第八章 立体几何初步期末限时小卷（一）2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何初步核心知识，通过多样化题型构建空间位置关系、空间角及几何体度量的逻辑训练体系，强化空间观念与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间位置关系|单选1-3、多选5-6|概念辨析与命题判断|从线面关系到面面关系的层级推导，强化平行垂直判定定理应用| |空间角计算|填空7-8、解答题9(2)|定量计算与推理|基于异面直线所成角定义，转化为平面角求解，体现几何直观| |几何体体积表面积|单选4、解答题10(1)|体积表面积综合应用|圆锥体积与侧面积公式结合空间转换，培养模型意识|

2026年高一数学必修第二册第八章立体几何初步限时小卷（一） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第八章 立体几何初步。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，则“”是“”的． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.设，为两个平面，，为两条直线，且，下述四个命题： 若，则或若，则或 若且，则若与，所成的角相等，则． 其中所有真命题的编号是     ． A. B. C. D. 3.如图，在四面体中，，，平面平面，为线段的中点，则下列结论错误的是． A. B. 平面 C. D. 平面 4.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的中间衔接的细管长度忽略不计细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为    ． A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在正三棱柱中，为的中点，则     ． A. B. 平面 C. 平面 D. 6.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则     ． A. 直线与是相交直线 B. 直线与是平行直线 C. 直线与是异面直线 D. 直线与是异面直线 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正弦值为           ． 8.如图，正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为，是的中点． 求证：平面； 求异面直线与所成角的正弦值． 10.本小题分 如图，在正方体中，为的中点． 求三棱锥的体积； 求证：平面； 若为的中点，求证：平面平面． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学必修第二册第八章立体几何初步限时小卷（一） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第八章 立体几何初步。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，则“”是“”的． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.设，为两个平面，，为两条直线，且，下述四个命题： 若，则或若，则或 若且，则若与，所成的角相等，则． 其中所有真命题的编号是     ． A. B. C. D. 3.如图，在四面体中，，，平面平面，为线段的中点，则下列结论错误的是． A. B. 平面 C. D. 平面 4.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的中间衔接的细管长度忽略不计细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为    ． A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在正三棱柱中，为的中点，则     ． A. B. 平面 C. 平面 D. 6.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则     ． A. 直线与是相交直线 B. 直线与是平行直线 C. 直线与是异面直线 D. 直线与是异面直线 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正弦值为           ． 8.如图，正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为，是的中点． 求证：平面； 求异面直线与所成角的正弦值． 10.本小题分 如图，在正方体中，为的中点． 求三棱锥的体积； 求证：平面； 若为的中点，求证：平面平面． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学必修第二册第八章立体几何初步限时小卷（一） 全 解 全 析 （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第八章 立体几何初步。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，则“”是“”的． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】  若，由可知成立，若，则或与相交，故不一定有，所以“”是“”的充分不必要条件故选A． 2.设，为两个平面，，为两条直线，且，下述四个命题： 若，则或 若，则或 若且，则 若与，所成的角相等，则． 其中所有真命题的编号是    ． A. B. C. D. 【答案】A  3.如图，在四面体中，，，平面平面，为线段的中点，则下列结论错误的是． A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】C  4.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的中间衔接的细管长度忽略不计细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为    ． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】细沙在上面的圆锥内时的体积，细沙流入下面后的圆锥形沙堆的底面半径为，设其高为，则，得，所以细沙流入下面后的圆锥形沙堆的母线长，故此沙堆的侧面积故选D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在正三棱柱中，为的中点，则    ． A. B. 平面 C. 平面 D. 【答案】BC  6.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则    ． A. 直线与是相交直线 B. 直线与是平行直线 C. 直线与是异面直线 D. 直线与是异面直线 【答案】CD  【解析】因为点在平面外，点在平面内，直线在平面内，不过点，所以直线与是异面直线，故A错误取的中点，连接图略，则，但与相交，所以与不平行，故B错误因为点与直线都在平面内，点在平面外，不过点，所以与是异面直线，故C正确同理D正确故选CD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正弦值为          ． 【答案】  8.如图，正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了异面直线的夹角，考查了学生的空间想象能力，是基础题． 取的中点，连接，，，所以，所以异面直线与所成角为或其补角，再利用余弦定理求解即可． 【解答】 解：取的中点，连接，，，如图所示， ，，且，， 所以且， 四边形为平行四边形， ， 异面直线与所成角为或其补角， 设正方体的棱长为，则，，， 在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值是． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为，是的中点． 求证：平面； 求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】解：连接，设与交点为，连接， 四边形为正方形， 是的中点， 是的中点， ． 又平面，平面， 平面 ， 是异面直线与所成的角， 直三棱锥各棱长均为， ，． ，， ，， 中，由余弦定理得， ， 异面直线与所成角的正弦值是   【解析】本题考查了线面平行的判定定理，异面直线所成的角问题，属于基础题． 用线面平行的判定定理进行证明 先判断得就是异面直线与所成的角，再进行求解． 10.本小题分 如图，在正方体中，为的中点． 求三棱锥的体积； 求证：平面； 若为的中点，求证：平面平面． 【答案】解： 正方体中，为的中点， 底面， 故三棱锥的体积 ； 证明：如图，连接交于点， 是的中点，是的中点，， 平面，平面， 平面； 证明：是的中点，是的中点， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面，由知平面， ， 平面平面．  【解析】本题考查线面平行和面面平行的判定定理，棱锥的体积，属于基础题． 根据条件可得出三棱锥的高为，底面的面积为，然后根据三棱锥的体积公式求出体积即可； 连接交于点，先证明，然后根据线面平行的判定定理即可得出平面； 由正方体的结构特征得出，然后得出平面，然后根据面面平行的判定定理得出平面平面． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $