2026-2027学年初升高数学衔接讲义：24 平行线分线段成比例定理

第24讲平行线分线段成比例定理 知识导航 知识点1：平行线分线段成比例定理 知识点2：角平分线性质定理 知识点3：射影定理 知识梳理 知识点1平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究 中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比 平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. AB DE 如图3.1-2,1吗，有BCEF.当然，也可以得出 AB DE ACDF,在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段 之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 知识点2角平分线性质定理 AB BD 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则： AC DC D 知识点3射影定理 在直角三角形ABC中，∠BAC为直角，AD⊥BC于D 则：(1)AB2=BDBC,AC2=CDCB: (2)AD2=BD.CD 题型精讲 【题型1平行线分线段成比例定理】 D 【典例1】如图3.1-2， 4L1 且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF AB DE 2 【详解】解： %% BC EF 3' 图3.1-2 DE-22 DF-=3-DF-12 2+3 5 2+3 【典例2】在△ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE∥BC, AD AE DE 求证：AB AC BC 证明（1) DEI∥BC,∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, AD AE DE AADE∽△ABC,“AB AC BC 证明(2)如图3.13，过A作直线11∥BC, lI∥DEI∥BC, .AD AE AB AC D 过E作EF∥AB交AB于F,得BDEF, 因而DE=BF 图3.1-3 EF∥AB,. AE BF DE AC BCBC AD=AEDE AB AC BC 从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所 得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三 角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【题型2角平分线性质定理】 【典例3】在△ABC中，AD为∠BAC的平分线， E 求 B D AB BD 证：ACDC 证明过C作CE//AD,交BA延长线于E, BA BD AD∥CE,AE DC AD平分∠BAC,∴∠BAD=LDAC, 由ADI∥CE知∠BAD=∠E,LDAC=∠ACE, .∠E=∠ACE,即AE=AC, 图3.1-5 ..AB_BD AC DC 例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的 两边之比). 【题型3射影定理】1 【典例4】 如图3.1-6，在直角三角形ABC中，∠BAC为 直角，AD⊥BC于D 求证：(1)AB2=BD·BC,AC2=CDCB； D (2)AD2=BD.CD 证明 (1)在Rt△BAC与Rt△BDA中，∠B=∠B, 图3.1-6 BA_BC,即AB2=BD:BC ·.△BAC∽△BDA.·∴BDBA 同理可证得AC2=CD.CB (2)在Rt△ABD与Rt△CAD中，∠C=90°-∠CAD=∠BAD, AD=DC,即AD2=BDDC, .R△ABD∽RIACAD.·BD=AD 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用。 D 随堂检测 本中 1.如图3,17,4，%，下列比例式正确的是(） AD CE AD BC A.DF BC B.BE AF CE AD AF BE C.DF BC D.DF CE 图3.1-7 2.如图3.1-8，DE∥BC,EF∥AB,AD=5cm,DB=3Cm,FC=2cm,求BF D 图3.1-8 3.如图，在△ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长. B D 图3.1-9 4.如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线AD交BC的延长线于点D,求证： AB BD AC DC E B D 图3.1-10 5.如图，在△ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE,DE延长线交BC的延长 DF AC 线于F求证：EFAB A D E B F 图3.1- 11 6.如图3.1-12，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE/BC交AC于E.已知AD: DB=2:3,则S6A0E:S四边形BCDE等于（) A.2:3B.4:9c.4:5D.4:21 D 图3.1- 12 7.若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是 3:2,则梯形的上、下底长分别是 8如图3.113，四边形ABCD的对角线相交于点O,∠BAC=∠CDB,求证： ∠DAC=∠CBD D A B 图3.1- 13 第24讲平行线分线段成比例定理 1.D BF=x DE=4D x5 10 BF=10 2.设 3,即 s800- cm. 9 AB BD 4.作CF∥AB交AD于F,则CFDC,又∠AFC=∠FAE=∠FAC得AC=CF, :AB、BD AC DC 5.作EGIAB:交8BC于G,aCEG-aCaB,:EG=CE AC CE DB ABAC'即AB EG EG DF AC EF AB 6.C 7.12,18 8.证明在△OAB与△ODC中， ∠AOB=∠DOC,∠OAB=∠ODC, .∴.△OAB∽△ODC, OAOB OA OD ODOC,即OBOC 又△OAD与△OBC中，∠AOD=∠BOC, .△OAD∽△OBC, .∴.∠DAC=∠CBD