第六章 平面向量及其应用期末限时小卷（二）2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量核心概念与运算，通过基础到综合的题型设计，系统考查共线、垂直、数量积等知识，培养运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4|共线条件、垂直坐标运算|从向量坐标表示到共线/垂直充要条件的直接应用| |多选题|2|向量性质综合判断|整合模长、数量积、投影等概念的关联性考查| |填空题|2|单位向量数量积、夹角余弦值|数量积公式的变形应用与夹角计算的逻辑推导| |解答题|2|参数求值与最值问题|结合向量运算构建函数模型，体现应用意识|

2025-2026学年高一数学下学期培优提升限时小卷（二） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章 平面向量及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设向量，，若，，三点共线，则  (     ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则实数等于  (     ) A. B. C. D. 3.已知平面向量，，若，则实数的值为(     ) A. B. C. D. 4.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设向量，，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. 与垂直 D. 6.已知平面向量，，则下列说法正确的是(     ) A. ， B. 在上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为 D. 若向量与共线，则实数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，是单位向量若，则           ． 8.已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分已知，，． 若，求实数的值求的最小值． 10.本小题分已知向量，，且． 求及；若的最小值是，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期培优提升限时小卷（二） 全 解 全 析 （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章 平面向量及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设向量，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D  【解析】，，三点共线， 又，， ，解得． 2.已知向量，，若，则实数等于  (     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】因为，， 所以 又，， 所以， 解得． 3.已知平面向量，，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， ， 又，且， ， 解得：故选：． 4.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】构图法令，，，，且． 方法一：定边定角圆因为，则，则点的轨迹是以为直径的圆，如图，所以的最大值为圆的直径所以故选C． 方法二：数量积圆，配方，则，则点的轨迹是以的中点为圆心，为半径的圆即以为直径的圆，所以的最大值为圆的直径，即故选C． 方法三：数量积圆极化恒等式如图，取的中点，，即，下略． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设向量，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 与垂直 D. 【答案】BC  【解析】，，故 A不正确； ， ，故 B正确； ， ，故 C正确； ， ， ，故 D不正确． 6.已知平面向量，，则下列说法正确的是(    ) A. ， B. 在上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为 D. 若向量与共线，则实数 【答案】AD  【解析】由题意知，， ． 对于，，故A正确 对于，在上的投影向量为，故B错误 对于，设与垂直的单位向量的坐标为， 可得解得或 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误 对于，因为向量与共线， 所以存在，使得， 则解得故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，是单位向量若，则          ． 【答案】  【解析】且， ， 即， ， ． 故答案为． 8.已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为          ． 【答案】  【解析】根据题意，得，， ， 则， ，． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，． 若，求实数的值 求的最小值． 【答案】解：已知． 又， 则， 即， 即，即； 因为， 所以．  10.本小题分 已知向量，，且． 求及； 若的最小值是，求的值． 【答案】解  ，       ，  因为，所以，  所以． (2) 由，可得  ，  即    因为，所以  当时，当且仅当时，  取得最小值，这与已知矛盾；  当时，当且仅当时，取得最小值，  由已知得，  解得；  当时，当且仅当时，取得最小值，  由已知得， 解得，这与相矛盾．  综上所述，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期培优提升限时小卷（二） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章 平面向量及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设向量，，若，，三点共线，则  (     ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则实数等于  (     ) A. B. C. D. 3.已知平面向量，，若，则实数的值为(     ) A. B. C. D. 4.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设向量，，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. 与垂直 D. 6.已知平面向量，，则下列说法正确的是(     ) A. ， B. 在上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为 D. 若向量与共线，则实数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，是单位向量若，则           ． 8.已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，． 若，求实数的值 求的最小值． 10.本小题分 已知向量，，且． 求及； 若的最小值是，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $