微专题：线线角、线面角、二面角和点面、线面、面面距离（9题型）期末专项训练2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

微专题： 线线角、线面角、二面角和点面、线面、面面距离 一、题型一异面直线所成角 1．在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 2．在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出异面直线所成角，解三角形求得正确答案. 【详解】由于 分别是 中点，所以 ， 可得是异面直线 与 所成角（或其补角）， 设正四面体的边长为，则， ， 所以. 3．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，， 所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，， . 4．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何关系转化异面直线和所成的角为，再根据三角形性质求解角大小. 【详解】如图所示，取底面圆心（即中点），连接. 因为是中点，是中点，所以是的中位线，得. 因此异面直线和所成的角，等于与所成的角. 圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为. 因为是弧的中点，所以， 由面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，因此，是直角三角形，直角在点. 设底面圆半径为，则，直径. 因为轴截面是等边三角形，所以， 由中位线性质得， 在中，，因此 ，得 ， 即异面直线和所成角为. 5．三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 6．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，利用求出进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知即为异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求解即可. 【详解】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，    因为底面边长为4，所以， 易知球心在线段上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 故选：A 7．如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A 8．已知在直三棱柱中，，，，点为棱靠近点的三等分点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的概念构造异面直线所成的角，再利用余弦定理求角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，则，所以即为异面直线与所成的角. 在中，，，. 所以. 9．如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可. 【详解】如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 故答案为： 10．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为_____________． 【答案】 【分析】将平面展开图复原为如图所示的正方体后结合正方体的性质可得与所成的角即为或其补角，故可求线线角的大小. 【详解】将平面展开图复原为如图所示的正方体： 设正方体的棱长为，连接，则， 由正方体的性质可得，故四边形为平行四边形， 故，故与所成的角即为或其补角，而， 故与所成的角为， 故答案为：. 二、题型二由线线角求其他 11．已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 【答案】A 【分析】由旋转对应角相等，以及极限思想可知，要想只需要证明.设由正弦定理求出.由，得到的取值范围. 【详解】设翻折前的记为，，，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线与垂直，只需保证， ，由极限位置知，只需保证即可． 在中，，，，则， 由正弦定理知，，则，其中； 因为为线段上的一动点，则， 故选：A． 12．已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 【答案】A 【分析】根据条件先将直线平移得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案. 【详解】分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为， 所以，当直线经过点且直线在直线所在平面内，垂直于直线时， 直线与直线所成角相等，为时，成角为，即； 当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等， 且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有三条， 所以，解得. 所以过空间定点与、成角的直线共有3条时，. 13．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【分析】由题意作图，利用分类讨论，根据线面垂直判定以及线线角定义，结合余弦定理与勾股定理，可得答案. 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 14．如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 15．已知a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，下列结论正确的是（    ） A．当直线与a成角时，与b成角 B．当直线与a成角时，与b成角 C．直线与a成时，与a所成角也为 D．直线与a所成角的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据直线两两垂直，画出正方体，并建系.推理得到点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，设点，，利用空间向量夹角坐标公式表示出线线夹角的余弦值，逐一分析判断即得. 【详解】由题意，直线两两垂直，故可画出正方体如图. 设正方体棱长为1，则，斜边以直线为旋转轴， 则点保持不变，点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，直线的单位方向向量为，则， 直线的单位方向向量为，则. 设点在运动过程中对应的点，其中为与的夹角，， 则，则，设与所成的角为， 则，故得，故D正确； 设与所成的角为，则， 当与所称的夹角为时，，则， 则，于是，，因，故， 即与所称的夹角为，故A正确，B错误； 对于D，直线与a成时，点可与点重合，此时，因直线平面， 平面，则，即与a所成角也为，故C正确. 故选：ACD. 16．如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【分析】取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 17．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 18．在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【答案】 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 19．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 【答案】2 【分析】连接，可得是异面直线与所成的角，设三棱柱的高为，在中利用等腰三角形的性质列方程可求出. 【详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 20．若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 【答案】4 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，如图，    当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故答案为：4 三、题型三线面角的计算 21．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为圆锥底面直径,且，则是圆锥底面的圆心. 是圆锥的高，即圆锥底面，因此在底面的射影为， 所以与圆锥底面所成角为. 由题设，且，则是等腰直角三角形， 可得，即与圆锥底面所成角为 22．如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，则 ， 为的中点，， 且，且， 四边形是平行四边形， ，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 则为直线与平面所成角， 设正方体的棱长为，， 是的中点，所以 ，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 故选项C正确. 23．正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面，可得即为直线与平面ABCD所成角，再进行分析即可确定正确答案. 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    24．如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（   ） A．面 B． C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为 【答案】ABC 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据正方体的几何性质可判断B；根据异面直线的定义可判断C；求出线面角可判断D. 【详解】对于A，因为，且，平面， 所以平面，故A正确；     对于B，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面， 且与无公共点，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，连接，因为平面， 所以为 与平面的夹角， 设正方体的棱长为2， 则， 可得，故D错误. 25．在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 【答案】 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与底面所成的角， 在中，，则， 即直线与底面所成角为. 26．三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【分析】由线面角的定义作出平面角，根据等体积法求出到平面的距离，再由正弦的定义求出正弦值. 【详解】过点作平面的垂线，垂足为，连接， 则与平面所成角为， 因为，侧面是底角为的等腰梯形， 所以等腰梯形的高， 因为， 因为，设点B到面的距离为， 根据，即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为. 27．如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)取的中点，连接. ∵在中，为的中点，为的中点， ∴是的中位线，∴， 又∵为的中点，∴， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面平面， ∴平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到为直线与平面所成的角，利用正弦定义即可求解. 【详解】（1）略 （2）连接，在直三棱柱中， ∵平面平面，∴， ∵，又是平面内的两条相交直线， ∴平面， 又平面，∴， 又∵在中，为的中点，∴， 又是平面内的两条相交直线， ∴平面. ∴是在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角. 在中，∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 所以直线与平面所成的角为. 28．将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明： 取棱的中点，连接， 因为，且是线段的中点，所以， 因为，且是线段的中点，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以． (2) 【分析】（1）取棱的中点，连接，先证明平面，再由线面垂直的定义即可得到； （2）设，直线与平面所成的角为，先得到，利用换元法设，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）略． （2）设， 在中，，， 则， 故， 作，垂足为，则， 由（1）知平面，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，即点到平面的距离为， 因为是棱的中点，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成的角为， 则， 设，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值是． 29．如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)连接，因为为正方形，，则为的中点， 同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 连接，在中，、分别为、的中点，所以， 在正方形中，， 在正方体中，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 又因为，所以平面. (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出，平面，即可证得平面； （3）设，并连接，由线面角的定义可得直线与平面所成的角为，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，并连接， 由（2）可知平面，所以直线与平面所成的角为， 设正方体的棱长为， 在中，， 同理可得，易知为的中点，所以， 所以， 易知为锐角，故， 所以直线与平面所成的角的大小为. 30．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 31．如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面上的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为． 32．如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分别计算底面正方形面积和侧面四个全等三角形的面积，求和即可； （2）利用线面平行的判定定理，通过三角形中位线及平行线分线段成比例定理证明和，进而利用面面平行的判定定理得证； （3）找出点在底面的投影，构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 在中，，所以， 又，即，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面, 因为，平面，所以平面平面． （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以，取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 四、题型四由线面角求值 33．已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据线面角的定义，作出线面角，再根据几何关系，求解点到平面的距离. 【详解】作于点，于点，则由，得， 且就是BC到平面α的距离，设， 连接、，则，，∴，， 在中，，， ∴，∴，即到平面的距离为. 34．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，求出正棱台的高，再由正棱台的体积公式，即可求解. 【详解】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，， 如图，设和的中心分别为，连接，，， 则平面，，， 作平面交平面于点， 则即为直线与平面所成的角， 由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形， 所以，又，所以， 则棱台的体积为. 35．已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合线面角的定义求出在平面内的射影长，再利用直角梯形的性质求解. 【详解】令于，于， 则，， 依题意，， 因此， 在直角梯形中，. 故选：D.    36．已知圆锥的高为1，且圆锥的母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆锥的结构特征求出其母线及底面圆半径，再利用圆锥侧面积公式计算得解. 【详解】由圆锥的母线与底面所成角为，其高为1，得该圆锥的母线长， 底面圆半径，所以圆锥的侧面积为. 故答案为： 37．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形   设，则，，， ，   ，即，解得，（舍）   所以，当时，与平面所成的角的正弦值为   38．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长； 【答案】(1)连接，交于点，连接， 因为，所以， 因为四边形是菱形， 所以，又，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据已知得、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）取中点，连接，，连接，根据线面垂直的判定及性质、正三角形的性质得平面，再由线面角的定义确定与底面所成角的平面角，结合其余弦值求相关线段长，即可得. 【详解】（1）略. （2） 取中点，连接， 因为，所以为正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 由平面，所以，所以，又，即， 设，连接，显然是正三角形的中心， 所以平面，且即为直线与平面所成的角． 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，则. 39．如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. (1)求证平面； (2)若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由题可证得四点共面，然后由面面平行性质得到线线平行，从而可求解 【详解】（1）证明：四点共面， 平面平面ABCD，平面平面，平面平面， 平面平面平面. （2）（i）证明：如图所示， 连接平面平面，， 又平面平面平面， 又平面平面. （ii）如图所示，在平面内作直线垂足为， 连接，设. 平面， 平面即为直线与平面所成角. 平面， 平面平面， ， 当时，直线与平面所成角的正弦值为. 五、题型五面面角 40．如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，取的中点，连接，．   ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 41．如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，可知平面与平面所成的角为，利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】直三棱柱，平面平面，平面平面，，平面，得平面， 平面，平面，所以， 由，，得， 直三棱柱的体积为，所以 又，可知平面与平面所成的角为， 因为，所以平面与平面所成的角为. 42．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，，进而可得即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中，，， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 43．在正四面体中，下列各角大于的有（    ） A．棱与棱的所成角 B．棱与棱的所成角 C．棱与平面的所成角 D．平面与平面的所成角 【答案】BD 【分析】由正四面体的性质直接将线线角，线面角及面面角找出来，借助余弦定理求所成角的余弦值，与比较可以得出正确答案. 【详解】选项A，正四面体，所以为正三角形，所以棱与棱的所成角为，，选项A错误； 选项B，作棱中点E，连接，，因为为正三角形，所以， 同理，，平面，， 所以平面，平面，所以， 所以棱与棱的所成角为，选项B正确； 选项C，由正四面体性质可知棱与平面的所成角与棱与平面的所成的角一样，且D在平面的投影在上， 所以棱与平面的所成角为， 设正四面体边长为，所以， ， 所以，选项C错误； 选项D，因为，，所以平面与平面的所成的角为， ， 所以，选项D正确. 44．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，若八面体的各棱长均为1，则下列结论正确的是（    ） A．四边形为菱形 B．八面体的体积为 C．直线与平面所成角的大小为45° D．二面角的正弦值是 【答案】ABC 【分析】利用正八面体的中心对称性，结合菱形判定、线面角定义、棱锥体积公式与二面角平面角的余弦定理，逐一验证各选项. 【详解】对于A：如图，连接交于点O，则点O为正方形的中心， 由对称性可知，， 所以四边形为平行四边形，又，故四边形为菱形，A正确； 对于B：该八面体的各棱长均为1，则其体积，B项正确； 对于C：由，，得， 在正方形中，，平面，平面， 又，所以平面， 所以即为直线与平面所成的角. 由该八面体的棱长为1，得， 所以，所以，，C项正确； 对于D：取的中点为N，连接，，因为各棱长均为1，则， 则即为二面角的平面角. 由该八面体的棱长为1，得，， 所以， 所以二面角的余弦值是，正弦值为，D错误. 45．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．    (1)求直线与平面所成角的正弦值． (2)若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点；（ⅱ）． 【分析】（1）根据线线垂直得到线面垂直，进一步得到面面垂直；根据面面垂直的性质和等边三角形的性质，确定平面，从而得到直线与平面所成的角；最后根据各边关系求得正弦值； （2）（ⅰ）根据，作平行四边形，求得，即可求得点所在的位置； （ⅱ）作平行线，通过线线平行得到面面平行，再根据面面平行的性质和等边三角形的性质，确定平面与平面所成锐二面角的平面角，最后根据各边的位置和数量关系求得正弦值. 【详解】（1），，，平面，平面. 平面，平面平面. 取的中点，连接，，如图1所示：   为等边三角形，. 平面平面，平面，平面. 则为直线与平面上的射影，为直线与平面所成的角. ，，； ，，； . ，即直线与平面所成角的正弦值为. （2）（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点，理由如下： 如图2，过点M作交于点N，连接.   ，； ，，，四点共面，则平面平面； 平面，. 四边形为平行四边形，则. ，，，，即. 为棱上靠近点P的三等分点满足题意. （ⅱ）过点M作交于点O，连接.由（ⅰ）得； 为等边三角形，则，. ，，，四边形是平行四边形，则. 平面，平面，平面. ，平面，平面，平面. ，平面平面. 过点A作于点H，过点H作交于点G，连接， 由（1）知平面，，平面. 平面，. ，，平面，平面. 平面，； ，，平面，平面， 平面，则； 为平面与平面所成锐二面角的平面角， 即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由平面，平面，得； ，，，，为等边三角形，, ，，，. 在中，，则. 在中，，得. 在中，. 在中，. 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为． 46．如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 【答案】(1)，，， 将沿折叠，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，； (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先说明二面角的平面角为，再利用余弦定理解即可. 【详解】（1）略 （2）∵平面，平面， ∴，， 二面角的平面角为， 由为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 47．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面. (2)证明：因为，所以， 又，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）利用二面角的定义先找出角，然后利用公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）平面，平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，则， 所以. 48．如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明：记的交点为，的交点为，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)证明：由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为，分别为的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. (3). 【分析】（1）记的交点为，的交点为，连接，利用相似比证明，结合线面平行判定定理即可得证； （2）利用直线平行的传递性和勾股定理证明和，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证； （3）利用（2）判断两平面的夹角，然后利用余弦定理直接计算，再结合平方关系即可求得正弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，则， 又，， 所以， 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 【点睛】 49．已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 【答案】(1)连接，，则交于点P， 因为分别为，的中点，所以在中，， 因为平面， 平面，所以平面； (2) 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； （2）取中点，求证为二面角 的平面角，结合三角形即可求解. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接MC，， 因为是边长为2的正三角形，点是中点，所以， 在直三棱柱中平面ABC，平面，所以 ， 而 ， 平面，所以平面， 因为 平面，所以 ，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为是边长为2的正三角形，为正方形，所以， 在中，，所以. 所以二面角 的正弦值为． 六、题型六由面面角求值 50．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，设外接圆的圆心为，设三棱锥外接球的球心为，连接，，设，过点作的平行线，与的延长线交于点，连接，利用题中条件分别求得，,4，进而，，由，列式，解得，再根据球的表面积公式即可得答案． 【详解】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 51．如图，在三棱锥中，二面角的大小为，且，分别为的中点，则（    ） A．异面直线与所成角为. B．. C． D．三棱锥的体积为 【答案】ABD 【分析】取的中点，记为，则是二面角的平面角，所以.根据异面直线所成角的定义，是异面直线与所成的角.所以判断A正确；由线面垂直的判定定理，证明平面，从而判断B正确；由线面垂直的判定定理，结合勾股定理，求出，判断C；求出三棱锥的体积，即可得三棱锥的体积，判断D. 【详解】取的中点，记为，连接，则∥，∥，所以是异面直线与成的角. 因为，所以. 所以是二面角的平面角，所以.所以A正确. 由平面，得平面. 因为平面，所以，所以B正确. 因为，所以，所以是正三角形. 取的中点，连接，则，且. 平面，所以平面. 取的中点，连接，则三点共线，且. 中，，所以 所以. 所以，所以C错误； 三棱锥的体积. 所以D正确. 故选：ABD. 52．已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为____________，此时直线与平面所成的角为____________． 【答案】 / 【分析】分别作，，连接PC，，，连接BD，再利用勾股定理得到PQ的值，放缩后并验证最小值成立的条件即可，且根据此时空间的位置关系可直接得到直线与平面所成角的大小． 【详解】如图，分别作，，连接PC，，，连接BD， 则，因为，所以， 当点与点重合时，取最小值，又此时成立， 所以、两点之间距离的最小值是， 由于此时点与点重合，且，也即，所以PQ与平面所成的角为． 故答案为：；． 53．已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________． 【答案】 /0.75 【分析】空1：作出空间图形，找到异面直线夹角或其补角，结合题意和余弦定理先求出即可；空2：作出二面角的平面角，利用余弦定理即可求解. 【详解】如下图，过点作，连接， 结合题意可知为的中点，且， 所以即为二面角的平面角，由题意可知，. 因为，，所以，， 所以，且，进而得到， 因为，则异面直线与所成角即为或其补角， 在中，由余弦定理可得， 则异面直线与所成角的余弦值是； 取的中点，连接，因为，， 所以，，则即为所求二面角的平面角， 在中，因为，， 所以，同理， 在中，由余弦定理可得， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是作出二面角所表示的平面角，再结合勾股定理和余弦定理即可. 54．如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】取中点为，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角的定义可知：或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【详解】连接，，，取中点，连接，， ∵四边形，为矩形，∴，， 平面平面，平面，平面， ∴即为二面角的平面角，∴， 又，，∴，∴为等边三角形，∴； ∵，分别为，中点，∴，， ∴（或其补角）即为异面直线与所成角， ∵，∴， ∴， 所以异面直线与所成角的正弦值为． 故答案为：． 55．已知平面与所成的二面角为为外一定点，过点的一条直线与､所成的角都是，则这样的直线有且仅有__________条. 【答案】2 【分析】过点作平面垂直于平面的交线，并且交直线于点,连接,则，过点在平面内作的平分线，以为轴在的角平分面内转动，根据题意可得出有两条直线满足题意；以为轴在平面内前后转动，根据题意可得出有两条直线满足题意，综合可得结果. 【详解】解：首先给出下面两个结论： ①两条平行线与同一个平面所成的角相等； ②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于角平分面. （1）如图1，过二面角内任一点作棱的垂面，交棱于点，        与两半平面交于， 因为平面，平面，所以， 则为二面角的平面角，则， 设为的平分线，则， 与平面所成的角都是，此时过点且与平行的直线符合要求， 当以为轴心，在二面角的平分面上转动时，与两平面的夹角会变小， 会对称地出现两条符合成的情形； （2）如图2，设为的补角的平分线，            则，与平面所成的角都是， 当以为轴心，在二面角的平分面上转动时， 与两平面夹角变小 ，对称地在图2中的两侧会出现的情形，有两条， 此时，过点且与平行的直线符合要求，有两条. 综上所述，符合条件的直线有2条. 故答案为：2. 56．如图，在四棱锥中，，，，平面 ，．    (1)求证：； (2)若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面 所成角的大小； （ii）求 的长． 【答案】(1)因为平面 ，平面 ，所以， 又因为，，，所以, 所以,所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）通过证明平面来证得. （2）（i）先判断为直线与平面 所成角的平面角，进而计算出线面角的大小. （ii）作出二面角的平面角，由此列方程求得的长. 【详解】（1）略 （2）（i）因为平面 ， 由线面角的定义知，为直线与平面 所成角的平面角． 又因为，故线面所成角的大小为； （ii）因为平面 ，平面 ， 所以，又，平面，所以平面． 过 作垂线，垂足为 ， 又，平面，所以平面． 过 作垂线，垂足为 ，则为二面角的平面角． 故， 因为，所以，故， 所以，又，， 解得．    57．如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面． （2）取中点，连接，证得平面，得到，进而证得平面，得到，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 58．如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理、平行直线等知识来证得. （2）作出二面角的平面角，求得，解直角三角形求得. 【详解】（1）由于，平面，平面平面，所以， 由于，平面，平面平面，所以， 所以. （2）折叠前，四边形是平行四边形，，所以， 折叠后， 过作，则四边形是矩形，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 由于平面，所以平面， 而，所以平面， 由于平面，所以，， 所以. 七、题型七点面距离 59．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 60．在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【分析】取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可． 【详解】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 61．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)因为点C在底面圆周上，是圆O的直径， 所以，即，     因为垂直于圆O所在的平面，平面，所以，     又，平面，平面，所以平面，     又平面，所以． (2) 【分析】（1）根据题意可得出，，利用线面垂直的判定定理得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）方法一：过点A作，交于点H，通过证明平面得的长度即是点A到平面的距离，进而可求解；方法二：利用等积法，根据求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，过点A作，交于点H， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，平面，平面，所以平面， 则的长度即是点A到平面的距离．     在中，，     由，即， 解得，即点A到平面的距离为．     方法二：由题可得．     设点A到平面的距离为h， 由题意知，即，     即，解得， 即点A到平面的距离为． 62．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 63．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 64．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 八、题型八线面距离 65．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，证明平面及平面，求出点到平面的距离即可. 【详解】连接交于点E，    由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 故选：C 66．直四棱柱的所有棱长均为2，，则直线到平面的距离为_____________． 【答案】 【分析】作图，连接底面对角线，交点为.由直四棱柱得到侧棱垂直底面，从而得到线线垂直.由所有棱长均为2得到底面为菱形，从而得到对角线垂直，从而证明线面垂直.然后就可以得到直线到平面的距离对应的线段.在等边三角形中求得对应线段长即可. 【详解】如图，连接相交与点， 在直四棱柱中，平面，平面， ∴， 同理， ∵直四棱柱的所有棱长均为2， ∴四边形是菱形， ∴，平面，平面，， ∴平面， ∴为直线到平面的距离， 在中，，，为中点， ∴，∴， 故答案为：. 67．某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 68．已知正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为________. 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可. 【详解】连结，与交点为，    因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又，平面，则平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为： 69．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 九、题型九面面距离 70．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 71．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 【答案】ABC 【分析】分别由平面、平面和平面、平面平面即可分析求解判断ABC；设点到平面的距离等于d，由即可求解判断D. 【详解】由正方体结构性质可知平面，所以点到平面的距离等于1，A正确； 由正方体结构性质可知，在平面外，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离等于点C到平面的距离， 又由正方体结构性质可知平面，所以直线到平面的距离为，B正确； 由正方体结构性质可知平面平面，平面且平面， 所以平面到平面的距离等于，C正确； 设点到平面的距离等于d，由题意可得， 所以，又， 所以由得，D错误. 故选：ABC 72．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【分析】不妨记正方体为，设对角线分别交平面和平面于点，，可推出即为平面与平面的距离，结合等体积法求得，结合对称性求得即可． 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 73．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 【答案】/ 【分析】由题意画出图形，可得平面，平面，求出正方体的体对角线长，再由等体积法求得，则平面与平面间的距离可求． 【详解】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，    有且，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则有平面， 同理平面， ，平面，平面平面， 连接， ，，，平面，平面， 又平面，，同理可证得：， 又平面，， 平面，平面， 设垂足分别为，则平面与平面间的距离为. 正方体的体对角线长为. 在三棱锥中，，易知， 则由等体积法求得：， ∴平面与平面间的距离为：. 故答案为：. 74．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 75．如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理，需证明BF、BC均平行于平面AEG即可； （2）利用等体积法，令，即可求出距离． 【详解】（1）∵，是的中点，，即， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面， ∵直角梯形与梯形全等，，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； （2）设点到平面的距离为， 平面，平面，故, 知， 由于直角梯形与梯形全等，故， 由，得， 即， ∵平面平面，∴平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 故平面与平面间的距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题： 线线角、线面角、二面角和点面、线面、面面距离 一、题型一异面直线所成角 1．在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 3．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 7．如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 8．已知在直三棱柱中，，，，点为棱靠近点的三等分点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 9．如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 10．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为_____________． 二、题型二由线线角求其他 11．已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 12．已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 13．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 14．如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 15．已知a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，下列结论正确的是（    ） A．当直线与a成角时，与b成角 B．当直线与a成角时，与b成角 C．直线与a成时，与a所成角也为 D．直线与a所成角的最小值为 16．如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 17．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 18．在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 19．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 20．若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 三、题型三线面角的计算 21．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 23．正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 24．如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（   ） A．面 B． C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为 25．在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 26．三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 27．如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 28．将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 29．如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 30．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 31．如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 32．如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 四、题型四由线面角求值 33．已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 34．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 35．已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 36．已知圆锥的高为1，且圆锥的母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为_________． 37．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 38．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长； 39．如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. (1)求证平面； (2)若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 五、题型五面面角 40．如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 41．如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 42．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 43．在正四面体中，下列各角大于的有（    ） A．棱与棱的所成角 B．棱与棱的所成角 C．棱与平面的所成角 D．平面与平面的所成角 44．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，若八面体的各棱长均为1，则下列结论正确的是（    ） A．四边形为菱形 B．八面体的体积为 C．直线与平面所成角的大小为45° D．二面角的正弦值是 45．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．    (1)求直线与平面所成角的正弦值． (2)若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 46．如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 47．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 48．如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 49．已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 六、题型六由面面角求值 50．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 51．如图，在三棱锥中，二面角的大小为，且，分别为的中点，则（    ） A．异面直线与所成角为. B．. C． D．三棱锥的体积为 52．已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为____________，此时直线与平面所成的角为____________． 53．已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________． 54．如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为______． 55．已知平面与所成的二面角为为外一定点，过点的一条直线与､所成的角都是，则这样的直线有且仅有__________条. 56．如图，在四棱锥中，，，，平面 ，．    (1)求证：； (2)若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面 所成角的大小； （ii）求 的长． 57．如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 58．如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 七、题型七点面距离 59．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 60．在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 61．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． 62．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 63．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 64．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 八、题型八线面距离 65．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 66．直四棱柱的所有棱长均为2，，则直线到平面的距离为_____________． 67．某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 68．已知正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为________. 69．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 九、题型九面面距离 70．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 71．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 72．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 73．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 74．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 75．如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $