1.4线段垂直平分线与角平分线（一）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦线段垂直平分线的定义、性质定理与判定定理，构建从直观感知到逻辑推理的知识链条，前后衔接自然，由折纸实验引入性质探究，再通过逆向思考推导判定定理，最后延伸至三角形三边垂直平分线交点即外心的应用，形成完整的几何认知结构。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。例如课堂探秘中以折叠纸片观察对称关系，培养几何直观和抽象能力，让学生从现实操作中发现“点到两端距离相等”的本质规律；例题4巧妙融合角度计算与周长求解，锻炼推理意识与模型观念；课后作业设置梯度分明，既有基础填空巩固概念，又有综合解答题提升应用意识，帮助学生在课中深化理解，在课后查漏补缺，实现知识内化与能力进阶。

2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.4线段垂直平分线与角平分线（一）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解线段垂直平分线的定义。 2.掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能运用它们进行简单的推理、计算和证明 。 3.通过经历探索线段垂直平分线性质和判定的过程，培养观察、分析、归纳及逻辑思维能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点 （1）线段垂直平分线的性质定理和判定定理。 （2）能够运用这两个定理解决相关的几何问题。 2.难点 （1）线段垂直平分线判定定理的证明及灵活运用。 （2）区分线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能在不同情境中准确应用。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题： 1. 经过某一条线段的中点，并且______于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称 “ ______ ” 。 2. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______。 3. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的______上。 ) 四．课堂探秘 （一）线段垂直平分线的定义 1.定义：经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。例如，对于线段AB，直线l过AB中点O，且l⊥AB ，那么直线l就是线段AB的垂直平分线。 2. 几何语言表述 若l是线段AB的垂直平分线，垂足为O，则有：AO= OB，且l⊥AB 。 3.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. (二）线段垂直平分线的性质定理 【讨论探究】 1.在一张纸片上画线段AB,折叠纸片,使两个端点A与B重合,展开纸片. (1)指出折痕与线段AB的关系; (2)结合(1)回答下列问题:线段是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 2.(1)在[讨论探究]1中的折痕上任意取不在AB上的一点P,连接PA,PB,度量PA,PB,你发现了什么?沿刚才的折痕翻折纸片,验证你的结论; (2)由(1)你能得出什么结论,请用文字语言描述; (3)请证明(2)中得出的结论(画出图形,写出已知、求证和证明). 【概括新知】 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 【用数学语言】 若直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，则PA = PB 。 3.线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离还相等吗?为什么? （三）线段垂直平分线的判定定理 【逆向思考】如果PA = PB，那么点P与线段AB的垂直平分线有什么关系呢？ 如果把“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的条件与结论互换,我们得到:“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”.请分析这个结论是否正确.(画出图形,写出已知、求证和证明) 【概括新知】 判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【用数学语言】 若PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 （四）线段垂直平分线的画法： 1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线． 2.尺规作线段的垂直平分线 (1)分别以点A,B为圆心,大于AB为半径画弧,两弧相交于点C,D;  (2)过C,D两点作直线. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. （五）三角形三边垂直平分线： 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，观察它们的交点位置。 三角形三边中垂线都相交于一点.且锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边的垂直平分线的交点在是斜边的中点，钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 例：已知:如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线l1,l2相交于点O.求证:点O在BC的垂直平分线上. 【归纳】 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。 （六）经典例题 例1：如图,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等的角?如何证明? 例2.如图,在△ABC中,AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,若AC=9 cm,△ABE的周长为16 cm,求AB的长. 例3.如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证:AO⊥BC. 例4.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G. (1)设△AEG的周长为X,当X=12时,求BC的长. (2)若∠BAC=125°,求∠EAG的度数. 例5.如图,BD是△ABC的角平分线. (1)如图1,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连接EF,求证:BD所在直线是EF的垂直平分线. (2)如图2,当有一点G从点D向点B运动时,GE⊥AB于点E,GF⊥BC于点F,此时(1)中的结论是否成立?请证明. (3)如图3,当点G沿BD方向从点D沿BD的延长线运动时,GE⊥AB于点E,GF⊥BC(或其延长线)于点F,此时(1)中的结论是否成立?不需证明. 【总结与思考】 1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.因此，线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 2.判定定理和性质定理之间联系和区别？ （1）区别： 性质定理是已知某条直线是线段的垂直平分线，可直接得出线上点到线段两端的距离相等，用于“由线推点”。 判定定理是已知某点到线段两端的距离相等，可判定该点在这条线段的垂直平分线上，用于“由点推线”。 （2）联系： ①互为逆定理：性质定理和判定定理的条件与结论相互颠倒，二者互为逆命题，且均为真命题。 ②共同基础：都围绕线段垂直平分线与“点到线段两端距离”的关系展开，用于解决几何中线段相等、直线垂直平分等问题。 五．课堂检测 1.如图,△ABC的边AB的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,且BC=BD=2,则△BCE的周长C不可能是(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 2.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　　） A．40° B．44° C．48° D．52° 3.如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,则△ABD的周长是　　　　.  4.如图,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于点O.若BD=6 cm,则OD=＿＿＿＿cm.  5.如图用直尺、圆规将线段AB四等分,并写出作图步骤(保留作图痕迹). 6．如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果BC＝8，求△DAF的周长． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.经过某一条线段的________，并且________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“________” 。 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________。 3.线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 4.线段垂直平分线的画法： （1）分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段________的长度为半径画弧（这样两弧才能相交），两弧分别相交于两点。 （2）过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线。 5.三角形三边的垂直平分线： （1）三角形三边的垂直平分线相交于________点。 （2）这一点到三角形三个顶点的距离________。 （二）强化训练 一．选择题 1.下列说法中:①P是线段AB上的一点,直线l经过点P且l⊥AB,则l是线段AB的垂直平分线;②直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线;③若AP=PB,且直线l垂直于线段AB,则l是线段AB的垂直平分线;④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线.其中正确的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 关于线段的垂直平分线有以下说法:①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.其中正确的说法有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 3.如果三角形三边垂直平分线的交点在某一边上,那么这个三角形是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4.已知A,B,C三点不在同一直线上,若点P满足PA=PB=PC,则平面内这样的点P有(　A) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图,已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线,若AB,AC两边的垂直平分线相交于点O,当顶点A的位置移动时,点O在 (　　) A.直线MN上 B.直线MN的左侧 C.直线MN的右侧 D.直线MN的左侧或右侧 6.如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　　) A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条高的交点处 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处 7. 已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ） A. 24cm和22cm B. 26cm和18cm C. 22cm和26cm D. 23cm和24cm 8.如图，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的垂直平分线，∠EAF＝80°，∠CBD＝30°，则∠ADC的度数为(　　) A．45° B．60° C．80° D．100° 9. 如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　 ） A. 50° B. 45° C. 30° D. 20° 10. 如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 二．填空题 11.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是________. 12.如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为________. 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是________. 14.如图,在△ABE中,AD⊥BE于点D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE的垂直平分线上.若△ABC的周长为22,DE=_____. 15. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为________. 16.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_________. 17.如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是__________． 18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为___________． 19．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=4，则AE的长为_______. 20．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=_______． 三．解答题 21.如图所示，A，B，C是新建的三个居民小区.现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校，试确定学校的位置. 22. 敌军基地在三条公路围成的三角区域内，我军一队战士在一条公路中点垂直射击，另一队战士在另一条公路中点垂直射击，均击中敌军基地，问第三队战士在公路何处垂直射击可击中目标？ 23. 在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC于点N． （1）求△AEN的周长； （2）求证：BE=EN=NC． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M． （1）若∠A=40°，求∠NMB的度数． （2）如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数． （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由． 25. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D. （1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数； （2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数； （3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数. 26. 如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点． （1）若△CDE的周长为4，求AB的长； （2）若∠ACB=100°，求∠DCE度数； （3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________. 27．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm． （1）求线段BC的长； （2）连接OA，求线段OA的长； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.4线段垂直平分线与角平分线（一）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解线段垂直平分线的定义。 2.掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能运用它们进行简单的推理、计算和证明 。 3.通过经历探索线段垂直平分线性质和判定的过程，培养观察、分析、归纳及逻辑思维能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点 （1）线段垂直平分线的性质定理和判定定理。 （2）能够运用这两个定理解决相关的几何问题。 2.难点 （1）线段垂直平分线判定定理的证明及灵活运用。 （2）区分线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能在不同情境中准确应用。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题： 1. 经过某一条线段的中点，并且______于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称 “ ______ ” 。 【 答案 】 ：垂直；中垂线 2. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______。 【 答案 】 ：相等 3. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的______上。 【 答案 】 ：垂直平分线 ) 四．课堂探秘 （一）线段垂直平分线的定义 1.定义：经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。例如，对于线段AB，直线l过AB中点O，且l⊥AB ，那么直线l就是线段AB的垂直平分线。 2. 几何语言表述 若l是线段AB的垂直平分线，垂足为O，则有：AO= OB，且l⊥AB 。 3.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. (二）线段垂直平分线的性质定理 【讨论探究】 1.在一张纸片上画线段AB,折叠纸片,使两个端点A与B重合,展开纸片. (1)指出折痕与线段AB的关系; (2)结合(1)回答下列问题:线段是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 解:(1)折痕所在的直线垂直平分线段AB,也就是线段AB的垂直平分线. (2)线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.(1)在[讨论探究]1中的折痕上任意取不在AB上的一点P,连接PA,PB,度量PA,PB,你发现了什么?沿刚才的折痕翻折纸片,验证你的结论; (2)由(1)你能得出什么结论,请用文字语言描述; (3)请证明(2)中得出的结论(画出图形,写出已知、求证和证明). 解:(1)度量PA,PB可以发现PA=PB.沿刚才的折痕翻折纸片,发现PA与PB重合. (2)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. (3)已知:如图所示,l是线段AB的垂直平分线,垂足为D,P为直线l上一点.求证:PA=PB. 证明:由题意,得PD⊥AB,AD=BD.∴∠PDA=∠PDB=90°. ∵PD=PD,∴△PDA≌△PDB,∴PA=PB. 【概括新知】 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 【用数学语言】 若直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，则PA = PB 。 3.线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离还相等吗?为什么? 解:线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等. 理由如下:如图,l为线段AB的垂直平分线,当点P在l右侧时,设PA交l于点Q,连接QB,PB.因为点Q在AB的垂直平分线上,所以QA=QB.于是PA=PQ+QA=PQ+QB>PB.当点P在l左侧时,同理可得PB>PA.综上所述,线段垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等. （三）线段垂直平分线的判定定理 【逆向思考】如果PA = PB，那么点P与线段AB的垂直平分线有什么关系呢？ 如果把“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的条件与结论互换,我们得到:“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”.请分析这个结论是否正确.(画出图形,写出已知、求证和证明) 解:分两种情况证明 (1)如图,若点Q在线段AB上,且QA=QB,求证:点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明:因为QA=QB,则Q是线段AB的中点,则点Q在线段AB的垂直平分线上. (2)若点Q在线段AB外,且QA=QB.求证:点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明:如图,过点Q作QM⊥AB,垂足为M,则∠QMA=∠QMB=90°. 在Rt△QMA和Rt△QMB中,∴Rt△QMA≌Rt△QMB(HL), ∴AM=BM, ∴点Q在线段AB的垂直平分线上,即到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 【概括新知】 判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【用数学语言】 若PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 （四）线段垂直平分线的画法： 1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线． 2.尺规作线段的垂直平分线 (1)分别以点A,B为圆心,大于AB为半径画弧,两弧相交于点C,D;  (2)过C,D两点作直线. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. （五）三角形三边垂直平分线： 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，观察它们的交点位置。 三角形三边中垂线都相交于一点.且锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边的垂直平分线的交点在是斜边的中点，钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 例：已知:如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线l1,l2相交于点O.求证:点O在BC的垂直平分线上. 证明:连接OA,OB,OC.如图.∵点O在AB的垂直平分线l1上,∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).同理OA=OC.∴OB=OC,∴点O在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 【归纳】 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。 （六）经典例题 例1：如图,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等的角?如何证明? 【解析】：(1)全等三角形有△ABC ≌△ADC,△ADE ≌△ABE,△CDE ≌△CBE,共3对全等的三角形; 证明:△ABC ≌△ADC在△ABC和△ADC中∵AC=AC AB=AD CB=CD ∴△ABC ≌△ADC (SSS) 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”。 例2.如图,在△ABC中,AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,若AC=9 cm,△ABE的周长为16 cm,求AB的长. 【解析】∵ED是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴BE+AE=CE+AE=AC=9 cm.∵△ABE的周长为16 cm,∴AB=16-(BE+AE)=16-9=7 cm. 例3.如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证:AO⊥BC. 【解析】证明:∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上.∵OB=OC,∴点O在BC的垂直平分线上, ∴AO垂直平分BC,∴AO⊥BC. 例4.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G. (1)设△AEG的周长为X,当X=12时,求BC的长. (2)若∠BAC=125°,求∠EAG的度数. 【解析】(1)∵DE是AB的垂直平分线,GF是AC的垂直平分线,∴EB=EA,GA=GC. ∵BC=BE+EG+GC,∴BC=AE+EG+AG=X=12. (2)∵∠BAC=125°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-125°=55°.∵EA=EB,DE=DE,∴Rt△ADE≌Rt△BDE(HL),∴∠BAE=∠B.∵AG=CG,GF=GF,∴Rt△AGF≌Rt△CGF(HL),∴∠GAC=∠C,∴∠EAG=∠BAC-∠BAE-∠GAC=∠BAC-(∠B+∠C)=125°-55°=70°. 例5.如图,BD是△ABC的角平分线. (1)如图1,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,连接EF,求证:BD所在直线是EF的垂直平分线. (2)如图2,当有一点G从点D向点B运动时,GE⊥AB于点E,GF⊥BC于点F,此时(1)中的结论是否成立?请证明. (3)如图3,当点G沿BD方向从点D沿BD的延长线运动时,GE⊥AB于点E,GF⊥BC(或其延长线)于点F,此时(1)中的结论是否成立?不需证明. 【解析】(1)证明:∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF,∴点D在EF的垂直平分线上. 在Rt△BDE和Rt△BDF中,∵DE=DF,BD=BD,∴Rt△BDE≌Rt△BDF,∴BE=BF,∴点B在EF的垂直平分线上,∴BD所在直线是EF的垂直平分线. (2)成立.证明如下:同(1)可证GE=GF,BE=BF,∴点G,B在EF的垂直平分线上,∴BG所在直线是EF的垂直平分线,即BD所在直线是EF的垂直平分线. (3)成立. 【总结与思考】 1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.因此，线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 2.判定定理和性质定理之间联系和区别？ （1）区别： 性质定理是已知某条直线是线段的垂直平分线，可直接得出线上点到线段两端的距离相等，用于“由线推点”。 判定定理是已知某点到线段两端的距离相等，可判定该点在这条线段的垂直平分线上，用于“由点推线”。 （2）联系： ①互为逆定理：性质定理和判定定理的条件与结论相互颠倒，二者互为逆命题，且均为真命题。 ②共同基础：都围绕线段垂直平分线与“点到线段两端距离”的关系展开，用于解决几何中线段相等、直线垂直平分等问题。 五．课堂检测 1.如图,△ABC的边AB的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,且BC=BD=2,则△BCE的周长C不可能是(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 【答案】D　 【解析】因为直线DE是AB的垂直平分线,所以AE=BE, AD=BD=2,所以△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC,AB=AD+BD=2+2=4,所以4-2<AC<4+2,即2<AC<6,所以△BCE的周长C的取值范围是4<C<8.故选D. 2.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　　） A．40° B．44° C．48° D．52° 【答案】C 【解析】在△ABC中，∠BAC＝114°，则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°， ∵EG是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，故选：C． 3.如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,则△ABD的周长是　　　　.  【答案】 12 【解析】∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=12. 4.如图,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于点O.若BD=6 cm,则OD=＿＿＿＿cm.  【答案】 3 【解析】　∵AB=AD,CB=CD,∴AC所在直线是线段BD的垂直平分线,∴OD=BD=×6=3 cm. 5.如图用直尺、圆规将线段AB四等分,并写出作图步骤(保留作图痕迹). 解:步骤:(1)分别以点A,B为圆心,大于1/2AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N; (2)连接MN与AB相交于点C,C就是AB的中点; (3)用同样的方法,再找出AC的中点E和CB的中点F.这样点E,C,F就把线段AB四等分.如图. 6．如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果BC＝8，求△DAF的周长． 解：（1）∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∵∠BAC＝105°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝105°﹣75°＝30°； （2）∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+CF＝BC＝8． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.经过某一条线段的________，并且________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“________” 。 【答案】：中点；垂直于；中垂线 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________。 【答案】：相等 3.线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 【答案】：垂直平分线 4.线段垂直平分线的画法： （1）分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段________的长度为半径画弧（这样两弧才能相交），两弧分别相交于两点。 （2）过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线。 【答案】：一半 5.三角形三边的垂直平分线： （1）三角形三边的垂直平分线相交于________点。 （2）这一点到三角形三个顶点的距离________。 【答案】：一；相等；三个. （二）强化训练 一．选择题 1.下列说法中:①P是线段AB上的一点,直线l经过点P且l⊥AB,则l是线段AB的垂直平分线;②直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线;③若AP=PB,且直线l垂直于线段AB,则l是线段AB的垂直平分线;④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线.其中正确的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】①当P不是AB的中点，则直线l不平分线段AB，故错误；②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定过点P，所以直线l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确.故选A. 2. 关于线段的垂直平分线有以下说法:①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.其中正确的说法有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】B 【解析】①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；②线段的垂直平分线是一条直线，正确；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴，错误，因为线段有2条对称轴：一条是这条线段的垂直平分线，另一条对称轴是这条线段所在的直线；故选：B． 3.如果三角形三边垂直平分线的交点在某一边上,那么这个三角形是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【答案】C 【解析】　直角三角形三边垂直平分线的交点是其斜边的中点.故选C. 4.已知A,B,C三点不在同一直线上,若点P满足PA=PB=PC,则平面内这样的点P有(　A) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】满足PA=PB=PC的点P即三角形ABC三边垂直平分线的交点,只有一个.故选A 5.如图,已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线,若AB,AC两边的垂直平分线相交于点O,当顶点A的位置移动时,点O在 (　　) A.直线MN上 B.直线MN的左侧 C.直线MN的右侧 D.直线MN的左侧或右侧 【答案】A 【解析】 由题意可知,点O为△ABC各边垂直平分线的交点,因为MN为△ABC的边BC的垂直平分线,所以无论点A如何移动,点O一定在直线MN上.故选A. 6.如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　　) A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条高的交点处 D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,可知超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处.故选D. 7. 已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ） A. 24cm和22cm B. 26cm和18cm C. 22cm和26cm D. 23cm和24cm 【答案】C 【解析】如图：∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴△DBC的周长=BD+CD+BC =AD+CD+BC=AC+BC，∵△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，∴AB=70﹣48=22cm，∴BC=48﹣22=26cm，即△ABC的腰和底边长分别为22cm和26cm．故选C． 8.如图，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的垂直平分线，∠EAF＝80°，∠CBD＝30°，则∠ADC的度数为(　　) A．45° B．60° C．80° D．100° 【答案】B 【解析】在四边形AECF中，∠ECF＝360°－∠AFC－∠AEC－∠EAF.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝80°，∴∠ECF＝100°.在△BCD中，∠CDB＝180°－∠CBD－∠BCD＝50°.如图，连接AC，则AD＝AC＝AB，∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝2∠CAF＋2∠CAE＝2∠EAF＝160°. ∴∠ADB＝10°.∴∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝50°＋10°＝60°. 9. 如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　 ） A. 50° B. 45° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=CE．故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD． 因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°-100°=80°，∴∠DAE=100°-∠BAD-∠EAC=20°．故选：D． 10. 如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 【答案】D 【解析】甲：虽然CP=AP，但∠A≠∠ACP，即∠A≠∠ACD．甲不正确；乙∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，∴AD=DC=EB=CE．乙正确，故选D． 二．填空题 11.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是________. 【答案】6　　 【解析】∵DE是AB的垂直平分线,AE=4,∴EB=EA=4,∴BC=EB+EC=4+2=6.故选C. 12.如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为________. 【答案】20° 【解析】∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°， 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是________. 【答案】4对 【解析】△ODC≌△ODB，△AOC≌△AOB，△ADC≌△ADB，△AOE≌△COE，共4对． 14.如图,在△ABE中,AD⊥BE于点D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE的垂直平分线上.若△ABC的周长为22,DE=_____. 【答案】11 【解析】　∵BD=DC,AD⊥BE,∴AD所在直线是BC的垂直平分线,∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∵△ABC的周长是22,∴AC+AB+BD+CD=22,∴AC+CD=11, ∴DE=CD+CE=CD+AC=11. 15. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为________. 【答案】5 【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝5∴PA=PB， 即PB=5. 16.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_________. 【答案】10 【解析】∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C． 17.如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是__________． 【答案】6 【解析】如图，连接BE．∵AC=9，AE：EC=2：1，∴AE=×9=6，EC=9×=3，∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=6．故答案为：6． 18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为___________． 【答案】40° 【解析】∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠BEA=80°．∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=EC， ∴∠C=∠EAC．∵∠BEA=∠C+∠EAC，∴∠C=40°．故答案为：40°． 19．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=4，则AE的长为_______. 【答案】2 【解析】∵DE是BC的垂直平分线，∴EC=EB=4，∴∠ECB=∠B=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE=30°，∴∠A=90°，又∠ACE=30°，∴AE=EC=2． 20．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=_______． 【答案】48° 【解析】∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣60°﹣48°=72°，∵FE是BC的中垂线，∴FB=FC，∴∠FCB=∠DBC=24°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°，故答案为：48°． 三．解答题 21.如图所示，A，B，C是新建的三个居民小区.现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校，试确定学校的位置. 解：①连接AB，BC，如图所示； ②作AB，BC的垂直平分线相交于点P，点P就是学校的位置. 22. 敌军基地在三条公路围成的三角区域内，我军一队战士在一条公路中点垂直射击，另一队战士在另一条公路中点垂直射击，均击中敌军基地，问第三队战士在公路何处垂直射击可击中目标？ 解：第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标，∵一队战士在一条公路中点垂直射击，∴敌军基地到这条公路与另两条公路交点的距离相等，同理，敌军基地到第二条公路与另两条公路交点的距离相等，∴敌军基地在第三条公路与另两条公路交点之间公路的垂直平分线上，∴第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标． 23. 在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC于点N． （1）求△AEN的周长； （2）求证：BE=EN=NC． 解：（1）是的垂直平分线，，是垂直平分线， ，则的周长； （2）证明：，，，，， ，，， ，是等边三角形，． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M． （1）若∠A=40°，求∠NMB的度数． （2）如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数． （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由． 解：（1）∵AB=AC，∴∠ABM=∠ACB．∵∠BAC=40°，∠ABM=∠ACB，∴∠ABM=×(180°-∠BAC)=70°．∵MN是AB的垂直平分线，∠ABM=70°， ∴∠NMB=90°-∠ABM=90°-70°=20°． （2）与（1）同理可得∠B=×(180°-∠BAC)=55°，∴∠NMB=90°-55°=35°． （3）规律：在等腰△ABC中，当AB=AC时，∠NMB的度数恰好为顶角∠A度数的一半，即∠NMB=∠A． 理由如下∵AB=AC∴∠ABM=∠ACB．∴∠ABM=(180°-∠A)=90°-∠A． ∵∠ABM=90°-∠A，∠BNM=90°，∴∠BMN=90°-∠ABM=∠A． 25. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D. （1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数； （2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数； （3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数. 解：（1）∵∠C=90°，∠CAD=20°，∴∠ADC=70°，∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=35°，答：∠B的度数是35°； （2）∵∠C=90°，∠CAB=50°，∴∠B=40°，∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=40°，∴∠CAD=10°； （3）设∠CAD=x，则∠DAB=∠B=2x，则x+2x+2x=90°，解得x=18，则∠CAB=54°． 26. 如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点． （1）若△CDE的周长为4，求AB的长； （2）若∠ACB=100°，求∠DCE度数； （3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________. 解：（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，∴DC=DA，EC=EB，∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4； （2）∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B， ∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DCE=100°-80°=20°； （3）∵∠ACB=α，∴∠A+∠B=180°-α，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B， ∴∠DCA+∠ECB=180°-α，∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，故答案：2α-180°． 27．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm． （1）求线段BC的长； （2）连接OA，求线段OA的长； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC， BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm； （2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝0B＝OC＝5cm； （3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°． 学科网（北京）股份有限公司 $