广东深圳市2025-2026学年下学期八年级数学期末复习中档题专项训练

**基本信息** 聚焦深圳八下期末中档题，以几何变换、函数应用、代数运算为核心，通过"题型归类-方法提炼-逻辑串联"构建系统性训练体系，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|8题|旋转性质转化/中位线构造/平行四边形判定|从三角形旋转到四边形性质，形成"性质应用-判定推理-计算证明"逻辑链| |函数与不等式|4题|函数图象法解不等式/参数关系转化|以一次函数为载体，构建"图象特征-代数表达-解集确定"的数形结合体系| |代数运算|6题|分组分解法/分式化简技巧/和谐分式定义|遵循"因式分解-分式运算-方程求解"的递进关系，强化运算能力| |应用题|2题|分式方程建模/一次函数最值分析|体现"实际问题-数学抽象-模型求解"的应用意识，培养数据观念|

2026年深圳八下期末复习中档题专项训练 一．选择题（共6小题） 1．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转116°得到△AB′C′，若点B、C、B′、D在一条直线上，则∠AB′C′的度数为（　　） A．31° B．32° C．33° D．34° 2．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣4，0），正比例函数y＝mx（m≠0）的图象过点A，则不等式（k﹣m）x+b≥0的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣4≤x＜﹣2 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 4．综合实践课上，李海画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图①～图③是他的作图过程． 李海的作法中，可直接判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 5．如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点P（1，﹣1），则关于x的不等式kx+b≥﹣x的解集是（　　） A．x≥﹣1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≤﹣1 6．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（　　） A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关 C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关． 二．填空题（共6小题） 7．如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中∠BAC＝　 　 °． 8．如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF的大小是 　 　 度． 9．如图，P是▱ABCD内部的任意一点，连接AP，DP，BP，CP．若△PAB的面积为S1，△PCD的面积为S2，且S1+S2＝15，则▱ABCD的面积是 　 　 ． 10．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是 　 　 ． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是 　 　 ． 12．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＜3的解集为 　 　 ． 三．解答题（共12小题） 13．（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3． （2）解不等式组，并在数轴上表示出解集． 14．已知，如图，AD，BE分别是△ABC的BC和AC边上的中线，过C作CF∥AB，交BE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：四边形ABCF是平行四边形； （2）连接DE，若DE＝EC＝3，∠AFC＝45°，求线段BF的长． 15．（1）解不等式组： （2）先化简，再求值：（1），其中，． 16．（1）解不等式组：； （2）解分式方程：； （3）先化简，再求值：，其中． 17．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围； ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 18．化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 19．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　 　 +　 　 ； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　 　 +　 　 ； （3）化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 20．学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． （1）如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为1． ①如图1，点A、B在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段AB的中点O（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点A、B、C在格点上，仅用无刻度的直尺找出∠A的平分线交BC于点P，并写出画图的步骤或依据； （2）如图3，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，，以AC为边在AC的左侧作等腰直角△ACD，连接BD，求BD的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题： （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 22．解方程：． 23．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BA，BC的中点，连接DE．点F为CA延长线上一点，且FAAC，连接FD，FE，AE． （1）求证：四边形AFDE是平行四边形； （2）若∠DEB＝∠DEF，求证：EF＝EC； （3）在（2）的条件下，若DE，∠C＝45°，求BC的长． 24．阅读材料： 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组． 例如：ac+bc+ad+bd＝（ac+bc）+（ad+bd）＝c（a+b）+d（a+b）＝（a+b）（c+d）； a2﹣2a+1﹣4＝（a2﹣2a+1）﹣4＝（a﹣1）2﹣22＝（a﹣1+2）（a﹣1﹣2）＝（a+1）（a﹣3）． 类比应用： （1）因式分解：a2+ab+bc+ac； （2）已知三角形的三边长分别是a，b，c且满足：a2+c2﹣2ac+ab﹣bc＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 2026年深圳八下期末复习中档题专项训练 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转116°得到△AB′C′，若点B、C、B′、D在一条直线上，则∠AB′C′的度数为（　　） A．31° B．32° C．33° D．34° 【分析】由旋转得AB′＝AB，∠BAB′＝116°，∠AB′C′＝∠B，则∠AB′B＝∠B，由2∠B+116°＝180°，得∠AB′C′＝∠B＝32°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转116°得到△AB′C′，点B、C、B′在一条直线上， ∴AB′＝AB，∠BAB′＝116°，∠AB′C′＝∠B， ∴∠AB′B＝∠B， ∵∠AB′B+∠B+∠BAB′＝180°， ∴2∠B+116°＝180°， ∴∠AB′C′＝∠B＝32°， 故选：B． 【点评】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出AB′＝AB，∠BAB′＝116°，进而证明∠AB′B＝∠B是解题的关键． 2．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣4，0），正比例函数y＝mx（m≠0）的图象过点A，则不等式（k﹣m）x+b≥0的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣4≤x＜﹣2 【分析】将不等式（k﹣m）x+b≥0可变形为kx+b≥mx，然后结合图象写出答案即可． 【解答】解：不等式（k﹣m）x+b≥0可变形为kx+b≥mx， ∵两函数的图象都经过点A， ∴kx+b≥mx的解集为x≤﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，将不等式边形是解决问题的关键． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】先利用30°的正切求出AC的长，再在Rt△ACD中，用∠CAD的正切值可求出CD的长，最后利用角平分线的性质及垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：法一： 在Rt△ABC中， tanB， ∴AC． ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD． 在Rt△ACD中， tan∠CAD， ∴CD． ∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC， ∴点D到AB边的距离等于线段CD的长， 即线段DE长度的最小值为2． 法二： 当DE⊥AB时，DE最小． ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DE． 令DC＝DE＝x， 则BD＝6﹣x． ∵∠DAB， ∴∠B＝∠DAB， ∴DA＝DB＝6﹣x． 在Rt△DAE中， sin∠DAB， ∴DE， 则x， 解得x＝2， ∴DE＝2． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理、垂线段最短及含30度角的直角三角形，熟知角平分的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．综合实践课上，李海画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图①～图③是他的作图过程． 李海的作法中，可直接判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【解答】解：根据作图步骤可知： 图1得出BD的中点O，图2，得出OC＝AO， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形ABCD为平行四边形， 判定的条件是：对角线互相平分． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 5．如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点P（1，﹣1），则关于x的不等式kx+b≥﹣x的解集是（　　） A．x≥﹣1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≤﹣1 【分析】根据P点的坐标和函数的图象求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+b和直线y＝﹣x的交点P的坐标是（1，﹣1）， ∴kx+b≥﹣x的解集为：x≥1； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 6．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（　　） A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关 C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关． 【分析】根据三角形的中位线定理解答即可． 【解答】解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点， ∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的中位线定理理． 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 二．填空题（共6小题） 7．如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中∠BAC＝　36　 °． 【分析】根据多边形的内角和公式计算正五边形的内角，然后计算∠BAC即可． 【解答】解：∵正五边形的内角为：108°， ∴∠BAC＝360°﹣108°×3＝36°． 故答案为：36． 【点评】本题考查了平面镶嵌，正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． 8．如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF的大小是 　48　 度． 【分析】解法一：根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得∠EDF和∠EFD的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案； 解法二，根据多边形的外角和是360°，分别求出∠EDF和∠EFD的度数，再根据三角形的内角和是180°，从而得出∠DEF的度数． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴每个内角度数为108°． ∴∠EDC＝108°， ∴∠EDF＝72°， 同理可得正六边形BFGHMN每个内角度数为120°． ∴∠EFG＝120°， ∴∠EFD＝60°， ∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°． 解法二：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠EDF＝72°， ∵六边形EFGHMN是正六边形， ∴∠EFD＝60°， ∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°； 故答案为：48． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和度数是解题的关键． 9．如图，P是▱ABCD内部的任意一点，连接AP，DP，BP，CP．若△PAB的面积为S1，△PCD的面积为S2，且S1+S2＝15，则▱ABCD的面积是 　30　 ． 【分析】由面积关系可求解． 【解答】解：过点P作EF⊥AB交AB于点E，交CD于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴S▱ABCD＝AB•EF，S1，S2， ∵EF＝PE+PF，AB＝CD， ∴S▱ABCD＝2（S1+S2）＝30， 故答案为：30． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是 　20°　 ． 【分析】根据三角形中位线定理得到PEAD，PFBC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴PE是△ABD的中位线， ∴PEAD， 同理，PFBC， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠EFP（180°﹣∠EPF）（180°﹣140°）＝20°， 故答案为：20°． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是 　20°　 ． 【分析】根据旋转的性质得到∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，根据平行线的性质得到∠C1AB1+AB1B＝180°，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置， ∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1， ∵BB1∥AC1， ∴∠C1AB1+AB1B＝180°， ∴∠AB1B＝80°， ∵AB＝AB1， ∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°， ∴∠BAB1＝20°， ∴∠CAC1＝20°， 故答案为：20°． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＜3的解集为 x＞﹣1　 ． 【分析】根据图象法解不等式即可． 【解答】解：如图，直线y＝kx+b与直线y＝3交于点P（﹣1，3）， 由图可知kx+b＜3的解集为x＞﹣1； 故答案为：x＞﹣1． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式．从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 三．解答题（共12小题） 13．（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3． （2）解不等式组，并在数轴上表示出解集． 【分析】（1）提公因式后再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）解一元一次不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可． 【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣2xy+y2） ＝y（x﹣y）2； （2）由①得：2（x+1）﹣3（x﹣1）≤6， 即2x+2﹣3x+3≤6， 整理得：﹣x≤1， 解得：x≥﹣1， 由②得：3x﹣1＜2x+2， 整理得：x＜3， 故原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， 在数轴上表示其解集如图所示： ． 【点评】本题考查因式分解，解一元一次不等式组并在数轴上表示其解集，熟练掌握因式分解的方法及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 14．已知，如图，AD，BE分别是△ABC的BC和AC边上的中线，过C作CF∥AB，交BE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：四边形ABCF是平行四边形； （2）连接DE，若DE＝EC＝3，∠AFC＝45°，求线段BF的长． 【分析】（1）利用AAS证明△ABE≌△CFE，根据全等三角形的性质求出BE＝FE，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得证； （2）根据三角形中位线的判定与性质求出DEAB，DE∥AB，结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出∠EDC＝∠ECD＝45°，AC＝AB＝6，则∠BAC＝90°，再根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ABE＝∠CFE，∠BAE＝∠FCE， ∵BE是△ABC的AC边上的中线， ∴AE＝CE， 在△ABE和△CFE中， ， ∴△ABE≌△CFE（AAS）， ∴BE＝FE， 又∵AE＝CE， ∴四边形ABCF是平行四边形； （2）解：如图， ∵四边形ABCF是平行四边形， ∴∠ABC＝∠AFC＝45°，BE＝EFBF， ∵AE＝CE，AD是△ABC的BC边上的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB，DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABC＝45°， ∵DE＝EC＝AE＝3， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°，AC＝AB＝6， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴BE3， ∴BF＝2BE＝6． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练运用平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 15．（1）解不等式组： （2）先化简，再求值：（1），其中，． 【分析】（1）利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可； （2）根据分式的相应的法则对式子进行化简，再把相应的值代入运算即可． 【解答】解：（1）解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜2， 故原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2； （2）（1） ， 当时， 原式 ． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 16．（1）解不等式组：； （2）解分式方程：； （3）先化简，再求值：，其中． 【分析】（1）先求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式解集的口诀“大小小大中间找”，求出不等式组的解集即可； （2）先把方程两边同时乘x﹣4，把分式方程化成整式方程，然后按照解一元一次方程的方法，求出x，再进行检验即可； （3）先把括号内的1写成，再按照同分母的分式相减，然后把除式中的分子和分母分解因式，把除法化成乘法，从而进行约分，最后求出x，再代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：（1）， 由①得：x﹣4≥3x﹣6， x﹣3x≥4﹣6， ﹣2x≥﹣2， x≤1， 由②得：2x﹣5＜3x﹣3， 2x﹣3x＜5﹣3， ﹣x＜2， x＞﹣2， ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1； （2）， ﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x， ﹣3+2x﹣8＝1﹣x， 2x+x＝1+3+8， 3x＝12， x＝4， 检验：当x＝4时，x﹣4＝0， ∴原分式方程无解； （3）原式 ， ∵， ∴原式． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程和分式的化简求值，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组、解分式方程的一般步骤和分式的通分与约分． 17．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围； ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元，利用数量＝总价÷单价，结合节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）①根据节前、节后购进A粽子数量间的关系，可得出节后购进A粽子（400﹣m）千克，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4600元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m≤300，再结合m＞0，即可得出m的取值范围； ②设购进的A粽子全部售出后可获得的总利润为w元，利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元， 根据题意得：2， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意． 答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元； （2）①∵该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且节前购进A粽子m千克， ∴节后购进A粽子（400﹣m）千克． 根据题意得：（10+2）m+10（400﹣m）≤4600， 解得：m≤300， 又∵m＞0， ∴0＜m≤300， ∴m的取值范围为0＜m≤300； ②设购进的A粽子全部售出后可获得的总利润为w元，则w＝[20﹣（10+2）]m+（16﹣10）（400﹣m）， 即w＝2m+2400， ∵2＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝300时，w取得最大值，最大值为2×300+2400＝3000． 答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；②根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 18．化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【解答】解：原式 ， ∵x≠0，2，4，﹣4， ∴x＝1或3， 当x＝1时，原式＝1． 【点评】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的性质是关键． 19．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　2　 +　　 ； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　（a﹣1）　 +　　 ； （3）化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【分析】（1）读懂题意，利用题目给出的方法解答； （2）读懂题意，利用题目给出的方法解答； （3）读懂题意，利用题目给出的方法进行分式化简求值计算． 【解答】解：（1）2； 故答案为：2，； （2）（a﹣1）； 故答案为：（a﹣1），； （3） ＝3 ＝3 ＝31 ＝2， ∴当整数值x为﹣3，﹣2，0，1时，式子2的值为整数，x为﹣2，0，1时原代数式无意义舍去， ∴x值为﹣3时，原代数式的值为整数． 【点评】本题考查了分式的化简求值，分式的意义，解题的关键是掌握分式的化简求值计算，分式的意义． 20．学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． （1）如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为1． ①如图1，点A、B在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段AB的中点O（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点A、B、C在格点上，仅用无刻度的直尺找出∠A的平分线交BC于点P，并写出画图的步骤或依据； （2）如图3，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，，以AC为边在AC的左侧作等腰直角△ACD，连接BD，求BD的长． 【分析】（1）①利用网格特征线段AB与网格线的交点O即为所求（方法不唯一）； ②取格点K，连接BK（构造等腰三角形AB＝AK＝5），取格点M，N，连接MN交BK于点J，作射线AJ交BC于点P，射线AP即为所求． 【解答】解：（1）①如图1中，点O即为所求； ②如图2中，射线AP即为所求； （2）∵AB＝1，AC＝2，AB， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠CAB＝90°， 有三种情形： ①当∠CAD′＝90°，CA＝AD′＝2时，BD′＝1+2＝3； ②当∠ACD＝90°，AC＝CD＝2时，BD； ③当∠AD″C＝90°，BD″． 综上所述，BD的长为3或或． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题： （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质作图，可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，可得出答案． （3）连接A1A2，B1B2，C1C2，再分别作出线段A1A2，B1B2，C1C2的垂直平分线，交点P即为所求的旋转中心，可得出答案． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示． 点A1（3，﹣3），B1（4，﹣1）． （2）△A2B2C2如图所示． （3）如图，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为（5，0）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． 22．解方程：． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：3（x+1）﹣（x﹣5）＝0， 整理得：2x+8＝0， 解得：x＝﹣4， 经检验x＝﹣4是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 23．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BA，BC的中点，连接DE．点F为CA延长线上一点，且FAAC，连接FD，FE，AE． （1）求证：四边形AFDE是平行四边形； （2）若∠DEB＝∠DEF，求证：EF＝EC； （3）在（2）的条件下，若DE，∠C＝45°，求BC的长． 【分析】（1）根据三角形中位线定理利用一组对边平行且相等的四边形即可证明四边形AFDE是平行四边形； （2）利用平行四边形的性质，证明∠EFC＝∠C，即可解决问题； （3）结合（2）证明△EFC是等腰直角三角形，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BA，BC的中点， ∴DE∥AC，DEAC， ∵FAAC， ∴DE＝FA， ∴四边形AFDE是平行四边形； （2）证明：∵四边形AFDE是平行四边形， ∴DE∥AC，DF∥AE， ∴∠DEB＝∠C，∠DEF＝∠EFC， ∵∠DEB＝∠DEF， ∴∠EFC＝∠C， ∵EF＝EC； （3）解：∵FA＝DE，AC＝2DE＝2， ∴FC＝FA+AC＝3， ∵∠EFC＝∠C＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴EF＝ECFC＝3， ∴BC＝2EC＝6． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理． 24．阅读材料： 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组． 例如：ac+bc+ad+bd＝（ac+bc）+（ad+bd）＝c（a+b）+d（a+b）＝（a+b）（c+d）； a2﹣2a+1﹣4＝（a2﹣2a+1）﹣4＝（a﹣1）2﹣22＝（a﹣1+2）（a﹣1﹣2）＝（a+1）（a﹣3）． 类比应用： （1）因式分解：a2+ab+bc+ac； （2）已知三角形的三边长分别是a，b，c且满足：a2+c2﹣2ac+ab﹣bc＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【分析】（1）把所给式子“2+2”分组后提取公因式，继续提公因式分解即可； （2） 【解答】解：（1）a2+ab+bc+ac ＝（a2+ab）+（bc+ac） ＝a（a+b）+c（a+b） ＝（a+c）（a+b）； （2）这个三角形是等腰三角形． 理由：∵a2+c2﹣2ac+ab﹣bc＝0， ∴（a﹣c）2+b（a﹣c）＝0， ∴（a﹣c）（a﹣c+b）＝0， ∵a+b＞c， ∴a﹣c＝0， ∴a＝c， ∴这个三角形是等腰三角形． 【点评】本题考查因式分解的应用．理解分组分解法的两种分法是解决本题的关键．用到的知识点为：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；两个非负数相加得0，这两个非负数均为0． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/23 9:20:27；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $