1.3 空间向量及其运算的坐标表示讲义-2026年暑假新高二数学预习（人教A版选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识点1：空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． (2)有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 知识点2：空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 知识点3：空间向量的坐标运算 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 知识点4：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 知识点5：夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝． 2．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos 〈a，b〉＝＝． 【注意】(1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈〉|． (2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式． 考点一　空间向量的坐标运算 考点二　利用空间向量坐标求投影 考点三　利用空间向量坐标求模长与夹角 考点四　利用空间向量坐标求两点距离 考点五　利用空间向量坐标求平行垂直问题 考点六　利用空间向量坐标求共面问题 考点一　空间向量的坐标运算 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以. 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A 6．（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 考点二　利用空间向量坐标求投影 7．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 8．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 9．（25-26高二上·贵州毕节·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 10．（25-26高二上·山东·阶段检测）向量，则在上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【分析】由投影向量坐标计算公式可得答案. 【详解】由题意，在上的投影向量的坐标为． 故答案为： 11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）以下四个命题中，正确的是（   ） A．向量与向量不平行 B．若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 C．A，B，C三点不共线，任取空间一点，若，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量在向量方向上的投影向量为，，，则 【答案】ACD 【分析】根据空间向量平行的条件可判断A；根据空间向量基本定理可判断BC，根据投影向量和模长公式可判断D. 【详解】对于A，因为，因此和不平行，故A正确； 对于B，假设向量，，共面，则存在实数，满足， 所以，因为为空间的一个基底， 则，解得，故向量，，共面， 所以，，不能构成空间的另一基底，故B错误； 对于C，因为A，B，C三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D，由题可得；，所以， 又因为，，所以， 所以.故D正确. 故选：ACD. 12．（25-26高二上·上海·期末）空间向量在上的投影向量的模为__________. 【答案】/ 【分析】根据投影向量的定义和空间向量夹角的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以空间向量在上的投影向量的模为 . 故答案为： 考点三　利用空间向量坐标求模长与夹角 13．（25-26高二上·全国·期末）在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】因为向量在面上的投影向量为，则. 因为在向量上的投影向量为， 则，所以. 而，可得向量的夹角为. 故选：A. 14．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 15．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   16．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 17．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 18．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 考点四　利用空间向量坐标求两点距离 19．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 20．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 21．（25-26高二上·安徽·期中）已知空间直角坐标系中的三点，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】应用模长公式计算求解得出等边三角形． 【详解】由题可得， 经计算，，所以是等边三角形． 故选：D. 22．（25-26高二下·全国·课后作业）已知点，则（ ） A．36 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量模长的坐标公式求解即可 【详解】，所以． 故选：. 考点五　利用空间向量坐标求平行垂直问题 23．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 24．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 25．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 26．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 27．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 28．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 考点六　利用空间向量坐标求共面问题 29．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据向量共面的条件，，使得，再列方程组求解即可． 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 30．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知，，，若、、三向量共面，则实数等于_____. 【答案】5 【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解之可求得答案. 【详解】因为，，三个向量共面，所以设，即， 所以，解得， 故答案为：5. 31．（25-26高二上·安徽·期中）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面， 而、不共线，则存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：D. 32．（25-26高二上·上海·期中）已知向量 ，若 四点共面，则 ________. 【答案】3 【分析】根据空间向量共面的充要条件可得. 【详解】因为 四点共面，所以共面，所以存在实数对使得， 即. 所以，解得. 故答案为：3. 33．（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）已知，，，若，，三向量共面，则实数（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由共面向量定理可得. 【详解】因为，，所以，不共线， 因为，，三向量共面，则存在实数，使得， 即， 即，解得. 故选：D 34．（2026·河南许昌·三模）（多选）在棱长为4的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，则（   ） A．平面 B．M，N，P，四点共面 C． D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    已知正方体棱长为4，M，N，P分别为棱，，的中点， 则， ，设平面的法向量为， 则，令，则， ， 即平面的法向量，且平面， 故平面，故A正确； 平面，平面，且平面平面， 若M，N，P，四点共面，则， 则，即，显然不存在唯一的使得成立， 不平行于，故M，N，P，四点不共面，故B错误； ， ，故，故C正确； ， 则，， ， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设点到平面的距离为，则， ，故D正确． 1．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：，则， 又与垂直， 则，得. 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，列出方程组求解即可． 【详解】因为共面，所以存在，使得， 即，解得， 所以． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 4．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 【答案】D 【分析】根据向量共线定理、模的计算公式、投影向量、单位向量的定义逐项判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以，A正确； 对于B：因为，所以，B正确； 对于C：因为，所以， ，所以在上的投影向量是，C正确； 对于D：因为，所以， 所以与共线的单位向量是，D错误. 5．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 6．（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，可知， 则. 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 8．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 9．（25-26高二上·河南开封·期末）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 【答案】AB 【分析】根据向量的加法的坐标运算，计算即可判断A；根据两向量平行的坐标关系，可判断B；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C；根据夹角为钝角，可得，且与不共线，根据数量积公式求解可判断D. 【详解】对于A，由， 则，即，解得，故正确； 对于B，若，显然与不共线， 若，与共线，则， 解得，故正确； 对于C，因为在上的投影向量为， 所以，即，解得或，故错误； 对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线， 则，解得，且，即， 所以，故错误， 故选：AB. 10．（25-26高二上·山西·期中）（多选）已知点P是四边形所在平面外一点，如果，，，.下列结论正确的是（   ） A． B． C．四边形为平行四边形 D．若，则点E为线段的中点 【答案】ACD 【分析】根据向量数量积的坐标运算得的值即可判断A；根据平面向量共线向量的坐标关系即可判断B；根据向量坐标运算得，再确定不共线即可判断C；根据向量线性运算计算从而可判断D. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，因为，则，故不平行，故B不正确； 对于C，，所以， 又不共线，即四点不共线，所以四边形为平行四边形，故C正确； 对于D，若，则， 又，所以，故点E为线段的中点，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】首先判断与不共线，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为， 若，则，所以，方程组无解，所以与不共线， 又向量与的夹角为锐角，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 12．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为_____. 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理，结合空间向量坐标的运算即可求解. 【详解】显然不共线， 因为向量，，共面， 所以，使得， 因为，，， 所以， 则，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，则________ 【答案】24 【分析】代入向量数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】， 所以. 故答案为： 14．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 15．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 16．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 【答案】 / 【详解】，解得 . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识点1：空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． (2)有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 知识点2：空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 知识点3：空间向量的坐标运算 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 知识点4：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 知识点5：夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝． 2．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos 〈a，b〉＝＝． 【注意】(1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈〉|． (2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式． 考点一　空间向量的坐标运算 考点二　利用空间向量坐标求投影 考点三　利用空间向量坐标求模长与夹角 考点四　利用空间向量坐标求两点距离 考点五　利用空间向量坐标求平行垂直问题 考点六　利用空间向量坐标求共面问题 考点一　空间向量的坐标运算 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 考点二　利用空间向量坐标求投影 7．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·贵州毕节·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东·阶段检测）向量，则在上的投影向量的坐标为________． 11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）以下四个命题中，正确的是（   ） A．向量与向量不平行 B．若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 C．A，B，C三点不共线，任取空间一点，若，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量在向量方向上的投影向量为，，，则 12．（25-26高二上·上海·期末）空间向量在上的投影向量的模为__________. 考点三　利用空间向量坐标求模长与夹角 13．（25-26高二上·全国·期末）在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 14．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 18．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 考点四　利用空间向量坐标求两点距离 19．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 20．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 21．（25-26高二上·安徽·期中）已知空间直角坐标系中的三点，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 22．（25-26高二下·全国·课后作业）已知点，则（ ） A．36 B． C．6 D． 考点五　利用空间向量坐标求平行垂直问题 23．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 24．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 25．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 26．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 27．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 28．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 考点六　利用空间向量坐标求共面问题 29．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 30．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知，，，若、、三向量共面，则实数等于_____. 31．（25-26高二上·安徽·期中）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 32．（25-26高二上·上海·期中）已知向量 ，若 四点共面，则 ________. 33．（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）已知，，，若，，三向量共面，则实数（　　） A．3 B． C．4 D． 34．（2026·河南许昌·三模）（多选）在棱长为4的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，则（   ） A．平面 B．M，N，P，四点共面 C． D．三棱锥的体积为 1．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 5．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 8．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 9．（25-26高二上·河南开封·期末）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 10．（25-26高二上·山西·期中）（多选）已知点P是四边形所在平面外一点，如果，，，.下列结论正确的是（   ） A． B． C．四边形为平行四边形 D．若，则点E为线段的中点 11．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________． 12．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为_____. 13．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，则________ 14．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 15．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 16．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $