第03讲 集合的基本运算【从0到1的暑假自学手册】-2026年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

从0到1的暑假自学手册 第03讲 集合的基本运算 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 考点1 交集的概念与运算 考向1：交集的运算；考向2：根据交集结果求集合或参数 考点2 并集的概念与运算 考向1：并集的运算；考向2：根据并集结果求集合或参数 考点3 补集的概念与运算 考向1：补集的运算；考向2：根据补集结果求集合或参数 考点4 交、并、补的混合运算 考向1：集合的混合运算；考向2：集合混合运算中的求参问题；考向3：集合的新定义 考点5 Venn图在集合运算的运用 考点6 集合运算在实际中的应用 04 过关检测 知识点1：并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 运算性质 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A，或x∈ B} A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪⌀=⌀∪A=A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B=B 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 运算性质 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A，且x∈ B} A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩⌀=⌀∩A=⌀，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B=A 【注意】 （1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集． 知识点2：补集与全集 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． （2）符号表示：全集通常记作U． 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作A 符号语言 A=且 图形语言     运算性质 A⊆U，A=⌀，A=U，A(A)=A，A∪(A)=U，A∩(A)=⌀ 【注意】A的三层含义： （1）A表示一个集合； （2）A是U的子集，即A⊆U； （3）A是U中不属于A的所有元素组成的集合． 知识点3 ：Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示． 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍．用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数． 知识点04：容斥定理之集合中元素个数 考点1：交集的概念与运算 考向1：交集的运算 【例1】设，，求. 【答案】 【详解】， 考向2：根据交集结果求集合或参数 【例2】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）设，集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、均表示点集，集合、的交集即直线和抛物线的交点，因此联立求交点即可. （2），即直线和抛物线无交点，联立直线方程和抛物线方程得到一元二次方程，即方程无实根，，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）集合是直线上的点集，当时，集合是抛物线上的点集， 即直线与抛物线的交点构成的集合. 联立，解得或，即交点为、. 所以. （2）联立，整理得. 若，即直线与抛物线无交点，即. ，解得. 故实数的取值范围为. 【变式1】已知集合，，求 ． 【答案】 【分析】根据题意，联立方程组，求得方程组的解，进而得到答案. 【详解】由集合，， 联立方程组，解得或， 所以 . 【变式2】已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 【变式3】（25-26高一上·湖北十堰·期中）已知集合． （1）若m＝3，求； （2）若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合的交集运算求解； （2）分和进行求解． 【详解】（1）， 若，则. （2）若，由，则，解得； 若，由，得，解得， 综上． 因此m的取值范围是． 考点2：并集的概念与运算 考向1：并集的运算 【例3】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 则. 考向2：根据并集结果求集合或参数 【例4】设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【分析】化简集合，根据并集的概念可判断集合是集合的子集，分别讨论，即可求得的值. 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合，， 由上图可得． 【变式2】（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【分析】根据并集的定义可得是集合中的元素，再结合集合元素的互异性排除，即可得到实数的取值集合. 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 【变式3】已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 考点3：补集的概念与运算 考向1：补集的运算 【例5】（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以． 考向2：根据补集结果求集合或参数 【例6】已知全集，且，则实数的值为__________ 【答案】或 【分析】根据补集的定义求解. 【详解】因为全集，且， 所以，得或. 故答案为：或 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 【变式2】已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集，则集合为. 【变式3】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由全集，且，故，从而. 考点4：交、并、补的混合运算 考向1：集合的混合运算 【例7】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， （1）求； （2）求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）解不等式求出集合，根据交集、并集定义直接计算即可； （2）先求出两集合的补集，再由并集运算可得结果. 【详解】（1）易知，又， 所以； （2）易知或，； 因此或. 考向2：集合混合运算中的求参问题 【例8】（25-26高一上·天津·期末）设集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解； （2）根据条件得，进而可求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 考向3：集合的新定义 【例9】（25-26高一上·江西鹰潭·阶段检测）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称A具有孪生性质． （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)1350． 【分析】（1）根据的定义求解即可； （2）分析的元素构成，结合的条件推导元素关系； （3）根据集合定义先求出的最大值，再根据孪生性质证明即可. 【详解】（1）由集合， 得，，，，，， 因此， 又，，，，，， 所以． （2）由集合，， 得集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，则B中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即，， 则构成的元素为0，，，，且与0或或重复， 又，所以，即． （3）依题意，， 设满足题意，， 由，得， 由，得， 由，得，即， 则， 而中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故m的最小值为675， 于是当时，C中元素最多， 即时满足题意， 所以集合C中元素的个数的最大值是1350． 【变式1】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， （1）求，； （2）求． 【答案】(1)，. (2)． 【分析】（1）利用集合并集、交集的定义求解即可； （2）利用补集、交集的定义求解即可. 【详解】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. （2）依题意：或，或， 所以． 【变式2】（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由交集的定义即可得解； （2）由补集的定义即可得解； （3）由补集与并集的定义即可得解. 【详解】（1），，. （2），. （3），. 又因为，所以. 【变式3】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， （1）若，求，； （2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 【变式4】已知集合 ，或，， ． （1）求 ， （2）若 ，求实数的取值范围． 【答案】(1) 或 ， (2) 【详解】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. 【变式5】（多选）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. 考点5：Venn图在集合运算的运用 【例10】（25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，利用交集和补集的概念求出答案. 【详解】由题可知，, 故由交集和补集的概念阴影部分表示的集合为. 故选：B. 【变式1】（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 【变式2】（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【详解】全集， 可得，又图中阴影部分表示， 故选：C． 【变式3】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 考点6：集合运算在实际中的应用 【例11】（25-26高三下·浙江·开学考试）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 【答案】B 【详解】参加竞赛的总人数：45−15=30（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）. 【变式1】某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 【变式2】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 【变式3】（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 考点1 并集的概念与运算 1．（25-26高二下·河南·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，所以. 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 3．已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 考点2 交集的概念与运算 4．（2026·湖南永州·三模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由或，， 所以. 5．已知集合 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知集合，，求，． 【答案】，． 【详解】因为集合，， 所以，． 7．（25-26高一下·广西百色·开学考试）设集合，集合 （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算即可. （2）根据集合的包含关系求出参数的范围即可. 【详解】（1）时，集合，因为集合， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，要使得，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. 9．（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用交集的定义直接求解. （2）利用交集的结果，列式求解. （3）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）当时，，或， 所以. （2）当时，则，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由，得，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 考点3 补集的概念与运算 10．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知全集，且集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的概念即可得答案. 【详解】由补集的概念可得． 故选：B. 12．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 13．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 14．已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由正整数集的定义结合补集的运算即可求解. 【详解】由题意得 则共5个元素. 考点4 交、并、补的混合运算 15．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 16．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，全集，求，及. 【答案】；，或 【分析】根据题意，结合集合交集、并集和补集的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由全集，且集合， 则， 又由或， 则，或. 17．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知全集为，，或，求： （1） （2） （3） 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合的交集的意义求解即可； （2）根据集合的并集的意义求解即可； （3）根据集合的补集与交集的意义求解即可. 【详解】（1）因为，或， 所以或； （2）因为，或， 所以； （3）因为，或， 所以或，， 所以. 18．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 考点5 Venn图在集合运算的运用 19．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 20．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 21．（2026·福建泉州·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以. 分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分. 因此阴影部分表示集合. 考点6 集合运算在实际中的应用 22．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 23．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 24．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 1．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 2．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 3．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知集合，．，，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）分和两种情况讨论，当时，首先求出，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以，解得， 所以实数的取值集合. （2）因为，， 若，则，即，此时，所以成立； 若，则或， 则，解得； 综上，实数的取值范围为. 4．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 5．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合B后，再求两者交集即可； （2）根据可得，解出即可． 【详解】（1）当时，或， 故． （2）由，有，解得， 所以实数的取值范围为． 6．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. 【答案】(1)①；②或； (2). 【分析】（1）把代入，①利用交集的定义求解；②利用补集、并集的定义求解. （2）利用给定并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）①当时，，而，所以. ②或，所以或. （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. 7．（25-26高一上·四川成都·期中）在高中数学中，我们学习了区间，集合，函数定义域等概念．下面介绍几个在高等数学中常用的概念，它们可以帮助我们更精细地描述集合的性质． 定义1（上确界）：设是一个非空实数集合，如果存在一个实数，使得： ·对于任意，都有 ·对任意，都存在，使得，则称为集合的上确界，记作 定义2（邻域）：对于实数和，则称开区间为点的一个邻域 定义3（孤立点）：设是一个实数集合，，如果存在一个，使得：，即点的某个邻域除了本身以外不含的其它点，则称是集合的一个孤立点． (1)求集合的上确界，请写出理由． (2)根据孤立点的定义，求出集合的所有孤立点，并说明理由． 【答案】(1)对任意，都有，即， 又对任意，取，则，且， 所以是集合的上确界． (2)对于点， 由，取，则的邻域是， 又， 即的邻域除了本身以外不含的其它点，即是集合的孤立点； 对于点， 由，对任意，则的邻域是， 令，显然， 又，则， 所以，且， 即的一个邻域除了本身以外还含中的，即不是集合的孤立点； 对于点， 由，对任意，则的邻域是， 令，显然， 又，则， 所以，且， 即的一个邻域除了本身以外还含中的，即不是集合的孤立点； 对于， 由，对任意，则的邻域是， 取，显然， 令，则，则， 又，则， 所以，且， 即的一个邻域除了本身以外还含中，即不是集合的孤立点． 综上，只有是集合的孤立点． 【分析】（1）先找出集合的上确界，根据上确界的定义证明即可； （2）分点，点，点及区间中的点四种情况，再结合邻域，孤立点的定义逐一判断是否为孤立点即可． 【详解】（1）略 （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $从0到1的暑假自学手册 第03讲 集合的基本运算 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 考点1 交集的概念与运算 考向1：交集的运算；考向2：根据交集结果求集合或参数 考点2 并集的概念与运算 考向1：并集的运算；考向2：根据并集结果求集合或参数 考点3 补集的概念与运算 考向1：补集的运算；考向2：根据补集结果求集合或参数 考点4 交、并、补的混合运算 考向1：集合的混合运算；考向2：集合混合运算中的求参问题；考向3：集合的新定义 考点5 Venn图在集合运算的运用 考点6 集合运算在实际中的应用 04 过关检测 知识点1：并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 运算性质 由 集合A或 集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 (读作“ ”) A∪B={x|x∈ A，或x∈ B} A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪⌀=⌀∪A=A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B=B 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 运算性质 由 集合A 集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作 (读作“ ”) A∩B={x|x∈ A，且x∈ B} A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩⌀=⌀∩A=⌀，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B=A 【注意】 （1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的 ；A∪B=A等价于B是A的 ． 知识点2：补集与全集 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集． （2）符号表示：全集通常记作 ． 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中 集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作A 符号语言 A=且 图形语言     运算性质 A⊆U，A=⌀，A=U，A(A)=A，A∪(A)=U，A∩(A)=⌀ 【注意】A的三层含义： （1）A表示一个集合； （2）A是U的子集，即A⊆U； （3）A是U中不属于A的所有元素组成的集合． 知识点3 ：Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有 的Venn图表示． 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍．用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数． 知识点04：容斥定理之集合中元素个数 考点1：交集的概念与运算 考向1：交集的运算 【例1】设，，求. 考向2：根据交集结果求集合或参数 【例2】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）设，集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【变式1】已知集合，，求 ． 【变式2】已知集合.，求实数m的取值范围. 【变式3】（25-26高一上·湖北十堰·期中）已知集合． （1）若m＝3，求； （2）若，求m的取值范围． 考点2：并集的概念与运算 考向1：并集的运算 【例3】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 考向2：根据并集结果求集合或参数 【例4】设 ，若 ，求 的值． 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 【变式3】已知集合，.若，求m的取值范围. 考点3：补集的概念与运算 考向1：补集的运算 【例5】（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 考向2：根据补集结果求集合或参数 【例6】已知全集，且，则实数的值为__________ 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 考点4：交、并、补的混合运算 考向1：集合的混合运算 【例7】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， （1）求； （2）求. 考向2：集合混合运算中的求参问题 【例8】（25-26高一上·天津·期末）设集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 考向3：集合的新定义 【例9】（25-26高一上·江西鹰潭·阶段检测）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称A具有孪生性质． （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值． 【变式1】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， （1）求，； （2）求． 【变式2】（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3）. 【变式3】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， （1）若，求，； （2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【变式4】已知集合 ，或，， ． （1）求 ， （2）若 ，求实数的取值范围． 【变式5】（多选）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 考点5：Venn图在集合运算的运用 【例10】（25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·云南昭通·期末）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 考点6：集合运算在实际中的应用 【例11】（25-26高三下·浙江·开学考试）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 【变式1】某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【变式2】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【变式3】（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 考点1 并集的概念与运算 1．（25-26高二下·河南·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 3．已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 考点2 交集的概念与运算 4．（2026·湖南永州·三模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知集合 则 （    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知集合，，求，． 7．（25-26高一下·广西百色·开学考试）设集合，集合 （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围． 9．（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 考点3 补集的概念与运算 10．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知全集，且集合满足，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 13．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 考点4 交、并、补的混合运算 15．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，全集，求，及. 17．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知全集为，，或，求： （1） （2） （3） 18．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 考点5 Venn图在集合运算的运用 19．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 21．（2026·福建泉州·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 考点6 集合运算在实际中的应用 22．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 1．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 2．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 3．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知集合，．，，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 4．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 5．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 6．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. 7．（25-26高一上·四川成都·期中）在高中数学中，我们学习了区间，集合，函数定义域等概念．下面介绍几个在高等数学中常用的概念，它们可以帮助我们更精细地描述集合的性质． 定义1（上确界）：设是一个非空实数集合，如果存在一个实数，使得： ·对于任意，都有 ·对任意，都存在，使得，则称为集合的上确界，记作 定义2（邻域）：对于实数和，则称开区间为点的一个邻域 定义3（孤立点）：设是一个实数集合，，如果存在一个，使得：，即点的某个邻域除了本身以外不含的其它点，则称是集合的一个孤立点． (1)求集合的上确界，请写出理由． (2)根据孤立点的定义，求出集合的所有孤立点，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $