段的中点为H，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题易得焦点，由直线l过点且斜率为，可得， 将其与联立，消元得，设， 则．设，则，即， 且(或运用抛物线焦点弦公式)， 故以为直径的圆的半径为， 过点作轴，垂足为点，则在中， ，故． 故答案为：A. 4．设.为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点.若的面积是的面积的3倍，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 由题意不妨设分别在第一、四象限，，其中. 由题意，直线斜率存在且不为，所以设直线的方程为，易知. 联立直线与抛物线方程，得，则. 因为，则，即. 所以， 得则，且. ，得，则. 故选：A. 5．已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为半径为， 所以，抛物线方程为， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， 所以，所以 所以 所以的取值范围为 故选：C 6．已知抛物线E：的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，满足，线段AB的中点为M，M到抛物线E的准线的距离为d，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】如图， 设，，因为M为AB中点，则由抛物线的性质知，， 且， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为 故选：D. 7．设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A． B． C．为等腰三角形 D．以MN为直径的圆与l相切 【答案】AD 【详解】由题意，取的中点，作图如下： 由直线，令，则可得，即抛物线的焦点， 所以，解得，故A正确； 联立可得，消去可得，解得或， 当时，由，可得，当时，由，可得， 即，，所以，故B错误； 由，，则C错误； 由图可得，易知点到准线的距离，圆的半径，故D正确. 故选：AD. 8．已知是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于异于原点的两点，若，则双曲线的渐近线方程是 . 【答案】或 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以渐近线方程为； 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以渐近线方程为. 故答案为：或. 9．如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 【答案】 【详解】设，又因为， 所以，则，则， 由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 10．已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 11．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）解：由题意，可设抛物线的标准方程为.， 因为点在抛物线上，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）解：①当时，直线， 联立方程组，整理得， 方程的判别式， 设，，则，， 所以， 又由到直线的距离， 所以的面积； ②联立方程组，整理得， 设，，则且，， 不妨设在第一象限，则在曲线上，则有， 则在处的切线方程为， 又由，可得在处的切线方程为， 同理可得，点在曲线上，则有， 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立方程组，解得，所以点在定直线上. 12．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. （2）设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 13．如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． (1)求椭圆Γ的方程； (2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，， 设椭圆的半焦距为， 由已知，， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率， 因为， ，， 所以， 所以，斜率之积为定值，且定值为. （3）设，由于，所以， 设直线方程为，直线方程为， 联立得：， 联立，， 因为且， 所以是方程的两个实数根，恒成立 ，则， ， 整理得， ， 解得，又， 所以. 14．已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为. （2） 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$