2025-2026学年人教版八年级数学下册期末专项复习（中等解答题1）针对广东地区19-21题

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识，以中等解答题为载体，整合统计、几何、函数等模块，强化知识应用与逻辑推理，培养数据意识与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数据的收集与整理|4题|图表分析、样本估计总体|从数据收集到描述分析，体现统计全过程| |三角形|4题|证明与计算、勾股定理应用|三角形性质到全等、特殊三角形判定| |一次函数|8题|图象信息、实际应用|函数概念到解析式、性质及综合运用| |函数基础知识|1题|函数图象与路程差分析|函数与实际情境的关联| |数据分析|3题|平均数、众数、中位数计算|数据表征到统计量应用| |四边形|4题|平行四边形、菱形性质与判定|四边形定义到特殊四边形的推理| |相交线与平行线|2题|平行线性质、折叠问题|基本图形性质到综合证明| |平移|1题|平移性质与菱形判定|图形变换与几何性质结合| |分式方程|1题|经济问题应用|方程建模解决实际问题|

2026人教版八年级下册期末专项复习（中等解答题1）针对19-21题 考察范围（八年级下册）共30题 一、数据的收集与整理 1．（25-26八年级下·广东·期末）支付宝、微信、现金、其他移动支付（每人只选一项），形成如下调查报告： 课题主题 “移动支付方便你我他”﹣移动支付在人们生活中的作用 活动目标 了解移动支付的使用情况和发展前景，增强社会责任意识，科技创新意识 调查方式 抽样调查 数据的收集、整理与描述 手机支付是中国移动面向用户提供的一项综合性移动支付服务，可使用支付账户完成生活消费、缴话费、网上购物、水电燃气账单支付等远程消费． 移动支付的调查问卷 您好！这是一份关于移动支付方式的问卷调查，请选择一项您最常使用的方式（只选一项），在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！ 移动支付方式 A．支付宝支付 B．微信支付 C．现金支付 D．其他移动支付           调查结果 … 任务二：解决问题 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)这次调查的样本容量是 ；并补全条形统计图； (2)根据条形统计图可得，该社区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为100、90、20、15，这四个数据的中位数是 ； (3)该社区中岁的居民约6000人，估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）为了解小学生生长发育情况，某校从三年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：．；．；．；．） 被抽取的三年级的女生身高数据是： 125，127，128，132，135，136，137，138，138，139 140，141，142，142，142，143，144，145，150，156 被抽取的三年级的男生身高在组的数据是： 130，132，134，135，135，136，138，139，139 三年级被抽取学生的身高统计表 平均数 众数 中位数 女生 139 男生 139 140 (1)直接写出上述表中________，________，________； (2)根据以上信息，分析三年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可） (3)若该校三年级女生有600人，男生有800人，请估计该校三年级身高不低于 的学生共有多少人？ 3．（24-25八年级下·广东惠州·期末）这三年来，全国上下众志成城，共同抗疫，口罩成为人们防护防疫的必备武器，珠海某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图，请据相关信息，解答下列问题： (1)图①中的m值为 ； (2)统计的这些数据的中位数为 元，众数为 元； (3)根据样本数据，估计这3000枚罩中，价格为1.8元的口罩有多少枚？ 4．（24-25八年级下·广东东莞·期末）为了落实“双减”政策，丰富学生的课后延时服务活动，某中学开设了A：足球、B：篮球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动．为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了多少名学生？ (2)请通过计算补全条形统计图； (3)若全校共有学生3000名，请你估计全校喜欢篮球的学生有多少名？ 二、三角形 5．（25-26八年级下·广东·期末）某数学兴趣小组开展测量旗杆高度的实践活动，得到以下测量素材（旗杆，绳子粗细忽略不计）： 【素材一】如图1，旗杆上的绳子垂到地面，并多出了2米； 【素材二】如图2，把绳子拉开拉直，让绳子下端刚好固定在地面点处，此时，旗杆底部点与点距离为6米． (1)请你根据测量素材一和素材二，计算旗杆AB的高度； (2)如图3，若小明举高手拉直绳子，此时绳子下端位置点到地面的距离为2米，这时小明距离旗杆多远？ 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 8．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，． (1)判断的形状； (2)求证：平分． 三、一次函数 9．（25-26八年级下·广东·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发后出发，后将速度提高到原来的倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为 ．，与x之间的函数图象如图所示． (1)求慧慧提速后的速度； (2)求图中的与的值． 10．（25-26八年级下·广东·期末）如图，正比函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴负半轴交于点，且． (1)求这两个函数的解析式； (2)求线段的长度； (3)求的面积． 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 12．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，三个顶点坐标分别为．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)在x轴上有一点P，使得最小，求P点坐标． 13．（24-25八年级下·广东汕头·期末）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 14．（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)平移直线使其与x轴相交于点P，且，求平移后直线的解析式． 15．（24-25八年级下·广东惠州·期末）疫情过后，地摊经济迅速兴起．小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示． （1）求降价后销售额（元）与销售量（千克）之间的函数表达式； （2）当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？ 16．（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下： 实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力 较缓 较陡 最陡 (1)根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）． (2)求拉力与高度之间的函数解析式； (3)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 17．（24-25八年级下·广东东莞·期末）市和市分别库存某种机器台和台，现决定支援给市台和市台已知从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元；从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元． (1)设市运往市机器台，求总运费关于的函数关系式； (2)若要求总运费不超过元，共有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 18．（24-25八年级下·广东珠海·期末）跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为65元；甲种跳绳每根获利3元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳30根、乙种跳绳15根，一共花费1200元． (1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？ (2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共80根，在费用不超过2250元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 四、函数基础知识 19．（25-26八年级下·广东·期末）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h； (2)对比图①、图②可知______，______； (3)乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 五、数据分析 20．（25-26八年级下·广东·期末）某校举办弘扬中华传统知识演讲比赛，八（1）班计划从甲、乙两位同学中选出一位参加学校的决赛，已知这两位同学在预赛中各项成绩如表图： 项目 甲的成绩（分） 乙的成绩（分） 演讲内容 95 90 语言表达 90 85 形象风度 85 b 现场效果 90 95 平均分 a 90 (1)表中a的值为_________；b的值为_________． (2)把图中的统计图补充完整； (3)若演讲内容、语言表达、形象风度、现场效果四项得分按30%、50%、10%、10%的权重比例计算两人的最终得分，并选择最终得分较高的同学作为代表参赛，那么谁将代表八（1）班参赛?请说明理由． 21．（24-25八年级下·广东湛江·期末）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生有______人，图①中的值是______； (2)本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元； (3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数． 22．（24-25八年级下·广东珠海·期末）科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 88 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_____，_____，_____； (2)在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 六、四边形 23．（25-26八年级下·广东广州·期末）综合与实践 手工课上，同学们用平行四边形纸片进行创意剪纸创作，结合设计需求完成以下操作、证明与计算： (1)【动手操作】作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F，交于点．要求：请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)【推理证明】连接，，证明：四边形是菱形； (3)【实践应用】将剪出的菱形制作成书签，如果菱形的边长为，，求这个书签的面积（结果保留根号）． 24．（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图，是平行四边形的对角线，．    （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 25．（24-25八年级下·广东东莞·期末）如图，菱形中，为对角线，点E、F是直线上的不同的两个点，且． (1)试判断四边形的形状，并加以证明； (2)若，菱形的边长为5，，试求菱形的面积． 26．（24-25八年级下·广东珠海·期末）在中，对角线与相交点O，过点O分别作和的垂线，垂足分别为H，M． (1)如图1，当时，求证：平行四边形是菱形； (2)如图2，当时，若，求的值． 七、相交线与平行线 27．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【综合实践】 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动． 【操作探究】 操作探究一 动手操作： 步骤1：如图1，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点，连接，，． (1)问题探究一：若点D，E，F在同一条直线上，连接，则的度数为________． 操作探究二 动手操作： 步骤1：如图2，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着直线折叠纸片，点的对应点落在长方形纸片内，连接，，． (2)问题探究二：判断与的位置关系，并说明理由． 28．（24-25八年级下·广东河源·期末）已知：如图，在中，点分别在上，． (1)请判断的位置关系，并说明理由； (2)求证：． 八、平移 29．（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知：如图，在□中，是边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．    (1)求证：； (2)若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论． 九、分式方程 30．（24-25八年级下·广东河源·期末）苹果寓意“平平安安”．春节里，“开心水果店”第一次用800元购进一批糖心苹果，很快售完．该店立即又用1920元第二次购进同样品种的糖心苹果，已知第二次购进数量是第一次购进数量的3倍，且第二次的进货价比第一次的进货价每千克少了1元． (1)求第一次所购进的苹果每千克多少元？ (2)店主在销售第一批苹果时，每千克的售价为8元，发现第一次购进的苹果有的损耗，但其他全部售完，售完之后购进第二批苹果．第二批苹果在购进后到售完的过程中，发现有的损耗，每千克售价比第一批的售价贵1元．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元，求y的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026人教版八年级下册期末专项复习（中等解答题1）针对19-21题》参考答案 1．(1)400，图见解析 (2)55 (3)2400人 【难度】0.85 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、总体、个体、样本、样本容量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了样本容量，画条形统计图，中位数，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用微信支付的人数除以占比，得出这次调查的样本容量，再算出使用现金支付的人数，最后运算其中岁居民使用现金支付的人数，即可作答． （2）运用中位数的定义进行作答即可． （3）结合样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意知，这次调查的样本容量是， 使用现金支付的人数为（人）， ∴其中岁居民使用现金支付的人有（人）， 补图如下； 故答案为：400； （2）解：由题意知，区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为共100、90、20、15， 从小到大依次排序为15，20，90，100， ∴中位数为第2、3位数的平均数为， 故答案为：55； （3）解：（人）， 答：估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数约2400人． 2．(1)，，； (2)三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． (3)1230人． 【难度】0.62 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、由扇形统计图求某项的百分比、求众数 【分析】（1）根据众数，中位数，圆心角的计算求解即可； （2）根据中位数解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可； 【详解】（1）解：142出现的次数最多，3次，故众数， 根据题意，A组人数为：（人），B组人数为：9（人）， 中位数是第10个，第11个数据的平均数， 故中位数， 因为， 所以 故； （2）解：三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． （3）解：根据题意，得（人） 答：估计该校三年级学生身高不低于130cm的学生共有1230人． 3．(1)28 (2)1.5；1.8 (3)960枚 【难度】0.85 【知识点】用样本的频数估计总体的频数、由扇形统计图求某项的百分比、求中位数、求众数 【分析】（1）根据扇形统计图中各组成部分的百分比之和为1，可以求出； （2）根据中位数与众数的定义即可； （3）用1.8元对应的分率乘以总数3000即可求出． 【详解】（1）解：m%＝1－32%－8%－10%－22%＝28% 故m＝28 （2）调查的样本数有：5＋11＋14＋16＋4＝50（个） 中位数为第25、26个数，在1.5元单价内，故中位数为1.5， 单价为1.8元的数量最多，故众数为1.8， 故答案是：1.5，1.8； （3）3000960（枚） 答：估计这3000枚罩中，价格为1.8元的口罩有960枚 【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、众数的相关内容，注意从图中获取信息，分析图中数据之间的数量关系是解题的关键． 4．(1)200名 (2)见详解 (3)1050名 【难度】0.65 【知识点】画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据喜欢的人数和所占的百分比求出调查的总人数； （2）用总人数乘以所占的百分比求出喜欢的人数，从而补全统计图； （3）用总人数乘样本中喜欢篮球的学生所占比例可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，(名)， 答：这次调查中，一共调查了200名学生； （2）解：(名)， 补全条形统计图如下： （3）解：(名)， 答：若全校共有学生3000名，估计全校喜欢篮球的大约有1050名学生． 5．(1)8米 (2)8米 【难度】0.65 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查的是勾股定理的应用；矩形的判定与性质； （1）设旗杆高度为米，则绳子长为米，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）如图，过点作于点．证明四边形为矩形．可得．再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：依题意，设旗杆高度为米，则绳子长为米． 在Rt中，， 即． ． 答：旗杆的高度为8米． （2）解：如图，过点作于点． ． ， 四边形为矩形． ． ． 又， 在中，． ． 答：小明距离旗杆8米． 6．(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴． 7． （1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是线段AD的中点， ∴AE=DE， ∵∠AEF=∠DEB， ∴（AAS）； （2）证明：∵， ∴AF=BD， ∵D是线段BC的中点， ∴BD=CD， ∴AF=CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB=AC， ∴， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCF为矩形． 【难度】0.65 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、证明四边形是矩形 【分析】（1）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，再根据线段中点的定义得到AE=DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AF=BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=90°，于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明与矩形证明，熟练掌握相关概念是解题关键. 8．(1)等边三角形； (2)见解析． 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定． （1）根据旋转的性质得到，，则根据等边三角形的判定方法可得到为等边三角形； （2）根据旋转的性质得到，，则可证明，加上，于是可判断垂直平分，然后根据等边三角形的性质得到平分． 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转， ∴，， ∴为等边三角形； （2）证明：∵绕点A逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴平分． 9．(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，函数图象，速度与时间的关系，从函数图象获取信息是解题关键． （1）由图像可得，慧慧走，用了，利用路程与时间关系，求出提速前的速度，从而得出提速后的速度． （2）在线段的过程中，利用路程与速度关系，即可得出慧慧所用的时间，从而得出的值，结合图像可得聪聪行走到了，用了，利用路程与时间关系，即可得出慧慧的速度，从而得出慧慧行走用的时间，即可求出． 【详解】（1）解：由图像可得，慧慧从走到了时，总共用了， 故提速前的速度为， ∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍， ∴慧慧提速后的速度为， （2）解：由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了， 由（1）可得慧慧在线段的过程中的速度为， ∴慧慧在线段的过程中所用的时间为， ∴的值为， 结合图像可得点坐标为， 即聪聪从处行走到了时，用了， ∴慧慧的速度为， ∴慧慧行走用的时间为， 即， 故，． 10．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查一次函数图形与性质，勾股定理，几何图形面积的计算，掌握一次函数与几何图形的综合是解题的关键． （1）把点代入正比例函数可得正比例函数解析式，运用勾股定理可得，可得，运用待定系数法可得一次函数解析式； （2）运用勾股定理即可求解； （3）数形结合，根据三角形面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴代入正比例函数得，， 解得，， ∴正比例函数解析式为：， ∴， ∵， ∴，即， 把点代入一次函数解析式得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为：； （2）解：根据题意，， ∴的长度为：； （3）解：根据图示可得，． 11．(1) (2)， (3)或 【难度】0.53 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】（1）根据图象可知时，的图象在的图象的下方，且的图象在x轴的上方得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． （3）解：∵， ∴． 设， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得或． ∴或 12．(1)为直角三角形，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）先分别用勾股定理求得求出，再运用勾股定理的逆定理即可解答； （2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，然后运用待定系数法求得直线，然后令即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： 由题可知：，，， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：如图：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则    设所在直线解析式为，则，解得：， ∴， 当时，有，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理、轴对称的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 13．(1)；，且x为正整数； (2)购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； (3)100 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； （2）解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 14．(1) (2)平移后直线的解析式为或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，解答（2）题时，注意点的坐标有两个符合题意． （1）分别令、求得相应的、的值即可． （2）根据题意求得点的坐标，然后利用待定系数法确定函数关系式． 【详解】（1）解：在中， 当时， 当时， ； （2）解：∵， ， ， ∴点的坐标是或． 设平移后的直线为：． 将代入，得． ， 将代入，得． ， 综上所述，平移后直线的解析式为或． 15．（1）；（2）180千克 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式； （2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元． 【详解】解：（1）设降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式是， 段过点，， ， 解得，， 即降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式是； （2）设当销售量为千克时，小李销售此种水果的利润为150元， ， 解得，， 答：当销售量为180千克时，小李销售此种水果的利润为150元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 16．(1)一次函数，费力 (2)与的函数解析式为 (3)装置高度h的取值范围为 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、识别一次函数、求一次函数解析式 【分析】（）根据表格数据即可判断求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）根据题意可得，即得，解不等式即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意，判断出于的函数关系并求出它们的函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可知，当斜面高度由增加到时，拉力增加了， 当斜面高度由增加到时，拉力增加了， ∴拉力是高度的一次函数， 由表格可知，斜坡越陡，越费力， 故答案为：一次，费力； （2）解：设，把和代入得， ， 解得， ∴； （3）解：∵弹簧测力计的最大量程是， ∴， ∴， 解得， 又∵斜面的初始高度为， ∴装置高度的取值范围． 17．(1)（，且为整数） (2)种 (3)市运往市台，运往市台；市运往市台，运往市台．最低运费是元 【难度】0.65 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据A市运往D市机器数量，结合A、B两市库存及C、D两市需求，分别表示出A运往C、B运往C、B运往D的机器数量，再依据各自运费列出总运费关于的函数关系式，同时根据数量非负确定的取值范围； （2）利用（1）中总运费函数关系式，结合总运费不超过元的条件列不等式，结合的取值范围确定整数解，从而得调运方案数量； （3）根据一次函数性质（值正负判断增减性），结合的取值范围确定使总运费最低的值，进而得最低运费及调运方案． 【详解】（1）解：根据题意可知：市运往市机器台，市运往市机器台， ∴市运往市机器台， ∴总运费， 由题意得，且为整数， ∴，且为整数， ∴（，且为整数）； （2）解：由题意得， ∴． 又∵，且为整数， ∴，且为整数， ∴可取，，， ∴共有种调运方案； （3）解：∵，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是（元）． （台），（台），（台）， 此时的调运方案是： 市运往市台，运往市台；市运往市台，运往市台．最低运费是元． 18．(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和50元 (2)当购进甲种跳绳50根，购进乙种跳绳30根，利润最大 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式等知识． （1）设甲、乙两种跳绳的单价各是x元和y元，根据题意列出方程即可解决问题； （2）设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，列出函数关系式和不等式即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲、乙两种跳绳的单价分别是x元和y元，根据题意得， ， 解得：， 答：甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和50元； （2）解：设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，由题意得， ， ∵， ∴随a的增大而减小， ∵费用不超过1000元， ∴， 解得：， ∴当时，利润最大， ∴（根）， ∴当购进甲种跳绳50根，购进乙种跳绳30根，利润最大． 19．(1)25，10 (2)10，1.5 (3)或 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （3）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】（1）解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， 故答案为：25，10； （2）解：由图可得， ， ， 故答案为：10；1.5； （3）解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是由函数图象得到解题的信息． 20．(1)a＝90 ，b＝90 (2)见解析 (3)推荐甲同学，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】画条形统计图、求一组数据的平均数、求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】（1）根据平均数的计算方法求得a、b的值； （2）由（1）求得的结果补全统计图即可； （3）四项得分按30%、50%、10%、10%的权重比例计算两人的最终得分，比较结果即可． 【详解】（1）甲同学的成绩的平均分， 乙同学的成绩的平均分：，解得：； 故答案为：90，90． （2）由（1）求得乙同学的形象风度为90分，如图所示： ． （3）推荐甲同学，理由如下： 由题意得，甲同学的成绩：（分） 乙同学的成绩：（分） 故甲同学的成绩比乙同学好，应该选甲． 【点睛】本题考查的是统计表，条形统计图，平均数和加权平均数．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 21．(1)50，32 (2)10，15 (3)864人 【难度】0.65 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数 【分析】本题主要考查了抽样调查．熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，中位数，众数，样本容量的定义和确定，用样本估计总体，是解题的关键． （1）以5元组的4人占8%求出调查的总人数；（2）根据从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，得中位数为15元，10元组16人，人数最多，得众数为10元；（3）2400乘20元和30元总人数占比，即得． 【详解】（1）解：∵（人），， ∴本次接受随机调查的学生有50人，图①中的值是32． 故答案为：50，32． （2）∵10元组16人，人数最多， ∴众数为10元， ∵4元的4人，10元的16人，15元的12人，且，， ∴从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组， ∴中位数为15元． 故答案为：10，15． （3）（人）， 故该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人． 22．(1)15，88.5，96 (2)估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有78人 【难度】0.65 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 即， ∵A款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴中位数， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴众数； 故答案为：15，88.5，96； （2）解：（人）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有78人． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.62 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，，根据，得到，再证得到，于是可判断四边形是菱形； （3）先根据已知及菱形的性质得，，，再根据含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，即可得、的长，再根据菱形的面积等于求解． 【详解】（1）解：如图，对角线的垂直平分线，即为所求； （2）证明：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：∵菱形的边长为，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴这个书签的面积为：． 24．（1）证明：如图，在平行四边形中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC，进而证明是菱形即可； （2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，，OB=OD=BD，由勾股定理求出OB，得出BD，▱ABCD的面积=AC•BD，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，与交于    由（1）四边形，是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键． 25．(1)四边形是菱形，理由见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）连接，交于点O，结合菱形的性质和可得，问题随之得证； （2）根据，，可得，结合，可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解． 【详解】（1）四边形是菱形，理由如下： 连接，交于点O，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形； （2）如图， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，菱形的边长为5， ∴， ∴， ∴菱形的面积: ． 26．(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质． （1）根据角平分线的判定定理证得，根据平行线的性质得到，即可得到，得到，根据菱形的判定定理即可证得结论； （2）证明四边形是矩形得到，进而证得是等边三角形，，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 27．(1) (2)；理由如下： 设与交于点M， 根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【难度】0.45 【知识点】矩形与折叠问题、内错角相等两直线平行、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）根据，得出，根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可； （2）根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，得出，得出，最后根据平行线的判定得出结果即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，， 根据折叠可知：，， ∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 28．(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据平行四边形性质，结合平行线的判定与性质即可得到的位置关系； （2）由平行四边形性质得到，再由两个三角形全等的判定定理求证即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： 在中，， ， ， ． ； （2）证明：在中，， 在和中， ． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的判定与性质、两个三角形全等的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质、两个三角形全等的判定是解决问题的关键． 29．(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是菱形、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的基本性质以及菱形的判定，关键是掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等和平行四边形的性质以及菱形的判定定理． （1）根据平移的性质，可得：，再证明即可得到； （2）要使四边形是菱形，须使；根据条件找到满足的与满足的数量关系即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵是边上的高，且是由沿方向平移而成． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）当时，四边形是菱形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 30．(1)第一次所购进的苹果每千克5元 (2)y的最大值为15 【难度】0.65 【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克元，根据“第二次购进数量是第一次购进数量的3倍”列方程求解即可； （2）由题意得第一批苹果每千克进价5元，购进数量为千克，售价为每千克8元．第二批苹果每千克进价元，购进数量为千克，售价为每千克元．根据“该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元”列不等式求解即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出关于y的一元一次不等式． 【详解】（1）解：设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克元，根据题意，得 ， 解得， 经检验：是所列方程的解． 答：第一次所购进的苹果每千克5元． （2）解：知第一批苹果每千克进价5元，购进数量为千克，售价为每千克8元．第二批苹果每千克进价元，购进数量为千克，售价为每千克元．根据题意，得 ， 解得， ∴y的最大值为15． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $