第01讲 集合的概念【从0到1的暑假自学手册】-2026年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

从0到1的暑假自学手册 第01讲 集合的概念 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 考点1 判断所给对象能否构成集合 考点2 元素与集合关系的判断与应用 考向1：判断是否同一集合；考向2：判断元素与集合的关系；考向3：根据元素与集合的关系求参数 考点3 元素的特征 考向1：互异性的运用；考向2：集合中元素互异性求参数范围 考点4 求集合元素的个数 考向1：求集合元素的个数；考向2：根据集合元素的个数求参数 考点5 用列举法和描述法表示集合 考向1：列举法；考向2：描述法 04 过关检测 知识点1：集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 （1） ：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2） ：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3） ：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1） ：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2） ：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3） ：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 知识点2：元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a 集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*（或N＋） Z Q R 知识点3：集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做 ． 注意：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为 ．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称 ，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【特别提醒】用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合．如集合表示函数的定义域；集合表示函数的值域；集合表示函数的点集；集合表示方程的解集. 考点1 判断所给对象能否构成集合 【例1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【变式1】下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【变式2】下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2026级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2026级幽默的学生 C．深圳中学高中园2026级所有女生 D．深圳中学高中园2026级学生感兴趣的学科 【变式3】（多选）下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 考点2 元素与集合关系的判断与应用 考向1：判断是否同一集合 【例2】下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 考向2：判断元素与集合的关系 【例3】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考向3：根据元素与集合的关系求参数 【例4】已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5】设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【变式6】用符号或填空： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______； （5）______. 考点3 集合中元素互异性求参数范围 考向1：互异性的运用 【例5】若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 考向2：集合中元素互异性求参数范围 【例6】若，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【变式1】下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，且，则实数的值为______________． 考点4 求集合元素的个数 考向1：求集合元素的个数 【例7】已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 考向2：根据集合元素的个数求参数 【例8】如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【变式1】集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【变式2】集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【变式3】（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式4】已知集合. （1）若，求集合； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 考点5 用列举法和描述法表示集合 考向1：列举法 【例9】用列举法表示集合. 考向2：描述法 【例10】用描述法表示下列集合： （1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合； （2）正偶数组成的集合； （3）函数的图象上所有的点组成的集合． 【变式1】（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【变式2】把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； （5）由方程的所有整数解组构成的集合． 【变式3】用列举法表示下列集合： （1）小于的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合； （3）大于1且小于的所有偶数组成的集合； （4）由1~15以内的所有质数组成的集合． 考点1 判断所给对象能否构成集合 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2026年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 3．下列各项中能表示集合的是（    ） A．温柔的老师 B．所有偶数 C．漂亮的花朵 D．好玩的玩具 考点2 元素与集合关系的判断与应用 4．（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 8．（判断）集合与集合表示同一个集合．( ) 9．已知集合． （1）求 满足的条件； （2）若，求 的值. 考点3 元素的特征 10．（多选）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 12．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，且，求实数的值. 14．已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 考点4 求集合元素的个数 15．已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 16．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 18．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 考点5 用列举法和描述法表示集合 20．用描述法表示下列集合： （1）； （2）36的所有整因数组成的集合； （3）二次函数的函数值组成的集合； （4）反比例函数的自变量组成的集合； （5）不等式的解集； （6）被9除余2的所有整数组成的集合. 21．用列举法表示下列集合： （1）方程的解组成的集合； （2）函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 1．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 3．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．设，集合，若，则______. 5．给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集合，则原来的五个数是___________． 6．已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数取值范围. 7．已知实数集，定义. （1）若，求； （2）若均为正数，，求的元素个数的取值范围； （3）若，求集合. 1 学科网（北京）股份有限公司 $从0到1的暑假自学手册 第01讲 集合的概念 内容导航 01 知识导航 02 知识溯源 03 新知讲解 考点1 判断所给对象能否构成集合 考点2 元素与集合关系的判断与应用 考向1：判断是否同一集合；考向2：判断元素与集合的关系；考向3：根据元素与集合的关系求参数 考点3 元素的特征 考向1：互异性的运用；考向2：集合中元素互异性求参数范围 考点4 求集合元素的个数 考向1：求集合元素的个数；考向2：根据集合元素的个数求参数 考点5 用列举法和描述法表示集合 考向1：列举法；考向2：描述法 04 过关检测 知识点1：集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 知识点2：元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*（或N＋） Z Q R 知识点3：集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【特别提醒】用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合．如集合表示函数的定义域；集合表示函数的值域；集合表示函数的点集；集合表示方程的解集. 考点1 判断所给对象能否构成集合 【例1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 【变式1】下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 【变式2】下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2026级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2026级幽默的学生 C．深圳中学高中园2026级所有女生 D．深圳中学高中园2026级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2026级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 【变式3】（多选）下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 考点2 元素与集合关系的判断与应用 考向1：判断是否同一集合 【例2】下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 考向2：判断元素与集合的关系 【例3】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 考向3：根据元素与集合的关系求参数 【例4】已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得集合的元素为，不在集合中，因此不可能为3. 【变式1】下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 【变式2】下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 【变式3】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 【变式4】已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 【变式5】设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【分析】先求得集合，由此求得. 【详解】解方程，因式分解得， 解得或故. 由得或. 【变式6】用符号或填空： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 考点3 集合中元素互异性求参数范围 考向1：互异性的运用 【例5】若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 【答案】C 【分析】由集合中元素的互异性即可得解. 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 考向2：集合中元素互异性求参数范围 【例6】若，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】因为，所以或， 若，则，不满足元素的互异性，排除； 若，则或1（舍去），，此时集合为，符合题意， 故选：C 【变式1】下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，根据集合的定义及表示方法可知A正确 对于B，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故B错误 对于C，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故C错误 对于D，表示集合的符号使用错误，对于有，，共个元素的集合表示为，故D错误． 【变式2】定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【详解】， 由题意得. 故选：C 【变式3】已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 考点4 求集合元素的个数 考向1：求集合元素的个数 【例7】已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 考向2：根据集合元素的个数求参数 【例8】如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 【变式1】集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 【变式2】集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】B 【分析】根据题意先求出，进而求出即可. 【详解】由题意有：，又，所以， 所以或或， 所以，所以中的元素个数为3个， 故选：B. 【变式3】（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 【变式4】已知集合. （1）若，求集合； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 考点5 用列举法和描述法表示集合 考向1：列举法 【例9】用列举法表示集合. 【答案】 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有， 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是． 所以． 考向2：描述法 【例10】用描述法表示下列集合： （1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合； （2）正偶数组成的集合； （3）函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 【变式1】（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 【变式2】把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； （5）由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 【变式3】用列举法表示下列集合： （1）小于的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合； （3）大于1且小于的所有偶数组成的集合； （4）由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 考点1 判断所给对象能否构成集合 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2026年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 3．下列各项中能表示集合的是（    ） A．温柔的老师 B．所有偶数 C．漂亮的花朵 D．好玩的玩具 【答案】B 【分析】由集合中元素的确定性判断. 【详解】由集合的性质可知，B中所有偶数都是确定的，可以构成集合. 而ACD中研究对象都不确定，不能构成集合. 故选：B 考点2 元素与集合关系的判断与应用 4．（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 5．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 6．已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解不等式的解集，再判断即可. 【详解】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 7．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 8．集合与集合表示同一个集合．( ) 【答案】正确 【分析】解出集合中的元素，与集合中元素比较. 【详解】因为集合， 所以集合A和集合B表示同一个集合. 故答案：正确. 9．已知集合． （1）求 满足的条件； （2）若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 考点3 元素的特征 10．（多选）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据集合元素的互异性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据元素互异性且，即且， 根据选项知符合条件. 11．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 12．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 13．已知集合，且，求实数的值. 【答案】 【详解】由得，解得， 此时集合 满足元素互异性，符合题意. 14．已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 【答案】 【分析】分、两种情况进行讨论，结合集合中的元素满足互异性可求得实数的值. 【详解】因为，且， 若，可得，则，此时集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，即，即，解得或（舍）， 当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意. 综上所述，. 考点4 求集合元素的个数 15．已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 16．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题意得集合，故集合的元素个数为5. 17．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 18．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 19．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 考点5 用列举法和描述法表示集合 20．用描述法表示下列集合： （1）； （2）36的所有整因数组成的集合； （3）二次函数的函数值组成的集合； （4）反比例函数的自变量组成的集合； （5）不等式的解集； （6）被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 21．用列举法表示下列集合： （1）方程的解组成的集合； （2）函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 1．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 2．（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 3．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 4．设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 5．给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集合，则原来的五个数是___________． 【答案】18，20，24，24，30或19，21，21，25，31． 【分析】从题目中这些和构成的集合为，分析出这5个数中必有两个数相等，使得这两个数对应的和相同且必须能被4整除，即这两个数对应的和只能为92或96，再分两种情况分别求出这5个数即可. 【详解】设这5个正整数为，它们的总和为． 任取4个数求和，得到的和分别为， 所以这5个和的总和为． 因为这些和构成的集合为，只有4个元素，说明必有两个数相等， 使得这两个数对应的和是相同的. 因为，由于其中一个和被重复计算了一次， 所以. 因为必须是整数，所以必须能被4整除. 因为，余数为0，所以也必须能被4整除. 在集合中，能被4整除的数为92和96，所以分两种情况： 情况一，92重复.，解得. 此时五个数分别为． 即这5个数为18，20，24，24，30； 情况二：96重复.，解得. 此时五个数分别为. 即这5个数为19，21，21，25，31，两组解均满足题意． 6．已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 7．已知实数集，定义. （1）若，求； （2）若均为正数，，求的元素个数的取值范围； （3）若，求集合. 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据集合中的元素具有互异性，分类讨论互不相等且不成比例和中存在比例关系，求的元素个数的取值范围. （3）根据可得，然后分中个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； 【详解】（1）根据题意可得. （2）若均为正数，，集合中的元素具有互异性， 不妨设，则，故中至少有5个元素， 而中共有对不同的元素，因此最多有6个不同的乘积. 取,此时，此时的元素个数， 取，则，此时的元素个数， 故的元素个数的取值范围为， （3）若，可得， 其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者 ①当时， 则，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到， 进而，从而. 所以或者. 1 学科网（北京）股份有限公司 $