山东省泰安市泰山区2025-2026学年高一下学期期末备考特训自编数学试题

**基本信息** 山东省泰安市泰山区2026年高一下学期期末备考特训卷，涵盖向量、复数、统计等模块，通过翻折问题（如解答题19）考查空间观念，以“文、明、中、国”随机模拟（单选题7）渗透文化传承，注重数学思维与现实情境结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量概念、复数运算、统计量|结合“文、明、中、国”随机模拟，培养数据意识| |多选题|3/18|解三角形、空间线面关系|考查推理能力，如异面直线与平面关系判断| |填空题|3/15|复数几何意义、向量投影|注重基础概念应用，如向量在方向上的投影| |解答题|5/77|立体几何翻折、统计直方图|通过读书活动频率分布（题18）强化数学语言表达，翻折问题（题19）提升空间观念|

山东省泰安市泰山区2026年高一下学期期末备考特训 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）下列说法正确的是（     ） A．向量与向量是相等向量． B．向量的模是一个正实数． C．与实数类似，对于向量，有，，三种关系． D．若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合． 2．（本题5分）已知复数，，则的值为（　　） A．5 B． C． D．13 3．（本题5分）已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ） A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4 4．（本题5分）已知向量，，，则（   ） A． B．4 C． D．1 5．（本题5分）若随机事件，满足，，P（AB）=，则（　　） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知a，b为异面直线， ， 为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（     ） A．对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B．对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直 C．若，，则 D．若，则 11．（本题6分）某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）在复平面内，对应的点位于第________象限. 13．（本题5分）设向量满足且，则向量在方向上的投影是__________． 14．（本题5分）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知均为单位向量，且． (1)求； (2)求向量与的夹角. 16．（本题15分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 17．（本题15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若，求的值. 18．（本题17分）习总书记说：“要发扬“挤”和“钻”的精神，多读书，读好书，从书本中汲取智慧和营养”.现吉安市某地区开展读书活动，有2000名参与者，调查他们每个月的阅读时长（单位：），得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，） (1)等于多少？ (2)估计参与活动的读者每月的阅读时长的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）. (3)若阅读时长在前15%的读者被认定为“优秀读者”，通过频率分布直方图，估计阅读时长至少为多少小时，才能被认定为“优秀读者”. 19．（本题17分）如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年高一下学期期末备考特训》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B C D B D AD BC 题号 11 答案 AB 1．D 【详解】对于A，因为向量与向量是相反向量，不是相等向量，故A错误； 对于B，因为向量的模是一个非负实数，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，但两个向量不能比较大小，故C错误； 对于D，若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，故D正确. 2．C 【详解】因为，， 所以， 则． 3．A 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. 4．B 【详解】已知向量，，则， ， 由，可得，即， 可得，则. 5．C ． 6．D 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可. 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 7．B 【分析】利用频率估计概率的方法求解. 【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 8．D 【分析】根据面面垂直的判定与性质、二面角的余弦值等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 9．AD 【分析】由正弦定理，对进行边角互化，结合的取值范围得，再利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得为锐角，利用诱导公式、同角三角函数关系及正弦函数的单调性，可得，判断A；求出，判断B；求出判断C，D. 【详解】因为，所以，根据正弦定理边角互化得， 因为，，所以，即， 所以，即. 由余弦定理可知，，故， 若，则，注意到， 所以，（两者同负会有两个钝角，不成立），即，， 因为，，都是锐角， 所以， 于是，这和相矛盾， 故不成立，所以． 所以，，， 所以，故A选项正确； ，即， 所以或，即或， 当时，，； 当时，，，故B选项错误； 因为的面积为， 所以，当，时，，，， 解得，，； 当，时，，，， 解得，，， 故C选项错误，D选项正确． 10．BC 【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，则或，与矛盾，所以A选项错误. B选项，如图所示，过上一点，作，则确定一个平面，设这个平面为， 对任意一点，都可以作平面的一条垂线，设垂线为，则, 所以，所以B选项正确.    C选项，假设平面，由，得；由，得， 推得，与为异面直线矛盾，故无交线，即，C正确. D选项，构造反例：取平面，在内作直线，内作直线，令，此时两平面平行不垂直，故D错误. 11．AB 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数；对D ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再用插值法计算. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误； 对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误； 故选：AB. 12．四 【分析】根据复数的乘法运算，求出复数的实部和虚部，再根据复数与复平面内点的对应关系，判断结果. 【详解】由题意得，复数在复平面内的对应点的坐标为，该点在第四象限. 故答案为：四. 13． 【分析】利用投影公式即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 则向量在向量方向上的投影为. 14． 【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点， 即上、下底面中心，是正四棱台的高，． ，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接， 则，， 若在线段上（如图），由得， 因为，，所以方程无实数解； 因此在的延长线上（如图），即在平面下方， 因此有，解得， 所以球表面积为． 15．(1) (2). 【分析】（1）利用两边平方计算出，再计算，从而计算出； （2）利用向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）由均为单位向量，则， 由，即，得， 故； （2）， 由（1）知，，所以， 又， 故与的夹角为. 16．(1) (2) 【分析】（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数，即事件“为实数”的概率为； （2）由题意，结合复数模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率. 【详解】（1）若为实数，即为实数，所以， 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6， 故出现的概率为， 即事件“为实数”的概率为. （2）由已知， 可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又，的取值情况共有种， 故事件“”的概率为. 17．(1) (2) 【分析】（1） 应用两角和的正弦公式，再应用正弦定理计算求解； （2）应用正弦定理结合诱导公式计算求解边长比. 【详解】（1）， 由正弦定理，， 得. （2）由正弦定理及， 得， 即， 又， 所以， 所以，即. 18．(1)； (2)65.2 h； (3)86.25 h. 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到方程，解出即可； （2）根据频率分布直方图中平均数计算公式即可得到答案； （3）首先确定时长所处区间，再列方程求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）设阅读时长的平均数为， 则， 即估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数为65.2h． （3）设阅读时长至少为，才能被认定为＂优秀读者＂． 因为， 所以，解得， 所以估计阅读时长至少为86.25h，才能被认定为＂优秀读者＂． 19．(1)证明见解析； (2)； (3)； 【分析】(1)通过计算线段长度，利用勾股定理证明线面垂直，进而证明面面垂直； (2)采用等体积法，通过转换顶点求点到平面的距离； (3)利用面面垂直的性质找到线面角的平面角，再通过三角函数关系求解余弦值即可. 【详解】（1）在直角中，，，， 所以， 因为为中点，所以， 取AD的中点为E，连接PE，CE， 由为边长为2的等边三角形得，， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以，即， 又因为，且，所以平面 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知，平面，则， 所以， 在中，，，， 由余弦定理，， 所以， ， 因为，则点D到面的距离为； （3）过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知 因为平面平面，且平面平面，，所以平面， 故为直线PC与平面PAD所成角， 在中，，， ， 在中，，， 由勾股定理：， ， 即直线PC与面PAD所成角的余弦值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $