第03讲 集合的基本运算（4大知识点+8大题型）（讲义）-2026年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第03讲 集合的基本运算 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点1、并集 3 知识点2、交集 3 知识点3、补集 3 知识点4、集合基本运算的一些结论 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：交集的定义与基本运算 5 题型二：并集的定义与基本运算 6 题型三：补集的定义与基本运算 6 题型四：集合交并补混合运算 7 题型五：根据集合运算求参数取值 9 题型六：韦恩图在集合问题中的运用 11 题型七：容斥原理的实际解题应用 13 题型八：集合新定义类问题 14 04 过关测试 17 知识点1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 知识点2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 知识点3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 知识点4、集合基本运算的一些结论 ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 题型一：交集的定义与基本运算 【例1】（25-26高一下·湖南株洲·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则. 【变式1-1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，所以， 由，得，所以， 所以. 【变式1-2】（2026·云南·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，则. 【变式1-3】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知集合， 集合，即. 因此. 题型二：并集的定义与基本运算 【例2】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 在数轴上表示出集合，如图， 由图知. 【变式2-1】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知集合， ， ． 【变式2-2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知， ． 【变式2-3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以. 题型三：补集的定义与基本运算 【例3】（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，则， 所以. 【变式3-1】（23-24高一上·河北唐山·期中）设全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】全集，集合， 则. 【变式3-2】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知全集， 则. 【变式3-3】（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 【答案】B 【解析】依题意，， 故，则的真子集个数为． 题型四：集合交并补混合运算 【例4】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【解析】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 【变式4-1】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 【解析】（1）易知，又， 所以； （2）易知或，； 因此或. 【变式4-2】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 【解析】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. （2）依题意：或，或， 所以． 【变式4-3】（25-26高一上·广西梧州·期末）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 【解析】（1）集合，， 利用数轴分别表示出全集及集合，，如下图： 则， . （2）依题意可得， ， 所以， . 题型五：根据集合运算求参数取值 【例5】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 【变式5-1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 【变式5-2】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 【变式5-3】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 题型六：韦恩图在集合问题中的运用 【例6】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =_____________ 【答案】 【解析】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【答案】 【解析】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26高一上·新疆·期中）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为__________. 【答案】 【解析】因为全集，集合，，则， 由图可知，阴影部分区域所表示的集合为. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知全集，集合，，或，那么阴影部分表示的集合为_____．    【答案】 【解析】由图知，阴影部分为，而，又， 所以. 故答案为： 题型七：容斥原理的实际解题应用 【例7】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【答案】8 【解析】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 【变式7-1】（25-26高一上·河南南阳·期中）某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有__________名同学. 【答案】55 【解析】 由图可得这个班共有学生人. 故答案为：55. 【变式7-2】（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 【答案】5 【解析】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示， 则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人． 故答案为：5. 【变式7-3】某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【解析】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 题型八：集合新定义类问题 【例8】（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【解析】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 【变式8-1】已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设证明：若则. 【解析】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，则有个非空真子集. （2）因为，所以设，， 所以， 而，，则，得证. 【变式8-2】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，集合，且中恰有2个元素，定义，写出的全部子集. 【解析】由集合且中恰有2个元素，得，， 又，则，， 又，则， 所以的全部子集为：， . 【变式8-3】（24-25高一下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【解析】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以. 2．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）设全集，集合，则的子集个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为， 所以，所以的子集个数为. 3．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 4．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，， ∴，则． 故选：C. 5．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【解析】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 6．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】联立可得， 若方程组无解，则，所以． 故选：A． 7．（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，集合中没有元素，，故AC错误； 若，则， 又，则，不符合题意，排除选项B， 若，则， 又，则，符合，故D正确． 故选：D 8．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D 【解析】②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合上的一个拓扑； ③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合上的一个拓扑； ④中，故④不是集合上的一个拓扑； 因此集合上的拓扑的集合的序号是②③. 故选：D． 9．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】AC 【解析】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 11．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 【答案】 【解析】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性， 所以或， 解得，此时，符合题意，故 12．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）集合，若且，则的取值为_________． 【答案】 【解析】由集合， 因为，则或，解得或或， 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，满足. 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海·期中）设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 【答案】 【解析】由题可得，解得，则， 由，设，则，所以，又因为，，所以， 因为共个相同元素， 所以满足但的元素的个数为个. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【解析】（1）若选，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， （2）当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 15．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； （2），或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，集合，， (1)当时，求，； (2)若，求m的取值范围． 【解析】（1）由题设，，则或， 所以，； （2）由，若，则，满足题意； 若，则，可得， 综上，或. 17．设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合的基本运算 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点1、并集 3 知识点2、交集 3 知识点3、补集 3 知识点4、集合基本运算的一些结论 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：交集的定义与基本运算 5 题型二：并集的定义与基本运算 5 题型三：补集的定义与基本运算 6 题型四：集合交并补混合运算 6 题型五：根据集合运算求参数取值 7 题型六：韦恩图在集合问题中的运用 8 题型七：容斥原理的实际解题应用 9 题型八：集合新定义类问题 9 04 过关测试 12 知识点1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 知识点2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 知识点3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 知识点4、集合基本运算的一些结论 ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 题型一：交集的定义与基本运算 【例1】（25-26高一下·湖南株洲·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·云南·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：并集的定义与基本运算 【例2】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，集合（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 题型三：补集的定义与基本运算 【例3】（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·河北唐山·期中）设全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 题型四：集合交并补混合运算 【例4】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【变式4-1】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 【变式4-2】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 【变式4-3】（25-26高一上·广西梧州·期末）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 题型五：根据集合运算求参数取值 【例5】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【变式5-1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【变式5-2】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【变式5-3】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 题型六：韦恩图在集合问题中的运用 【例6】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =_____________ 【变式6-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【变式6-2】（25-26高一上·新疆·期中）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为__________. 【变式6-3】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知全集，集合，，或，那么阴影部分表示的集合为_____．    题型七：容斥原理的实际解题应用 【例7】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【变式7-1】（25-26高一上·河南南阳·期中）某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有__________名同学. 【变式7-2】（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 【变式7-3】某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 题型八：集合新定义类问题 【例8】（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【变式8-1】已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设证明：若则. 【变式8-2】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，集合，且中恰有2个元素，定义，写出的全部子集. 【变式8-3】（24-25高一下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）设全集，集合，则的子集个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 3．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 6．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D．2 7．（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合 （ ） A． B． C． D． 8．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（   ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 9．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选题）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 11．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 12．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）集合，若且，则的取值为_________． 13．（25-26高一上·上海·期中）设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 14．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 15．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，集合，， (1)当时，求，； (2)若，求m的取值范围． 17．设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $