1.3 全等三角形的判定(讲义，5大知识17大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦全等三角形的判定核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，前承全等三角形概念与性质，后续结合几何变换及倍长中线、截长补短等模型，构建从基础判定到综合应用的学习支架。 资料以数学眼光挖掘生活实例（如风筝结构、塔吊稳定性），通过17类题型培养推理能力，规范几何语言表达。课中典例与变式助力分层教学，课后通关练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第一章 三角形 1.3 全等三角形的判定 课标要点 1.经历画图、观察、比较、推理等活动，探索并掌握SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种三角形全等判定基本事实，理解判定定理的几何意义。 2.能准确区分 “边角” 位置关系，分清夹角、夹边，辨析 SSA、AAA 不能判定全等的原因，建立规范的全等证明逻辑。 3.能根据已知条件，合理选择判定方法证明两个三角形全等；结合全等性质推导对应边、对应角相等，解决线段、角度计算问题。 4.能结合平移、旋转、轴对称图形变换，挖掘隐藏相等边、相等角，完成综合全等证明；规范书写几何证明步骤，做到条理清晰、理由完整。 学习重难点 重点： 1.五种全等判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的内容记忆与基础图形识别。 2.根据题干给出的边、角条件，匹配最合适的判定定理完成简单证明。 3.全等证明标准格式书写：找准对应顶点、规范罗列条件、标注判定依据。 难点： 1.复杂图形中挖掘隐藏条件：公共边、公共角、对顶角相等、平行线带来的内错角 / 同位角相等、垂直带来直角相等。 2.几何变换（平移、旋转、轴对称）综合题型，结合全等进行线段等量代换、角度推导；含分类讨论的全等多解题。 3.综合证明逻辑构建：先证角 / 边相等，再证三角形全等，最后利用全等性质解决线段、角度、平行垂直问题。 知识点一 全等三角形的判定方法（SAS） 1）文字描述：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 易错提醒 ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，两边及其中一边的对角（边边角）不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.（夹角在中间）. ③运用“SAS”证明三角形全等时，一定要找准对应相等的边、角.要注意隐含的等角，如：公共角，对顶角，角平分线等. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，平分，那么与全等的理由是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，全等的两个三角形是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 知识点二 全等三角形的判定方法（ASA） 1）文字描述：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（   ） A．① B．② C．③ D．三块任选一块都可以 2．（24-25八年级上·四川资阳·期中）在和中，，，要用“”证明，则补充的这个条件是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E三点在同一条直线上，可以说明的最恰当的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角 知识点三 全等三角形的判定方法（AAS） 1）文字描述：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 即学即练 1．（22-23七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，用，，直接判定的理由是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 知识点四 全等三角形的判定方法（SSS） 1）文字描述：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若. 即学即练 1．（24-25八年级上·山东济宁·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 知识点五 直角三角形的判定方法（HL） 特别提醒 ①判定一般三角形全等的四个条件均适用于判定直角三角形全等. ②“HL”是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立. ③直角三角形全等的判定条件“HL”实际上就是两边和一边的对角分别对应相等，当满足该条件时只能用“HL”，不要错写成“SSA”. 即学即练 1．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，要用“”判定和全等的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 题型01 利用“SAS”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例1．（22-23八年级上·全国·期中）在如图所示的的正方形网格中，的度数为_______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 题型02 利用“ASA”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为_________ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若，，．求证：． 2．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 题型03 利用“AAS”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，和相交于点，点是线段的中点，．求证：． 2．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，点是线段上一点，，，．求证：． 题型04 利用“SSS”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 题型05 利用“HL”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)是________三角形．并说明理由． 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 题型06 三角形的稳定性 典｜例｜精｜析 例6．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·全国·阶段检测）生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（     ） A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 2．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：___________．（填“稳定性”或“不稳定性”） 3．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 题型07 添加条件证明两个三角形全等 解题贴士 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）在与中，下列条件能判断与全等的个数是（　　） ①，，；②，，；③，，；④，，． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，添加下列条件后能证明的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 题型08 灵活选用合适的方法证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，点在 上，满足 ，过点作 交于点．的周长为 ， 的周长为 ，求的长． 2．（2026·江苏盐城·二模）已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． (1)你选的条件是： ；（填写序号） (2)证明：． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，，都是等边三角形，请你探索：和有怎样的数量关系？以及与相交所形成的锐角的度数． 题型09 二次证明三角形全等 解题贴士 这类问题题目条件和待求问题一般不是指向于同一对三角形，即由条件较容易得出的全等三角形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条件，于是证两次全等便可解决问题. 典｜例｜精｜析 例9．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在等腰中，、分别是、边上的中线，、相交于点，连接，求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，．求证：． 2．（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型10 数全等三角形的对数 典｜例｜精｜析 例10．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，D、E分别是、上的点，且，与相交于点O，则图中全等三角形共有（    ）对 A．4 B．3 C．2 D．1 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有________个． 题型11 全等三角形性质与判定综合 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D，点E分别在边上，满足，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，则_____． 题型12 利用全等三角形的性质与判定确定线段间的数量关系 典｜例｜精｜析 例12．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）如图1，，，，，连接、，交于点． (1)写出和的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若、分别平分和，求的度数； (3)如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，延长到点，使，连接，过点作，与交于点． (1)求证：； (2)探索线段，之间的数量关系，并说明理由． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点P从点B出发沿线段移动（点P与A、B不重合），同时点F从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P、F移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)求证：； (2)过点P作直线的垂线，垂足为E，P、F在移动的过程中，问线段与数量关系？请说明理由． 题型13 利用全等三角形的性质与判定确定线段间的位置关系 典｜例｜精｜析 例13．（2014·山东泰安·一模）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 题型14 倍长中线模型 解题贴士 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是的中线，与分别交于点，．求证：． 题型15 截长补短模型 典｜例｜精｜析 例15．（24-25八年级上·全国·暑假作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）截长补短源于《九章算术》“以盈补虚”思想，古匠造殿梁长不足，截他木续之，发现截补后两梁端点重合、角线相符，遂悟可证全等．明代木工将此经验总结为“截长补短法”，后经徐光启引入《几何原本》体系，成为证明三角形全等的重要辅助手段，体现了中国传统技艺与西方逻辑推理的融合． 在四边形中，是边的中点． (1)如图①，若平分，，，则的度数是______°； (2)如图②，若平分，，则线段、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图③，若，，，求线段长度的最大值． 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，， 在和中，， （ ① ），，． ，． 是的一个外角，， ， ② ，（ ③ ）， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 题型16 一线三等角模型 解题贴士 典｜例｜精｜析 例16．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 2．（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 题型17 利用全等三角形的性质与判定解决实际问题 典｜例｜精｜析 例17．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）小明利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中，，测得，，小明很快就计算出保温杯的壁厚，请你帮助小明写出完整的解答过程． 2．（20-21七年级下·陕西宝鸡·期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可； 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．    3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．       (1)求证：； (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在如图所示的网格中，点A、点B、点C均为格点，每个小正方形的边长均为1，连接，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，，添加一个条件使，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 9．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，于E，于D．，，______ 10．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在和中，交于点M，交于点N，交于点P．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的序号是________． 素养提升 1．（2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题）如图，在等边中，D是线段上一点，以D为圆心，的长为半径画弧交的延长线于E，若，，则的周长是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 2．（安徽省黄山地区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）如图，是等边三角形，是线段上一点（不与点，重合），连接，点，分别在线段，的延长线上，且，点从运动到的过程中，周长的变化规律是（   ） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．不变 3．（第四章图形的平移与旋转（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（江苏无锡市大桥实验学校2025--2026学年上学期八年级数学18周考试卷）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为______． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）（1）在中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点落在边上的处，设旋转角为． ①如图①，若，求证：． ②如图②，已知点，，求作点，，使.（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （2）如图③，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点恰好落在边上的处．若，，则正方形的边长为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 1.3 全等三角形的判定 课标要点 1.经历画图、观察、比较、推理等活动，探索并掌握SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种三角形全等判定基本事实，理解判定定理的几何意义。 2.能准确区分 “边角” 位置关系，分清夹角、夹边，辨析 SSA、AAA 不能判定全等的原因，建立规范的全等证明逻辑。 3.能根据已知条件，合理选择判定方法证明两个三角形全等；结合全等性质推导对应边、对应角相等，解决线段、角度计算问题。 4.能结合平移、旋转、轴对称图形变换，挖掘隐藏相等边、相等角，完成综合全等证明；规范书写几何证明步骤，做到条理清晰、理由完整。 学习重难点 重点： 1.五种全等判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的内容记忆与基础图形识别。 2.根据题干给出的边、角条件，匹配最合适的判定定理完成简单证明。 3.全等证明标准格式书写：找准对应顶点、规范罗列条件、标注判定依据。 难点： 1.复杂图形中挖掘隐藏条件：公共边、公共角、对顶角相等、平行线带来的内错角 / 同位角相等、垂直带来直角相等。 2.几何变换（平移、旋转、轴对称）综合题型，结合全等进行线段等量代换、角度推导；含分类讨论的全等多解题。 3.综合证明逻辑构建：先证角 / 边相等，再证三角形全等，最后利用全等性质解决线段、角度、平行垂直问题。 知识点一 全等三角形的判定方法（SAS） 1）文字描述：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 易错提醒 ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，两边及其中一边的对角（边边角）不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.（夹角在中间）. ③运用“SAS”证明三角形全等时，一定要找准对应相等的边、角.要注意隐含的等角，如：公共角，对顶角，角平分线等. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，平分，那么与全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选B． 2．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，全等的两个三角形是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定即可解答． 【详解】解：选取三角形①②时，利用可证明两个三角形全等， 其余都不符合全等三角形的判定定理． 故选：B． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：, , 在和中， ， ． 故选B． 知识点二 全等三角形的判定方法（ASA） 1）文字描述：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（   ） A．① B．② C．③ D．三块任选一块都可以 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ②只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； 而③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带去③，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃． 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川资阳·期中）在和中，，，要用“”证明，则补充的这个条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据“”，已知一个“”和“”，找出与“”相邻的另一个“”即可． 【详解】解：已知，， 要用“”证明， 则补充的这个条件是， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E三点在同一条直线上，可以说明的最恰当的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用对顶角相等可得出，结合，可证出． 【详解】解：∵A、C、E在一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 知识点三 全等三角形的判定方法（AAS） 1）文字描述：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 即学即练 1．（22-23七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，用，，直接判定的理由是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由于，，再加上公共边，则可根据“”判断． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：A 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定条件分析即可． 【详解】解：由题可得：，， ， ， ． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 【答案】50 【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 知识点四 全等三角形的判定方法（SSS） 1）文字描述：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若. 即学即练 1．（24-25八年级上·山东济宁·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据 证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ． 故选：A． 2．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据要运用“”来证明，则，由此即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要运用“”来证明，则， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点五 直角三角形的判定方法（HL） 特别提醒 ①判定一般三角形全等的四个条件均适用于判定直角三角形全等. ②“HL”是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立. ③直角三角形全等的判定条件“HL”实际上就是两边和一边的对角分别对应相等，当满足该条件时只能用“HL”，不要错写成“SSA”. 即学即练 1．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段， 第二步为作线段， 在与中， ， ∴， 故选：D． 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，要用“”判定和全等的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查“”定理判定直角三角形全等，具体内容为：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 根据“”定理即可求解． 【详解】解：在和中， 若，， 则和全等， C选项符合题意． 故选：C． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握“”．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 要根据“”证明，还要添加一个条件是． 故选：A 题型01 利用“SAS”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例1．（22-23八年级上·全国·期中）在如图所示的的正方形网格中，的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质． 首先证明，然后证明，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】如图： ∵在和中， ， ， , ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型02 利用“ASA”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为_________ 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 【详解】解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴即 在和中 （已知） （已知） （已证） ∴（）． 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，解题思路是通过线段和差推导得，再结合已知两角，利用证明全等；解题关键是由推出，易错点是忽略线段和差的推导直接默认边相等． 【详解】略 2．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ． 【分析】由题意可得，再由线段的和差得出，再利用证明即可． 【详解】略 题型03 利用“AAS”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，和相交于点，点是线段的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，利用证明即可． 【详解】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 2．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，点是线段上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定；根据平行线的性质可得，进而根据证明． 【详解】证明：∵， ∴ 又∵，， ∴ 题型04 利用“SSS”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据证明即可； （2）由（1）可知则，证明，得到，进而可证 【详解】（1）证明： ， 即． 在和中， ； （2）解：．理由如下： 由（1）可知 ． 在和中， ， ， 即， ． 题型05 利用“HL”证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)是________三角形．并说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据证明是解题的关键． （1）根据证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质及平角的定义可证明是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， 在和中，， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，中点定义，垂线定义，由垂直定义可得，又是的中点，所以，然后通过“”证明全等即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 题型06 三角形的稳定性 典｜例｜精｜析 例6．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据利用三角支架可以固定平板电脑的位置，得出这样做的数学原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置的数学原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·全国·阶段检测）生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（     ） A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性的应用判断作答即可． 【详解】解：屋顶支撑架，自行车脚架，旧门钉木条都是利用了三角形的稳定性， 伸缩门是利用了四边形的不稳定性， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：___________．（填“稳定性”或“不稳定性”） 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，结合塔吊的上部是三角形结构，则应用了三角形的稳定性，即可作答． 【详解】解：依题意，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，且塔吊的上部是三角形结构， ∴这是应用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 3．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 【答案】 3 【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木框稳定，需利用木条将其分割成三角形，从六边形的一个顶点出发引对角线即可确定所需木条数量. 【详解】 解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引条对角线，这将把六边形分割成个三角形，从而使整个木框具有稳定性； 故至少要钉上根木条. 题型07 添加条件证明两个三角形全等 解题贴士 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）在与中，下列条件能判断与全等的个数是（　　） ①，，；②，，；③，，；④，，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理， ∴，该选项条件能判断与全等； ②∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理， ∴，该选项条件能判断与全等； ③∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理， ∴该选项条件不能判断与全等； ④∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理， ∴该选项条件不能判断与全等； 综上，能判定全等的有个， 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， A、添加，由，，，不能判定，故本选项符合题意； B、添加，可得到，由，，，可证明，故本选项不合题意； C、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； D、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，添加下列条件后能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得，结合，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 另有． A、添加，根据不能判定，故本选项不符合题意； B、添加，根据不能判定，故本选项不符合题意； C、添加，只有两个条件，不能判定，故本选项不符合题意； D、添加，可得，根据能判定，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 【答案】（或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据已知推出，，则添加利用即可证明；或利用即可证明；或利用即可证明；选择一种即可． 【详解】解：，，， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（或）． 题型08 灵活选用合适的方法证明三角形全等 典｜例｜精｜析 例8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在 中   ， ∴； （2）解：是等边三角形， ， 又由（）得， ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，点在 上，满足 ，过点作 交于点．的周长为 ， 的周长为 ，求的长． 【答案】 【分析】连接，根据三角形全等证明 ，再根据三角形周长计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在，， ， ， ∴ ， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∵的周长为 ， 的周长为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．（2026·江苏盐城·二模）已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． (1)你选的条件是： ；（填写序号） (2)证明：． 【答案】(1)①③或②③ (2)选①③ 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 选②③ 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，再选两个条件，根据证明，根据全等三角形的对应角相等得，根据同位角相等两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，，都是等边三角形，请你探索：和有怎样的数量关系？以及与相交所形成的锐角的度数． 【答案】，相交形成的锐角度数为． 【分析】先利用等边三角形边角条件证，得到；再借助全等三角形对应角相等与三角形内角和，求出相交锐角为． 【详解】解：是等边三角形， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 设交于点， ∵， ， ， ，． ． 综上，，相交形成的锐角度数为． 题型09 二次证明三角形全等 解题贴士 这类问题题目条件和待求问题一般不是指向于同一对三角形，即由条件较容易得出的全等三角形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条件，于是证两次全等便可解决问题. 典｜例｜精｜析 例9．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在等腰中，、分别是、边上的中线，、相交于点，连接，求证：． 【答案】证明：∵等腰三角形中，D，E为和的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】根据等边对等角，利用可证得，进而利用可证得，即可得到结论． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】首先由已知条件可依据“”判定和全等，从而得，进而可得，然后再依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】略 2．（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型10 数全等三角形的对数 典｜例｜精｜析 例10．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，D、E分别是、上的点，且，与相交于点O，则图中全等三角形共有（    ）对 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，由判定，推出，判定，由，得到，判定． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中全等三角形共有3对． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，共有4对全等三角形； 故选D． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有________个． 【答案】3 【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 【详解】解：如图，    图中与全等的格点三角形是，共3个， 故答案为：3． 题型11 全等三角形性质与判定综合 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D，点E分别在边上，满足，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由证得，即可得出结论； （2）先证，推出，再由，得出，推出，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定， （1）根据证明根据全等三角形的性质即可得证； （2）由两三角形全等，可得，再由三角形的外角性质即可解答． 【详解】（1）证明： 又， ， 在和中， ， ∴； （2）解： ， 又，，， ． 题型12 利用全等三角形的性质与判定确定线段间的数量关系 典｜例｜精｜析 例12．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）如图1，，，，，连接、，交于点． (1)写出和的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若、分别平分和，求的度数； (3)如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）设交于点，根据已知条件证明，可得，，进而根据三角形内角和可得，即可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件证明，可得，进而根据即可求解； （3）过点，分别作的垂线，交的延长线于点，，可得，进而根据三角形面积公式求得，根据等底等高可得． 【详解】（1），理由如下， 如图，设交于点， ，， ， ， ， 又，， ， ，， 又， ， ， （2）、分别平分和， ，， ， , ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）如图，过点，分别作的垂线，交的延长线于点， ， ， ， 又， ， ， 的面积为，的面积为， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，延长到点，使，连接，过点作，与交于点． (1)求证：； (2)探索线段，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质和外角的性质可求解； （2）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可证，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点P从点B出发沿线段移动（点P与A、B不重合），同时点F从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P、F移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)求证：； (2)过点P作直线的垂线，垂足为E，P、F在移动的过程中，问线段与数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于Q，先证，再由证得，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）利用全等三角形的性质得，则，根据等腰三角形的性质得，进而可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过P点作交于Q， ∵点P和点F同时出发，且速度相同， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）证得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型13 利用全等三角形的性质与判定确定线段间的位置关系 典｜例｜精｜析 例13．（2014·山东泰安·一模）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ． （2）解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)详见解析 (2)， (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题解题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明，再结合全等三角形的性质推导线段关系与位置关系． （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； （3），，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）先证明，再证明，证明即可； （2）根据平行线的判定，证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ． （2）解：，理由： 由（1）知：， ． 在和中， ， ， ， ． 题型14 倍长中线模型 解题贴士 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是的中线，与分别交于点，．求证：． 【答案】[问题解决]B；[初步应用] C；[探究发现]见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【探究发现】先得，结合，，则； 【初步应用】同理证明，结合三角形三边关系，则； 【问题解决】 同理证明，则，因为，所以，．结合，即，进行作答即可． 【详解】解：【探究发现】∵延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：B． 【初步应用】如图，延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 故答案为：C． 【问题解决】延长至点，使，连接． ∵是的中线， ∴． 在和中， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 题型15 截长补短模型 典｜例｜精｜析 例15．（24-25八年级上·全国·暑假作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）截长补短源于《九章算术》“以盈补虚”思想，古匠造殿梁长不足，截他木续之，发现截补后两梁端点重合、角线相符，遂悟可证全等．明代木工将此经验总结为“截长补短法”，后经徐光启引入《几何原本》体系，成为证明三角形全等的重要辅助手段，体现了中国传统技艺与西方逻辑推理的融合． 在四边形中，是边的中点． (1)如图①，若平分，，，则的度数是______°； (2)如图②，若平分，，则线段、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图③，若，，，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质，以及线段最值问题，熟练运用截长补短法构造全等三角形是解答本题的关键． （1）利用角平分线的定义求出的度数，再结合直角三角形两锐角互余的性质，即可求出的度数； （2）采用截长补短法，在上截取，先通过证明，得到；再结合是中点的条件，通过证明，得到，从而推导出； （3）通过作角构造全等三角形，分别证明和，得到；结合，推出为等边三角形；最后根据两点之间线段最短，当、、、四点共线时，取得最大值，进而求出该最大值． 【详解】（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：，证明如下： 如图，在上取， 平分， ， 在和中， ，， ， ， ， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点作且，过点作且， 则在和中， ， 在和中， ， ，，， 又， ， 是等边三角形， ， ， 的最大值为． 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，理解题意，熟练掌握“截长补短法”是解题关键． （1）首先根据角平分线的定义可得，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合易得，结合三角形外角的性质即可证明为等腰三角形，然后证明结论； （2）在上截取，连接，利用“”，由全等三角形的性质可得，进而可得，易得，再利用“”证明，易得，即有，然后结合题意求解即可． 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， （等角对等边）， ， ． 故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 题型16 一线三等角模型 解题贴士 典｜例｜精｜析 例16．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （2）延长，作，过点D作于H，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，由题意易得，，然后可得，进而可得，最后根据等积法可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，作，过点D作于H，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，如图所示： ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴， ∵面积为21且的长为8， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 题型17 利用全等三角形的性质与判定解决实际问题 典｜例｜精｜析 例17．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）小明利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中，，测得，，小明很快就计算出保温杯的壁厚，请你帮助小明写出完整的解答过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形判定以及性质． 通过证明得到，即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ， ． ， ． ， 保温杯的壁厚． 2．（20-21七年级下·陕西宝鸡·期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可； 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．    【答案】甲、乙两同学的方案都可行 【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学利用的是在直角三角形的证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所有方案可行． 本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键． 【详解】甲、乙两同学的方案都可行． 甲同学方案：在和中，， ∴， ∴； 乙同学方案：∵于点B， ∴，均为直角三角形． 在和中，， ∴， ∴． ∴甲、乙两同学的方案都可行． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．       (1)求证：； (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)合理；理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，据此计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵于点D，于点E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点B到水平距离，于点D， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴小丽所在公园的秋千高度设置合理． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定； 由垂直得，求出，证明，得到，，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．根据垂直的定义得到根据平行线的性质得到，证明得出，进而根据，即可求解． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中 ． ∴， ∴， ∴     故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据已知条件分析和易得可判断A选项；由得出，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在如图所示的网格中，点A、点B、点C均为格点，每个小正方形的边长均为1，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 取格点，连接、，先证明，，得到，，进而推出，，再利用等腰三角形的性质求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接、， 由图可得，，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，，添加一个条件使，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 由条件可得，结合，则还需要一边或一角，再结合选项可得答案． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，即，结合，，利用可以证明，故选项符合题意； B、添加，结合，，不可以利用证明，故选项不符合题意； C、添加，结合，不可以证明，故选项不符合题意； D、添加，不可以证明，故选项不符合题意． 故选：A． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理．做题时要从已知条件结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 根据边边边定理证明，继而证明，进而可得. 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，D是的中点， ∴． 在和中，， ∴． 在和中，， ∴． 综上所述：，，，共3对． 故选A． 7．（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可知两个三角形有两边对应相等，且这两边的夹角也相等，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据条件，通过证明，得到，，之间的关系，再利用已知角度关系求解即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，于E，于D．，，______ 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 证明，根据全等三角形的对应边相等即可证得，，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在和中，交于点M，交于点N，交于点P．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意证明，进而证明，，推出相关结论，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵，，∠C＝∠B， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴和不一定相等．故③不符合题意； ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④符合题意； ∴正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 素养提升 1．（2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题）如图，在等边中，D是线段上一点，以D为圆心，的长为半径画弧交的延长线于E，若，，则的周长是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角和三角形内角和定理，延长到点F，使得，连接，证明，，则可证明，得到，进而可证明是等边三角形，得到，据此根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到点F，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．（安徽省黄山地区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）如图，是等边三角形，是线段上一点（不与点，重合），连接，点，分别在线段，的延长线上，且，点从运动到的过程中，周长的变化规律是（   ） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．不变 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质运用“”可证，由全等三角形的性质可得，可得周长，再根据的变化情况即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ∴周长， ∵在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， ∴在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大． 故选：A． 3．（第四章图形的平移与旋转（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，30度角的直角三角形，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，，，，再整理得，证明，故，，当时，值最小，然后根据30度角的直角三角形的性质进行作答即可． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形，，， ，，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 当时，值最小， 此时，，， ， 故选：． 4．（江苏无锡市大桥实验学校2025--2026学年上学期八年级数学18周考试卷）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质是解题的关键．过点作于点，则，先证明，可得，从而得到，再由含度角的直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：过点作于点，则， 在中，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； （3）如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）（1）在中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点落在边上的处，设旋转角为． ①如图①，若，求证：． ②如图②，已知点，，求作点，，使.（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （2）如图③，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，将绕点顺时针旋转，点恰好落在边上的处．若，，则正方形的边长为______． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】（1）①由，结合等量代换可得，，使用角角边的判定定理可证明； ②仿照①中的图形进行尺规作图即可； （2）在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，作，垂足为，设正方形边长为，由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，，，．容易证明，则．利用的长构造方程，求出的值． 【详解】解：（1）①证明：由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②点和点如图所示， 步骤如下： 1．过点作的垂线，交的延长线于点； 2．在线段上截取； 3．在射线上截取； 则点和点为所作，且. （2）如图，在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，作，垂足为，设正方形边长为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在直角中，，， ∴， 同理，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，尺规作图，正方形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理，理解题意并运用模型来构造全等三角形是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $