1.4线段垂直平分线与角平分线（二）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦角平分线的定义、性质定理（角平分线上点到两边距离相等）、逆定理（角内部到两边距离相等的点在角平分线上）及三角形角平分线交于一点（内心）的性质，承接线段垂直平分线，延续几何图形性质探究，为后续全等、四边形等几何推理提供基础，构成平面几何重要学习支架。 资料通过课堂操作探究（折纸、尺规作图）和图形运动验证性质，培养几何直观与空间观念（数学眼光）；性质定理与逆定理的严谨证明及符号语言规范，强化推理能力（数学思维）；归纳双垂直、截长补短等辅助线模型及易错点，助力构建解题模型（数学语言）。课中教师可引导学生主动探究，课后分层作业与知识清单帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.4线段垂直平分线与角平分线（二）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.深入理解角平分线的定义，能准确运用其进行角度的相关计算和判断。 2.熟练掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能够证明并灵活应用它们解决几何问题，如证明线段相等、角相等。 3.了解三角形的角平分线的概念和性质，知道三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等 ，并能运用该性质解决实际问题。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）角平分线的性质定理和逆定理的理解与应用； （2）三角形角平分线的性质及应用。 2.难点： （1）角平分线性质定理和逆定理的区别与灵活运用； （2)综合运用角平分线的相关知识解决复杂几何问题。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个______的角，这条______叫做这个角的角平分线。 【 答案 】 ：射线；相等；射线 2. 角平分线上的点到角两边的______相等。 【 答案 】 ：距离 3. 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的______上。 【 答案 】 ：平分线 4. 三角形的一个角的平分线与这个角的对边______，连结这个角的顶点和与对边交点的______叫做三角形的角平分线 。 【 答案 】 ：相交；线段 5. 三角形三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的______相等。 【 答案 】 ：距离 ) 四．课堂探秘 （一）角平分线的定义 1.定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线 。例如，若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。 2.探究：在纸上任意画一个角，不利用工具,请你将这个角分成两个相等的角,你有什么办法? 再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?角是轴对称图形吗? 【解析】对折。角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 3.尝试用直尺和圆规作出这个角的平分线，思考作图的依据和原理。 作法： （1）以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于两点。 （2）分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧在角内相交于一点。 （3）连接角的顶点和这个交点，所得射线就是这个角的平分线。 因为构造出的两个三角形三边分别相等，根据全等三角形的判定定理（SSS）可知这两个三角形全等，全等三角形对应角相等，所以这条射线就是角平分线。 （二）角平分线的性质定理 【操作探究】：在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E ，测量PD和PE的长度，发现PD = PE。 【探索证明】： 已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 证明：∵ OP平分∠AOB，∴ ∠AOP=∠BOP∵PD⊥AO,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中 ∴△PDO≌△PEO（AAS）∴ PD=PE 也可以用图形运动来证实：把△POC沿OP翻折，由翻折得∠POA=∠POB.∵PD⊥AO,PE⊥OB，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”可知PD与PE重合，∴PD=PE 【性质定理】 角平分线上的点到角的两边距离相等； 【基本图形】： 【符号语言】：∵OC平分∠AOB，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE 【强调】定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。缺一不可。 （三）角平分线定理的逆定理 【提出问题】：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点是否在角的平分线上？ 【探究证明】： 已知： QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为D、E，且QD = QE。 求证：点Q在∠AOB的平分线上。 证明：连接OQ，在Rt△QDO和Rt△QEO中，OQ= OQ，QD = QE ，∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL），∴∠AOQ = ∠BOQ，即点Q在∠AOB的平分线上。 【角平分线定理的逆定理】：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【几何语言】： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，∴OP平分∠AOB 。 （四）角平分线的性质定理与角平分线的判定定理的比较 （五）三角形的角平分线 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线 （也叫三角形的内角平分线）。三角形有三条角平分线。 例： 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE同理可得PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、 CA的距离相等 2.性质：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心 。三角形的内心到三角形三边的距离相等 。 3.应用：找三角形内到三角形三边距离相等的点。 例1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点 Q 是射线OM上的一个动点，若PA=4，则 PQ的长不可能是 ( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【答案】A 【解析】∵OP 平分∠MON,PA⊥ON ∴点P到OM 的距离等于 PA,即点 P 到OM 的距离为4,∴PQ≥4.故选 A. 例2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝6，则△BDC的面积是 　 　． 【答案】6 【解析】：过D作DE⊥BC于E，∵∠ABC的平分线是BD，∠A＝90°（即DA⊥AB），DE⊥BC， ∴AD＝DE，∵AD＝2，∴DE＝2，∵BC＝6，∴S△BDC＝＝＝6， 故答案为：6． 例3.如图，在△ ABC中，∠C=90°. （1）用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D.(保留作图痕迹，不写作法) （2）若∠ABC=60°，求证:AD=BD. 解:（1）作图如图所示，则BD为所求作的角平分线 （2）证明:在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=∠CBD=30°，∴∠A=∠DBA，∴△DAB是等腰三角形，∴AD=BD. 例4．AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20． （1）如图1，若AB＝AC，求AC的长； （2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长． 解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝3，由题意得，×AB×3+×AC×3＝20，解得，AC＝AB＝； （2）如图2，作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝3， 由题意得，×5×3+×AC×3＝20，解得，AC＝． 例5.如图△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. 解：(1)证明:连接BD、CD,如图.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,∵DG垂直平分BC,∴BD=CD.在Rt△BED与Rt△CFD中, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF. (2)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD.在△AED和△AFD中, ∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,设BE=x,则CF=x,∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF, ∴5-x=3+x,解得x=1,∴BE=1,∴AE=5-1=4. 【高频题型解题思路与技巧】 1、常见题型 （1）题型1：利用角平分线定义求角度 解题思路：结合三角形内角和、对顶角、邻补角等知识，通过角平分线得到的等量关系建立等式求解。 技巧：设未知角为x，用含x的式子表示相关角，根据角度关系列方程。 例：在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD平分∠BAC，则∠BAD=？ 解：由三角形内角和得∠BAC=60°，因AD平分∠BAC，故∠BAD=∠BAC÷2=30°。 （2）题型2：角平分线性质定理的应用 解题思路：遇角平分线，过线上点向角的两边作垂线，构造相等线段（距离），为全等或等量代换铺垫。 核心模型：角平分线+双垂直（过角平分线上一点作两边垂线，得垂线段相等） 。 例：四边形ABCD中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。 证明：直接应用角平分线性质定理，因AD是角平分线，DE、DF分别垂直两边，故DE=DF。 （3）题型3：角平分线逆定理的应用 解题思路：先证明某点到角两边的距离相等，再依据逆定理判定该点在角的平分线上，常用于证明“三线共点”或角平分线。 关键步骤：1. 过点作两边的垂线；2. 证明两条垂线段相等；3. 得出点在角平分线上 。 例：△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE，求证：点A在∠BOC的平分线上。 证明：过A作AF⊥OB、AG⊥OC，证明AF=AG，由逆定理得A在∠BOC的平分线上。 （4）题型4：三角形角平分线的综合应用 解题思路：聚焦“内心”性质（到三边距离相等），结合全等三角形、等腰三角形等知识解题。 常见辅助线：过内心作三边的垂线，构造相等的垂线段 。 例：△ABC的角平分线BD、CE交于点O，求证：O到AB、BC、AC的距离相等。 证明：过O作OM⊥AB、ON⊥BC、OP⊥AC，由BD平分∠ABC得OM=ON，由CE平分∠ACB得ON=OP，故OM=ON=OP。 2.核心辅助线模型与技巧 （1）双垂直模型：角平分线+一垂直→作另一垂直，得全等三角形。例：AD平分∠BAC，DE⊥AB，则作DF⊥AC，得△ADE≌△ADF 。 （2）延长垂线模型：角平分线+内垂直→延长垂线构造等腰三角形。例：AD平分∠BAC，BE⊥AD延长线于E，延长BE交AC于H，得△ABE≌△AHE，BE=EH 。 （3）截长补短模型：角平分线+无垂直→在角的两边截取相等线段，构造全等。例：AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，得△ADE≌△ADC 。 （4）平行构造模型：角平分线+平行线→构造等腰三角形。例：AD平分∠BAC，过D作DE∥AB，得△ADE是等腰三角形 。 3、易错点提醒 （1）混淆性质定理与逆定理：性质定理是“点在平分线上→距离相等”，逆定理是“距离相等→点在平分线上”，不可颠倒应用。 （2）忽略“垂直”条件：应用性质或逆定理时，必须保证线段与角的两边垂直，仅相等不垂直不能应用。 （3）三角形角平分线误区：误认为“角平分线分对边相等”，仅等腰三角形顶角平分线有此性质，一般三角形不成立。 五．课堂检测 1.如图在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,已知DC=2,则BD=( 　) A.3.5　　　　B.4　　　　C.4.5　　　　D.5 【答案】B　 【解析】过D点作DE⊥AB于E,如图,∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=DC=2.在Rt△BDE中,∵∠B=30°,∴BD=2DE=4.故选B. 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.若△ACD的面积为16,AC=8,则DE的长为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6 【答案】C　 【解析】如图,过点D作DF⊥AC,垂足为F,∵△ACD的面积为16,AC=8,∴AC·DF=16,∴DF=4,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=4,故选C. 3.如图,点P是△ABC内部的一点,点P到三边AB,AC,BC的距离相等,即PD=PE=PF,若∠BPC=130°,则∠BAC的度数为　(　　) A.65°　　　　B.80°　　　　C.100°　　　　D.70° 【答案】B　 【解析】由题意可知,BP、CP是∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB, ∵∠BPC=130°,∴∠PBC+∠PCB=50°,∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2(∠PBC+∠PCB)=100°,∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°.故选B. 4．如图，在△ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF∥AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为　　． 【答案】4． 【解析】解：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A．∵点E为AC的中点，∴AE＝EC．∵在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴AD＝CF＝5，∵BD＝1，∴AB＝AD﹣BD＝5﹣1＝4．故答案为：4． 5．△ABC的周长为6，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为　　． 【答案】3 【解析】如图，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵∠A和∠B的平分线相交于点P，∴PD＝PE＝PF＝1，∵△ABC的周长为60，∴△ABC的面积＝AB•PD+BC•PE+AC•PF＝PD（AB+BC+AC）＝×1×6＝3．故答案为：3． 6.如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E. (1)求证:BD=CE; (2)若AB=6 cm,AC=12 cm,求AD的长. 解：(1)证明:连接PB,PC,如图,∵PQ垂直平分BC,∴PB=PC,∵AP平分∠DAC,PD⊥AB,PE⊥AC,∴PD=PE.在Rt△BPD和Rt△CPE中,∴Rt△BPD≌Rt△CPE(HL),∴BD=CE. (2)在Rt△ADP和Rt△AEP中,∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE,∵BD=CE,∴AD+AB=AC-AE,∴AD+6=12-AD,∴AD=3 cm. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.角平分线的定义：从一个角的______引出一条______，把这个角分成两个______的角，这条______叫做这个角的角平分线。 【答案】：顶点；射线；相等；射线 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的______相等。 【答案】：距离 3.角平分线定理的逆定理：角的内部到角的两边______相等的点，在这个角的______上。 【答案】：距离；平分线 4.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边______，连结这个角的顶点和与对边交点的______叫做三角形的角平分线。 【答案】：相交；线段 5.三角形三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的______相等。 【答案】：距离 （二）强化训练 一．选择题 1．如图，已知AC平分∠PAQ，D、E、F分别是AP、AC、AQ上的三个动点，下列说法不正确的是（　　） A．DE⊥AP，EF⊥AQ，可推出AD＝AF B．若DE＝EF，可推出AD＝AF C．若∠DEA＝∠FEA，可推出AD＝AF D．若∠ADE＝∠AFE，可推出AD＝AF 【答案】B 【解析】A、∵AC平分∠PAQ，DE⊥AP，EF⊥AQ，∴DE＝EF，∴△ADE≌AFE，∴AD＝AF，正确；B、∵DE＝EF，无法得出△ADE≌AFE，错误；C、∵AC平分∠PAQ，∠DEA＝∠FEA，AE＝AE，∴△ADE≌AFE，∴AD＝AF，正确；D、∵AC平分∠PAQ，∠ADE＝∠AFE，AE＝AE，∴△ADE≌AFE，∴AD＝AF，正确；故选：B． 2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．下列结论中正确的有（　　） （1）ED＝EC；（2）OD＝OC；（3）∠ECD＝∠EDC；（4）EO平分∠DEC；（5）OE⊥CD；（6）直线OE是线段CD的垂直平分线． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解析】∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC＝ED，故（1）正确；在Rt△OCE和Rt△ODE中，，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴OD＝OC，∠ECD＝∠EDC，故（2）（3）正确；∴EO平分∠DEC，故（4）正确；∵OC＝OD，OE平分∠AOB，∴OE⊥CD，故（5）正确；直线OE是线段CD的垂直平分线，故（6）正确；综上所述，6个结论都正确． 故选：D． 3．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】A 【解析】∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．故选：A． 4.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 【答案】A 【解析】∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵AB＝8，BC＝9，AC＝6，∴S△ABD：S△ACD＝＝AB：AC＝8：6＝4：3．故选：A． 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（　　） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，∴∠ADC＝60°，故②正确；∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，∴AD＝DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD，∵AD＝DB，∴CD＝DB，∴CD＝CB，S△ACD＝CD•AC，S△ACB＝CB•AC，∴S△ACD：S△ACB＝1：3，故④正确，故选：D． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC．若CD＝3，则AD等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，∴BD＝AD，∵∠C＝90°，∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝6，∴AD＝BD＝6．故选：D． 7．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm 【答案】B 【解析】∵BD平分∠ABE，DE⊥BC，DA⊥AB∴AD＝DE又∵BD＝BD∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL） ∴AB＝BE又∵AB＝AC∴BE＝ACBC＝BE+EC＝AC+EC＝AD+DC+EC＝DE+DC+EC＝10cm∴△DEC的周长是10cm，故选：B． 8．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（　　）cm． A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05 【答案】B 【解析】∵点P到△ABC三边的距离相等，∴AP平分∠BAC，∴∠DAP＝∠CAP，∵DE∥AC，∴∠DPA＝∠PAC，∴∠DAP＝∠APD，∴AD＝PD，同理PE＝CE，∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，故选：B． 9.要想富,先修路.道路通,百业兴.古往今来,人们一直很重视修建道路.因为只有交通便利,货物才能流通,商业才能发达.如图,三条公路两两相交,现计划在△ABC内部安装一个探照灯,要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,则探照灯的位置是△ABC　　　　的交点.(　　)  A.三条角平分线　　　B.三条中线 C.三边上高的交点　　D.三边垂直平分线　 【答案】A　 【解析】∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,∴探照灯的位置是△ABC三条角平分线的交点. 10．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C． 二．填空题 11．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是=_________. 【答案】6 【解析】∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，故选：D． 12.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=_______. 【答案】35° 【解析】作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB， ∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°． 13.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.若AC=2,DE=1,则S△ACD=　　.  【答案】1 【解析】过D点作DH⊥AC于H,如图,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DE=DH=1,∴S△ACD=×2×1=1. 14．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是________. 【答案】30 【解析】如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=×20×3=30， 15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=6，则AB长是______. 【答案】4 【解析】如图：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DE=2， ∴DF=DE=2，∵S△ABC=10，∴AB×DE+AC×DF=10，∴×AB×2+6×2=10，∴AB=4， 16．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON； （2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP． 则射线OP为∠AOB的平分线．请写出小林的画法的依据___________． 【答案】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 【解析】有画法得OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，则可判定Rt△OPM≌Rt△OPN，所以∠POM=∠PON，即射线OP为∠AOB的平分线． 17．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有______处． 【答案】4 【解析】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故答案为：4． 18．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_______． 【答案】4 【解析】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=2，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴F、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4．故答案为：4． 19．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则AF＝　 　． 【答案】 【解析】：过D作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DH＝DE＝3，∵BC＝10，∴S△BDC＝BC•DH＝×10×3＝15；∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴AF•BC＝AB•DE+15，∴×10AF＝×8×3+15，∴AF＝，故答案为：15，． 20．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是 　 　． 【答案】5 【解析】∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝3，∴DE＝DF＝3，∵S△ABC＝15，∴S△ADB+S△ADC＝15，∴×AB×DE+×AC×DF＝15，∴×5×3+AB×3＝15，解得：AB＝5，故答案为：5． 三．解答题 21．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC． （1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC． 【答案】（1）解：如图， （2）证明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC， ∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，∴DE∥AC． 22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC=54°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 解：（1）∵∠BAC=54°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAC=27°，∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°，∴∠EDA=90°﹣27°=63°． （2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线． 23．AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20． （1）如图1，若AB＝AC，求AC的长； （2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长． 解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝3，由题意得，×AB×3+×AC×3＝20，解得，AC＝AB＝； （2）如图2，作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝3，由题意得，×5×3+×AC×3＝20，解得，AC＝． 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F． （1）求证：BF平分∠DBC； （2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数． 解：（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，∴∠BGE＝∠BEG，∴BG＝BE，∵BF⊥EG，∴BF平分∠DBC． （2）∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C， ∴5∠C＝90°，∴∠C＝18°． 25．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点． （1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数． （2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数． （3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB． 解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°； （2）连接OC，∴AE、BF是角平分线，交于O点，∴OC是∠ACB的角平分线，∴∠OCF＝∠OCE，过O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM＝ON，在Rt△OEM与Rt△OFN中，， ∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+∠ACB，即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°； （3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AE、BF是角平分线，交于O点，∴OD＝OG＝OH，∴S△ABC＝×8×6＝×10OD+6×OG+8×OH，∴OD＝2，∴S△AOB＝10×2＝10． 26．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α． （1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数． （2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC． （3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC． 解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°； （2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OE，OD＝OF， ∴OE＝OF，∴OA平分∠BAC； （3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝×180°＝90°，∴OC⊥CP 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.4线段垂直平分线与角平分线（二）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.深入理解角平分线的定义，能准确运用其进行角度的相关计算和判断。 2.熟练掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能够证明并灵活应用它们解决几何问题，如证明线段相等、角相等。 3.了解三角形的角平分线的概念和性质，知道三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等 ，并能运用该性质解决实际问题。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）角平分线的性质定理和逆定理的理解与应用； （2）三角形角平分线的性质及应用。 2.难点： （1）角平分线性质定理和逆定理的区别与灵活运用； （2)综合运用角平分线的相关知识解决复杂几何问题。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个______的角，这条______叫做这个角的角平分线。 2. 角平分线上的点到角两边的______相等。 3. 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的______上。 4. 三角形的一个角的平分线与这个角的对边______，连结这个角的顶点和与对边交点的______叫做三角形的角平分线 。 5. 三角形三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的______相等。 ) 四．课堂探秘 （一）角平分线的定义 1.定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线 。例如，若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。 2.探究：在纸上任意画一个角，不利用工具,请你将这个角分成两个相等的角,你有什么办法? 再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?角是轴对称图形吗? 3.尝试用直尺和圆规作出这个角的平分线，思考作图的依据和原理。 （二）角平分线的性质定理 【操作探究】：在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E ，测量PD和PE的长度，发现PD = PE。 【探索证明】： 已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 也可以用图形运动来证实：把△POC沿OP翻折，由翻折得∠POA=∠POB.∵PD⊥AO,PE⊥OB，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”可知PD与PE重合，∴PD=PE 【性质定理】 角平分线上的点到角的两边距离相等； 【基本图形】： 【符号语言】：∵OC平分∠AOB，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE 【强调】定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。缺一不可。 （三）角平分线定理的逆定理 【提出问题】：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点是否在角的平分线上？ 【探究证明】： 已知： QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为D、E，且QD = QE。 求证：点Q在∠AOB的平分线上。 【角平分线定理的逆定理】：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【几何语言】： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，∴OP平分∠AOB 。 （四）角平分线的性质定理与角平分线的判定定理的比较 （五）三角形的角平分线 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线 （也叫三角形的内角平分线）。三角形有三条角平分线。 例： 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 2.性质：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心 。三角形的内心到三角形三边的距离相等 。 3.应用：找三角形内到三角形三边距离相等的点。 例1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点 Q 是射线OM上的一个动点，若PA=4，则 PQ的长不可能是 ( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 例2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝6，则△BDC的面积是 　 　． 例3.如图，在△ ABC中，∠C=90°. （1）用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D.(保留作图痕迹，不写作法) （2）若∠ABC=60°，求证:AD=BD. 例4．AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20． （1）如图1，若AB＝AC，求AC的长； （2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长． 例5.如图△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. 【高频题型解题思路与技巧】 1、常见题型 （1）题型1：利用角平分线定义求角度 解题思路：结合三角形内角和、对顶角、邻补角等知识，通过角平分线得到的等量关系建立等式求解。 技巧：设未知角为x，用含x的式子表示相关角，根据角度关系列方程。 例：在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD平分∠BAC，则∠BAD=？ 解：由三角形内角和得∠BAC=60°，因AD平分∠BAC，故∠BAD=∠BAC÷2=30°。 （2）题型2：角平分线性质定理的应用 解题思路：遇角平分线，过线上点向角的两边作垂线，构造相等线段（距离），为全等或等量代换铺垫。 核心模型：角平分线+双垂直（过角平分线上一点作两边垂线，得垂线段相等） 。 例：四边形ABCD中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。 证明：直接应用角平分线性质定理，因AD是角平分线，DE、DF分别垂直两边，故DE=DF。 （3）题型3：角平分线逆定理的应用 解题思路：先证明某点到角两边的距离相等，再依据逆定理判定该点在角的平分线上，常用于证明“三线共点”或角平分线。 关键步骤：1. 过点作两边的垂线；2. 证明两条垂线段相等；3. 得出点在角平分线上 。 例：△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE，求证：点A在∠BOC的平分线上。 证明：过A作AF⊥OB、AG⊥OC，证明AF=AG，由逆定理得A在∠BOC的平分线上。 （4）题型4：三角形角平分线的综合应用 解题思路：聚焦“内心”性质（到三边距离相等），结合全等三角形、等腰三角形等知识解题。 常见辅助线：过内心作三边的垂线，构造相等的垂线段 。 例：△ABC的角平分线BD、CE交于点O，求证：O到AB、BC、AC的距离相等。 证明：过O作OM⊥AB、ON⊥BC、OP⊥AC，由BD平分∠ABC得OM=ON，由CE平分∠ACB得ON=OP，故OM=ON=OP。 2.核心辅助线模型与技巧 （1）双垂直模型：角平分线+一垂直→作另一垂直，得全等三角形。例：AD平分∠BAC，DE⊥AB，则作DF⊥AC，得△ADE≌△ADF 。 （2）延长垂线模型：角平分线+内垂直→延长垂线构造等腰三角形。例：AD平分∠BAC，BE⊥AD延长线于E，延长BE交AC于H，得△ABE≌△AHE，BE=EH 。 （3）截长补短模型：角平分线+无垂直→在角的两边截取相等线段，构造全等。例：AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，得△ADE≌△ADC 。 （4）平行构造模型：角平分线+平行线→构造等腰三角形。例：AD平分∠BAC，过D作DE∥AB，得△ADE是等腰三角形 。 3、易错点提醒 （1）混淆性质定理与逆定理：性质定理是“点在平分线上→距离相等”，逆定理是“距离相等→点在平分线上”，不可颠倒应用。 （2）忽略“垂直”条件：应用性质或逆定理时，必须保证线段与角的两边垂直，仅相等不垂直不能应用。 （3）三角形角平分线误区：误认为“角平分线分对边相等”，仅等腰三角形顶角平分线有此性质，一般三角形不成立。 五．课堂检测 1.如图在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,已知DC=2,则BD=( 　) A.3.5　　　　B.4　　　　C.4.5　　　　D.5 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.若△ACD的面积为16,AC=8,则DE的长为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6 3.如图,点P是△ABC内部的一点,点P到三边AB,AC,BC的距离相等,即PD=PE=PF,若∠BPC=130°,则∠BAC的度数为　(　　) A.65°　　　　B.80°　　　　C.100°　　　　D.70° 4．如图，在△ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF∥AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为　　． 5．△ABC的周长为6，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则△ABC的面积为　　． 6.如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E. (1)求证:BD=CE; (2)若AB=6 cm,AC=12 cm,求AD的长. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.角平分线的定义：从一个角的______引出一条______，把这个角分成两个______的角，这条______叫做这个角的角平分线。 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的______相等。 3.角平分线定理的逆定理：角的内部到角的两边______相等的点，在这个角的______上。 4.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边______，连结这个角的顶点和与对边交点的______叫做三角形的角平分线。 5.三角形三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的______相等。 （二）强化训练 一．选择题 1．如图，已知AC平分∠PAQ，D、E、F分别是AP、AC、AQ上的三个动点，下列说法不正确的是（　　） A．DE⊥AP，EF⊥AQ，可推出AD＝AF B．若DE＝EF，可推出AD＝AF C．若∠DEA＝∠FEA，可推出AD＝AF D．若∠ADE＝∠AFE，可推出AD＝AF 2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．下列结论中正确的有（　　） （1）ED＝EC；（2）OD＝OC；（3）∠ECD＝∠EDC；（4）EO平分∠DEC；（5）OE⊥CD；（6）直线OE是线段CD的垂直平分线． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 4.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有（　　） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④ 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC．若CD＝3，则AD等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm 8．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（　　）cm． A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05 9.要想富,先修路.道路通,百业兴.古往今来,人们一直很重视修建道路.因为只有交通便利,货物才能流通,商业才能发达.如图,三条公路两两相交,现计划在△ABC内部安装一个探照灯,要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,则探照灯的位置是△ABC　　　　的交点.(　　)  A.三条角平分线　　　B.三条中线 C.三边上高的交点　　D.三边垂直平分线　 10．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 二．填空题 11．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是=_________. 12.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=_______. 13.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.若AC=2,DE=1,则S△ACD=　　.  14．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是________. 15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=6，则AB长是______. 16．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON； （2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP． 则射线OP为∠AOB的平分线．请写出小林的画法的依据___________． 17．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有______处． 18．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_______． 19．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则AF＝　 　． 20．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是 　 　． 三．解答题 21．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC． （1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC． 22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC=54°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 23．AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20． （1）如图1，若AB＝AC，求AC的长； （2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长． 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F． （1）求证：BF平分∠DBC； （2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数． 25．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点． （1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数． （2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数． （3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB． 26．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α． （1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数． （2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC． （3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC． 学科网（北京）股份有限公司 $