精品解析：山东泰安市新泰市第一中学东校2025-2026学年高一下学期第二次质量检测数学试题

山东泰安市新泰市第一中学东校2025-2026学年高一下学期第二次质量检测数学试题 2026.06 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3i 2. 某羽毛球俱乐部有A队和 队，其中队有 名学员， 队有 名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为 的样本，已知从 队中抽取了 名学员，则 的值为（ ） A. 40 B. 35 C. 25 D. 20 3. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 4. 如图，已知 中，为 的中点，，若，则 A. B. C. D. 5. 已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（ ） A. 8 B. 64 C. D. 33 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（ ） A. 与互斥 B. 和是对立事件 C. 和相互独立 D. 和相互独立 8. 如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 10. 如图是某企业 年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55.5 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥 中，为底面正方形的中心， 分别为侧棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与直线所成角的大小为90° D. 设平面底面，则二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从 ， ，， ， 中随机选 个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________． 13. 如图，测量河对岸塔楼的高度 时，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，， 米，在点测得塔顶的仰角，则塔高 为_____________米． 14. 已知向量与的夹角为，，若，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知为虚数单位，复数． （1）当实数 取何值时，是纯虚数； （2）当 时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 16. 从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组的频率； （2）估计该校男生身高的中位数； （3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 17. 如图，在中， ，，，E，F，G分别为中点. （1）质点的初始位置在A处，每次等可能在相邻点间沿图中连线移动.求质点经过2次移动后到达E的概率； （2）将，，分别沿折起，使得点A，B，C重合于点P，质点的初始位置在P处，每次移动到距离为2，3，4的相邻点的概率分别为，，.求质点经过3次移动后回到P的概率. 18. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 19. 如图所示，在矩形中， ，为的中点，以为折痕，把 折起到 的位置，使平面 平面 . （1）求证： ； （2）求四棱锥 的体积； （3）在棱上是否存在一点，使得 ∥平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东泰安市新泰市第一中学东校2025-2026学年高一下学期第二次质量检测数学试题 2026.06 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3i 【答案】B 【解析】 【分析】首先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则的虚部为， 故选：. 2. 某羽毛球俱乐部有A队和队，其中队有 名学员，队有 名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了 名学员，则的值为（ ） A. 40 B. 35 C. 25 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】根据分层抽样可得，解得 ． 3. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】C 【解析】 【分析】ABD都可以举出反例；C可以利用线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理综合证明. 【详解】对于A：当直线在平面内时，即 ，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误； 对于B：当 时，若，则，此时，不成立，故B错误； 对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知 且，又，所以，而 ，所以，故C正确； 对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误. 故选：C. 4. 如图，已知 中，为的中点，，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值. 【详解】因为， 所以，.故. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析. 5. 已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（ ） A. 8 B. 64 C. D. 33 【答案】A 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意，样本数据的方差为16， 则样本，，，…，的方差为， 所以样本，，，…，的标准差为 ． 故选：A 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 7. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（ ） A. 与互斥 B. 和是对立事件 C. 和相互独立 D. 和相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由互斥事件定义判断A，由对立事件定义判断B，由独立事件定义判断CD. 【详解】由题意， 对于A，，故A正确； 对于B，由题意，且，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 8. 如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点 ，连接，，， 根据长方体的结构特征，易得，， 因为平面 ，平面 ， 故 平面 ，同理平面 ， 又，，平面， 所以平面平面 ，又平面 ，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 因为，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 10. 如图是某企业 年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55.5 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 【答案】AD 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差、标准差公式和折线图，逐项判断即可. 【详解】将这组数据按照从小到大排列为：52，52，53，54，55，56，56. A项，这组数据的中位数为54，平均数为 ，中位数等于平均数，故A正确； B项， ，则这组数据的第60百分位数为55，故B错误； C项，根据折线图可知，第5年（2022年）的污水净化量小于第4年（2021年）的污水净化量，故C错误； D项，2018年的污水净化量数据是这组数据的最小值，去掉此数据后，新数据分布更集中，即数据的标准差会变小，故D正确. 11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥 中， 为底面正方形的中心， 分别为侧棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与直线所成角的大小为90° D. 设平面底面，则二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，利用线线平行可判断A；利用勾股定理的逆定理可判断B；可得，进而得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，求解即可判断C；可证平面平面 ，进而二面角与二面角相等，求解可判断D. 【详解】连接，因为 为底面正主形的中心，所以 是的中点，又为侧棱 的中点， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以， 又，所以，故B正确. 由于 分别为侧棱的中点，所以. 又四边形为正方形，所以，所以， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即. 又 为等边三角形，所以，故C错误. 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又，平面 ，平面 ，所以平面 ， 又，平面，所以平面平面 ， 二面角与二面角相等， 连接 ，取的中点，连接， 因为，所以， 因为四棱锥 是正四棱锥， 为底面正方形的中心，所以平面， 又 平面，所以，又，平面， 所以 平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 设正四棱锥 的棱长为2，则，， 所以， 所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从，，，， 中随机选个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法表示古典概型的概率. 【详解】从，，，， 中随机选个不同的数， 有，，，，，，，，，，共种情况； 其中满足和为偶数的有，，，，共 种情况， 即概率为， 故答案为：. 13. 如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，， 米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 14. 已知向量与的夹角为，，若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，然后对两边平方，并等价转化为，恒成立，计算即可. 【详解】由题可知：不为零向量，， 化简为，所以，恒成立， 所以，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知为虚数单位，复数． （1）当实数取何值时，是纯虚数； （2）当 时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列方程组求解即可； （2）当 时，，再将其代入方程，利用复数相等列方程组，解得参数即可. 【小问1详解】 若复数z是纯虚数，则， 解得， 所以得. 【小问2详解】 当 时，， 把代入方程， 得， 整理得，， 所以，解得. 16. 从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组的频率； （2）估计该校男生身高的中位数； （3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求解； （2）利用频率分布直方图中中位数两侧矩形的面积和（频率）各点50%求解； （3）用列举法写出基本事件，由古典概型概率公式计算. 【小问1详解】 因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为：， 则第六组的频率为 【小问2详解】 由图知：身高在的频率为， 身高在的频率为， 身高在的频率为， 因为， 所以设这所学校男生的身高中位数为，则， 由，得， 所以这所学校男生身高的中位数为174.5. 【小问3详解】 样本身高在第六组的人数为，设为， 样本身高在第六组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名男生有：共15种情况，即， 当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生， 所以事件包含的基本事件为共8种情况，即， 根据古典概型概率公式得. 17. 如图，在中， ，，，E，F，G分别为中点. （1）质点的初始位置在A处，每次等可能在相邻点间沿图中连线移动.求质点经过2次移动后到达E的概率； （2）将，，分别沿折起，使得点A，B，C重合于点P，质点的初始位置在P处，每次移动到距离为2，3，4的相邻点的概率分别为，，.求质点经过3次移动后回到P的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）质点经过2次移动后到达E只有两条路径，或，由独立乘法、互斥加法公式即可求解； （2）质点经过3次移动后回到P的路径共有6条，分别是：，，由独立乘法、互斥加法公式即可求解. 【小问1详解】 质点经过2次移动后到达E只有两条路径，或， 由题意第一次运动到的概率都是， 若第二次如果是从出发，则终点可能是， 所以此时运动到点的概率为， 若第二次如果是从出发，则终点可能是， 所以此时运动到点的概率为， 故所求概率为； 【小问2详解】 如图所示， 质点经过3次移动后回到P的路径共有6条，分别是：，， 这六条路径的共同特征是，都包含了边长为的线段各一条， 而每次移动到距离为2，3，4的相邻点的概率分别为，，， 故所求概率为. 18. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果； （2）解法一：由结合辅助角公式化简可求出，则可得为等腰三角形，再由三角形的面积可求出 ，在中利用余弦定理可求得结果；解法二：同解法一求出 ，然后利用余弦定理求出，再利用极化恒等式可求得结果；解法三：同解法一求出 ，同解法二求出，然后利用平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍求解. 【小问1详解】 因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：因为， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以. 故. 所以， 所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 即. 解法二： 因为 ， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以 . 故. 所以， 所以. 由余弦定理得：，所以 ， 又 由极化恒等式得： 所以 ，所以 解法三： 因为 ， 所以，则 即 又，所以，则 ，所以 . 故 . 所以 ， 所以 . 由余弦定理得： ，所以 由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得 所以 所以 19. 如图所示，在矩形中， ，为的中点，以为折痕，把 折起到 的位置，使平面 平面. （1）求证： ； （2）求四棱锥 的体积； （3）在棱上是否存在一点，使得 ∥平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：根据题意可知，在矩形中， 和为等腰直角三角形，所以∠DEA＝∠CEB＝45°，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE. 因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面 平面ABCE＝AE， 平面ABCE，所以BE⊥平面D'AE. 因为 平面D'AE，所以AD'⊥BE. （2） （3）存在，EP＝ED'. 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理，证明BE⊥平面D'AE，即可证出AD'⊥BE； （2）由面面垂直的性质定理可知，线面垂直，从而证明D'F⊥平面ABCE，即D'F为面ABCE上的高，再利用锥体的体积公式求解即可； （3）假设存在点，利用线面平行的性质定理，即可求出点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，取AE的中点F，连接D'F，则D'F⊥AE， 且， 因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面 平面ABCE＝AE，D'F⊂平面D'AE， 所以D'F⊥平面ABCE， 所以VD'-ABCE＝S四边形ABCE·D'F＝××（1＋2）×1×＝. 【小问3详解】 存在. 连接AC交BE于点Q，假设在D'E上存在点P，使得D'B∥平面PAC，连接PQ， 因为 平面D'BE，平面 平面PAC＝PQ，所以D'B∥PQ， 所以在△EBD'中，， 因为△CEQ∽△ABQ，所以， 所以，即EP＝ED'， 所以在棱ED'上存在一点P，使得D'B∥平面PAC，且EP＝ED'. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $