（2）数与式讲义-2026-2027学年初升高数学衔接

数学初高教材衔接——数与式 初中阶段要求 高中阶段要求 衔接要点 1.实数体系： 识记有理数、无理数分类，掌握实数四则基础运算、平方根立方根简单化简，仅做数值运算。 2.代数式运算： 掌握整式加减乘除、因式分解（提公因式、公式法）、分式通分约分、二次根式基础化简。 3.求值应用： 依托具体数值代入化简求值，式子结构简单，分母、根式无多重嵌套，侧重固定数值计算。 1.数系拓展： 拓展实数完备性，结合集合表示数集，区分区间、解集表达，拓展指数、分数指数幂实数运算规则。 2.代数式深化： 进阶高次因式分解、配凑法因式分解；掌握多重根式、繁分式化简；拓展有理式、无理式分类辨析。 3.变式与限定： 含参数代数式化简求值；结合取值范围分类讨论化简；利用整体换元、配方法做代数式恒等变形。 1.认知升级： 从“具体数值运算”进阶为“含参代数式恒等变形”，从算数计算进阶为代数符号推理。 2.思维转变： 从固定取值单向计算，转向分类讨论、整体代换双向思维，突破初中无参数、无分类的解题定式。 3.逻辑构建： 建立数集—代数式—恒等变形—取值限制完整逻辑链，为不等式、函数定义域学习夯实底层运算逻辑。 回顾初中 1.乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 2.因式分解 系数为1的十字相乘法分解因式： 3.分式与根式 分式的意义：形如的式子，若中含有字母，且，则称为分式. 分式的基本性质：当时，，. 二次根式：式子叫做二次根式. 衔接高中 1.乘法公式 立方和公式： 立方差公式： 2.因式分解 系数不为1的十字相乘法分解因式：对于二次三项式，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，那么排列如图所示 将与按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，则二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法. 3.分式与根式 像这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 一般地，与，与，与互为有理化因式. 4.根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫作a的n次方根，其中，且. 式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示： 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 5.指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①；②；③． 1.a是不为1的任意实数，则( ) A. B. C. D. 2.把因式分解，结果正确的是( ) A. B. C. D. 3.已知，，则( ) A. B. C.1 D. 4.下列说法： ①的运算结果是； ②16的4次方根是2； ③当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义； ④当n为大于1的奇数时，对任意都有意义. 正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.( ) A.4 B.8 C. D. 6.已知函数，则的值为( ) A. B.2 C. D. 7.已知，则的值是( ) A. B.0 C. D. 8.已知，则的分数指数幂的形式为( ) A. B. C. D. 9.化简：__________. 10.因式分解析：___. 11.计算：______________. 12.若，则________.（用m，n表示） 13.已知，则__________． 14.代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍.阅读下列短文： 已知，求的值. 分析与解答： ， ， ，即， ， . 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值. 15.(1)化简求值： (2)已知，求的值 答案以及解析 1.答案：B 解析：，故选B. 2.答案：A 解析：对于， 将二次项系数2拆分为，常数项-15拆分为， ∵，恰好等于一次项的系数-7， ∴； 故选：A. 3.答案：D 解析：由，得，而，则，所以.故选D. 4.答案：C 解析：对于①，偶次根式的结果只能是非负数，①错误； 对于②，偶次方根的结果有正有负，②错误； 根据n次方根的意义可知③④正确. 则正确的个数为2.故选C. 5.答案：B 解析：.故选B. 6.答案：D 解析：，. 故选：D. 7.答案：B 解析：由题意知，.故选B. 8.答案：A 解析：. 故选：A. 9.答案： 解析：. 故答案为：. 10.答案： 解析：， 分解为和x， 将2分解为-1和-2， 交叉相乘后相加得， 因此因式分解结果为 ， 验证：， 故答案为 . 11.答案： 解析：. 故答案为：. 12.答案： 解析：因为，所以， 所以.故答案为. 13.答案： 解析：由，得，所以， 则. 故答案为：. 14.答案：(1)； (2)5 解析：(1)； ； 故答案为；； (2)， ， ，即， ， . 15.答案：(1) (2)4 解析：(1) (2) . . . . . 学科网（北京）股份有限公司 $