2026年广东省广州市中考数学临考冲刺模拟卷

**基本信息** 这份2026届广州中考数学模拟卷以现实情境为载体，通过消毒药物含药量、租车方案、遮阳伞影子计算等问题，考查学生用数学思维分析解决实际问题的能力，适配中考冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、视图、代数运算、函数基础|基础知识点全面，如第5题正比例函数直接考查概念| |填空题|6/18|因式分解、坐标变换、圆、几何折叠|第16题矩形折叠综合考查空间观念与推理能力| |解答题|9/72|方程、统计、函数综合、几何探究|第23题遮阳伞影子长度结合太阳高度角，体现数学眼光与模型意识；第25题几何动态探究，层次递进考查创新意识|

2026届广东省广州市中考数学临考冲刺模拟卷 （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 2．下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．根据东西湖区统计局数据显示，2025年东西湖区常住人口为92.58万人，将数据92.58万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为 A． B．－2 C． D．2 6．如图，在中，，，线段垂直平分，交于点，交于点，若cm，则的长为（     ） A．cm B．cm C．cm D．cm 7．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 9．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒.已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示．      　　　　　　　　　信息窗 1．药物8分钟燃毕，此时室内空气中的含药量为6． 2．空气中的含药量不高于1.6 时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于3时，对杀灭病毒有效． 则下列说法不正确的是（　　） A．药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 B．药物燃烧4时，才开始对杀灭病毒起效 C．从消毒开始，至少需要30学生才能回到教室 D．本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为16 10．若点，，，，均在抛物线上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：_________． 12．把平面直角坐标系上一点向上平移3个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则_______． 13．如图，已知是的直径，是弦，且，，．则__________． 14．物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强与的大小关系为：_________．（填“”，“”或“”） 15．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于、两点．若厘米，则的长度为_____厘米．（结果保留） 16．如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，下列结论：①四边形是正方形；②的周长为；③；④的长为．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分）解方程：． 18．（本题满分4分）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：． 19．（本题满分6分）先化简，再求值：，其中． 20．（本题满分6分）某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： (1)______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； (2)若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； (3)小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 21．（本题满分8分）某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备． (1)已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ (2)已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用． 22．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作轴，垂足为D． (1)求反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标． 条件①：；条件②：面积是面积的2倍． 注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分． 23．（本题满分10分）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过，，三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点，的坐标； (2)点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 25．（本题满分12分）如图，在中，，，为线段上一点． (1)尺规作图，作点关于的对称点，连接，，并证明； (2)如图，当由点运动到点过程中， 若线段与线段交于点，当取最大值时，求的值； 在上取一点，使得，连接，，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省广州市中考数学临考冲刺模拟卷 （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义．根据无理数的定义即可判断选项． 【详解】解：A、，不是无理数，故本选项不符合题意； B、3.14不是无理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C 2．下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的图形． 【详解】解：A、从正面看为长方形，从左面看为长方形，从上面看为长方形，故本选项错误； B、从正面看为长方形，从左面看为长方形，从上面看为圆，故本选项错误； C、从正面看为等腰三角形，从左面看为等腰三角形，从上面看为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确； D、从正面看为三角形，从左面看为三角形，从上面看为有对角线的长方形，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题重点考查从不同方向看几何体以及考查学生的空间想象能力． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算运算法则是解题的关键． 4．根据东西湖区统计局数据显示，2025年东西湖区常住人口为92.58万人，将数据92.58万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将以“万”为单位的数换算为普通整数，再根据科学记数法的规则确定和的值即可． 【详解】 万． 5．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为 A． B．－2 C． D．2 【答案】D 【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2）， ∴把点（1，2）代入已知函数解析式， 得k=2． 故选：D． 6．如图，在中，，，线段垂直平分，交于点，交于点，若cm，则的长为（     ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】是等腰三角形，可得，线段垂直平分，根据简单三角函数可求得，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ∴， 线段垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：； ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴且， 故选：C 8．如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 9．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒.已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示．      　　　　　　　　　信息窗 1．药物8分钟燃毕，此时室内空气中的含药量为6． 2．空气中的含药量不高于1.6 时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于3时，对杀灭病毒有效． 则下列说法不正确的是（　　） A．药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 B．药物燃烧4时，才开始对杀灭病毒起效 C．从消毒开始，至少需要30学生才能回到教室 D．本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为16 【答案】D 【分析】根据题意得出，，然后根据正比例函数和反比例函数的概念分别判断各个选项即可． 【详解】解：由题意知，，， 消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间成正比例函数关系， ， 代入点坐标， 得，解得， 药物燃烧时，关于的函数关系式为，A选项说法正确； 当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， 药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效，B选项说法正确； 药物燃烧完成后，与成反比例函数关系， 设反比例函数式为， 代入点坐标， 得， 反比例函数式为， 空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 当时，， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室，C选项说法正确； 药物燃烧完成后，当时，， 本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为（分钟），D选项说法错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数的知识，熟练掌握反比例函数和一次函数的知识是解题的关键． 10．若点，，，，均在抛物线上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把点A和点B坐标代入得出，再求出，求出该抛物线与x轴的两个交点坐标，结合，在抛物线上，得出，点在点B的左边，，，即可得出，进而得出对称轴的取值范围，最后根据该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可比较函数值的大小． 【详解】解：把，代入得： ， 整理得：， 得：， 整理得：， ∴该抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得：，， 即该抛物线与x轴的交点坐标为：， ∵，在抛物线上， ∴当时，y随x的增大而减小，该抛物线开口向下； ∴点在点B的左边， ∴，，整理得：， ∴，则， ∴点C离对称轴的距离：，即， 点D离对称轴的距离：，即， 点E离对称轴的距离：，即， ∵该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， ∴， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 12．把平面直角坐标系上一点向上平移3个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则_______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，以及坐标轴上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵点向上平移3个单位， ∴平移后的点的坐标为， ∵平移后的点恰好在轴的正半轴上， ∴， ∴． 13．如图，已知是的直径，是弦，且，，．则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出，利用勾股定理求出的长，再根据垂径定理得出，从而得出，最后在中利用正切定义求解． 【详解】解：是的直径， ， 在中，，， 由勾股定理得， 是直径，， ， ， 在中，， ∴． 14．物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强与的大小关系为：_________．（填“”，“”或“”） 【答案】＞ 【分析】根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例数的性质即可求解． 【详解】解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设， 依题意， ∴反比例数解析式为：，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于、两点．若厘米，则的长度为_____厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】直接根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴的长度为：． 16．如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，下列结论：①四边形是正方形；②的周长为；③；④的长为．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】过点G作，分别交、于点M、N，可知四边形为正方形，可判断①，且和为等腰三角形，设，则，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得x，再利用，可求得、和，则可求得，容易判断②③④，可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故①正确； 如图，过点G作，分别交、于点M、N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴和为等腰直角三角形，且， 设，则， 又由折叠的可知， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④正确； 又和为等腰直角三角形，且， ∴， ∴的周长， ∴，故②不正确；③正确； 综上可知正确的为①③④． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分）解方程：． 【答案】， 【分析】由于方程无法通过因式分解法求解，因此选用公式法．先确定一元二次方程一般形式中、、的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式即可得到方程的解． 【详解】解：对于方程，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即方程的解为，． 18．（本题满分4分）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：． 【答案】 证明：平行四边形中，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，由可得，再证四边形是平行四边形，推出，，等量代换即可得出． 【详解】略 19．（本题满分6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（本题满分6分）某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： (1)______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； (2)若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； (3)小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 【答案】(1)15； (2)120名 (3) 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和统计表以及熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而可求出a、b的值，再用360度乘以“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （2）用480乘以样本中八年级最喜欢两门课程的学生人数占比即可得到答案； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中两门课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解；（名）， ∴本次一共调查了60名学生， ∴； ∴， ∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是； 故答案为：15；； （2）解：（名）， 答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名； （3）解：根据题意列表如下； 由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种， ∴恰好选中两门课程的概率为． 21．（本题满分8分）某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备． (1)已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ (2)已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用． 【答案】(1)每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 (2)最低费用为48000元 【分析】（1）可设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人，根据等量关系：租用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车，列出方程组求解即可； （2）设租设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，根据题意列出不等式，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去） 经检验，是原方程的解且符合题意， 则每辆大容量巴士载客量为： 答：每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 （2）解：设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，则： 解得： 又有： 随的增大而减小， 当时， （元） 答：当租用舒适型客车6辆，大容量巴士12辆时，租车单日费用最低，最低费用为48000元 22．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作轴，垂足为D． (1)求反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标． 条件①：；条件②：面积是面积的2倍． 注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择条件①或条件②，点P坐标均为 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）①根据可知，点P在的垂直平分线，由此可得P的纵坐标为2，从而求出点P坐标； ②由面积是面积的2倍，可得P点纵坐标为2，从而求出点P坐标； 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象与上， ∴，解得：， 即点A坐标为， ∴， 即反比例函数解析式为：， （2）设点P坐标为， 选择条件①， ∴点P在AD的垂直平分线上， 又∵，， ∴，点P的纵坐标为， ∴， 故点P坐标为， 选择条件②面积是面积的2倍． ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点P坐标为 23．（本题满分10分）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)小明会被照射到． 理由如下：如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形，， 米， ．米，米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）略 24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过，，三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点，的坐标； (2)点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2) (3)如图， 边上的顶点的坐标为，或 【分析】（1）求得点，坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点在横坐标；利用配方法即可求得点的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接 ，交直线于点，利用轴对称的性质可得，关于直线对称，此时 的周长最小，过点作轴于点，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线 的解析式为，再与直线联立即可求得点坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与 交于点，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点，，，在各边上，与点重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴ ， ∴， ∵抛物线 经过点A，C， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴ ，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴ ， ∴， 延长至点，使，连接 ，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时 的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴ 为的中位线， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与 交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为 的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵ ， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 25．（本题满分12分）如图，在中，，，为线段上一点． (1)尺规作图，作点关于的对称点，连接，，并证明； (2)如图，当由点运动到点过程中， 若线段与线段交于点，当取最大值时，求的值； 在上取一点，使得，连接，，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)解：如图，分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点即为所求， 在和中， ， ∴； (2)；存在，最小值为． 【分析】（）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，然后通过全等三角形的判定方法即可求证； （）先证明，所以，则，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接，由勾股定理得，则，设，则，可证，所以证明，则，所以点在与夹角为的直线上运动，再得出，，即点在垂直平分线上运动，，则，故当点三点共线时，有最小值的长，即的最小值为． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此时； 如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在与夹角为的直线上运动， ∴， ∴， ∴，即点在垂直平分线上运动， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值的长， 即的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $