第二十三章《一次函数》 暑假作业 30题 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 八下一次函数暑假单元卷，精选30题分三层次：10道2026中考真题感知考情，10道基础题巩固概念，10道提升题综合应用，助力暑假专项突破数形结合能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|30题（选择14题，填空5题，解答11题）|一次函数图像与性质、平移、实际应用（如销售/行程问题）、几何综合（与四边形/图形变换结合）|真题层融入四川达州密度图像题等中考题，培养数学眼光；基础层聚焦正比例函数定义等概念，夯实运算能力；提升层设计正方形平移等动态问题，发展推理意识与模型观念。|

一次函数 暑假作业30题 一次函数是八下代数核心重点，承接平面直角坐标系、一元一次方程与不等式，支撑反比例函数、二次函数、几何综合大题等后续重难点，也是中考必考核心考点，数形结合分析能力直接影响压轴题得分。 本套暑假作业精选30题，不搞题海战术，分层设置10道2026年中考真题（真题感知）、10道基础题（基础练习）、10道巩固提升题（巩固提高），循序渐进吃透图像与性质、突破数形结合易错点、感受最新中考考情。利用假期专项训练，夯实函数学习基础，稳步提升数形综合解题能力。 1．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ）真题感知 A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 2．（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 3．（2026·天津·中考真题）将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是______． 5．（2026·江苏苏州·中考真题）点在一次函数的图像上，则a的值为_________． 6．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 8．（2026·四川内江·中考真题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？ (3)在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值． 9．（2026·天津·中考真题）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家．小杰从家出发，先匀速骑行了到体育公园，在体育公园停留了，之后匀速骑行了到民俗文化馆，在民俗文化馆停留后，再匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2)当时，请直接写出小杰离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当小杰离开家时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为，小杰的爷爷离家的距离为，当时，求的值（直接写出结果即可）． 10．（2026·山东德州·中考真题）一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量与时间的函数关系式图象如图所示． (1)汽车从出发到加油站行驶了_______小时，在加油站加了_______升汽油； (2)求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量与时间的函数关系式； (3)若目的地距离加油站，汽车的行驶速度为，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 11．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若函数是关于x的正比例函数，则（     ）基础练习 A． B． C． D． 12．（2026·山西长治·三模）根据国际农业研究机构（）及中国农业科学院作物科学研究所的实测数据，在恒温（）、适宜光照和水肥条件下，水稻幼苗在播种后的第4天至第10天的株高增长速率恒定，株高y（）与生长时间x（天）满足一次函数关系，实验小组记录某水稻品种的生长数据如表： 生长时间x（天） 4 5 6 7 8 9 株高y（） 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 则株高y与生长时间x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·吉林长春·模拟预测）已知一次函数（b为常数）的图象经过第四象限，则b的取值范围为（     ） A． B． C． D．无法确定 14．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一次函数 向下平移个单位得到函数 ，则的值为（     ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A． 随的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与轴交于点 D．函数图象与直线平行 16．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，正比例函数与交于点．若一次函数的图象与，可以围成三角形，那么的取值可能是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·云南大理·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象必经过点 B．图像经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 18．（24-25八年级下·福建漳州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． (1)试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当时，求出函数值； (3)在坐标系中画出函数的图像． 19．（2026·河南周口·模拟预测）为落实河南省义务教育阶段劳动教育要求，某中学计划在校园劳动实践基地种植甲、乙两种蔬菜苗．已知每株甲种蔬菜苗比乙种蔬菜苗贵2元，若用180元购买甲种蔬菜苗的数量与用120元购买的乙种蔬菜苗的数量相等． (1)求每株甲种蔬菜苗和每株乙种蔬菜苗各多少元？ (2)该学校计划购进甲、乙两种蔬菜苗共150株，且甲种蔬菜苗的数量不少于乙种蔬菜苗数量的，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用． 20．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知直线与的图象相交于点，且与两直线与轴的交点分别为、． (1)求直线的函数解析式； (2)求 的面积； (3)若直线与、交点分别为、，当时，求值． 21．（2026·河南平顶山·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，平分交x轴于点C，以为边在右侧作正方形，将正方形水平向左平移，当点D恰好落在直线上时，平移的距离为（     ）巩固提高 A．2 B．3 C．4 D．5 22．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 23．（2026·上海静安·三模）将直线 的图像绕原点旋转一周，不会经过的点是（     ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级下·上海·期中）在同一个平面直角坐标系中，乐乐分别画出了四条直线、、与，那么下列说法错误的是（     ） A．如果，，那么这四条直线所围成的四边形一定是平行四边形 B．如果，，那么这四条直线所围成的四边形一定是矩形 C．如果，，，，那么这四条直线所围成的四边形一定是只有一组对边平行的梯形 D．如果，，，那么这四条直线所围成的四边形一定是菱形 26．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，若，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．3 27．（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且，点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若F为直线上一动点，连接，，当时，求点F的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 28．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点B，交y轴于点A，．    (1)如图1，求k的值； (2)如图2，在x轴负半轴上有一点C，且，连接，D为上一点，连接，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，，E为上一点，连接，，点F为x轴上一点，点K为第一象限内的垂直平分线上一点，H为第四象限内一点，连接、、、，，，四边形的面积为36，N为上一点，且，M为上一点，连接、，若，求M点坐标． 29．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D，与直线交于点E， (1)若，点E的横坐标为4． ①求b的值和点D的坐标； ②已知P是坐标平面内一点，连接，，，所得的，的面积分别为，，设；如图2，若点P在直线上运动，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； (2) 如图3，若，将直线沿x轴向左平移2个单位后，与x轴，y轴分别交于A，B两点，O关于A的对称点为F；G为中点，P为直线上的一点，且，求P的横坐标（用含a的代数式表示）． 30．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中．一次函数（）与轴，轴分别交于点，两点，一次函数与轴，轴分别交于点，点，若，且． (1)求直线的函数解析式； (2)点是的中点，连接交于点，在有一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得，直线与直线交于点，直线与直线交于点，当时，请直接写出符合条件的点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数 暑假作业30题 一次函数是八下代数核心重点，承接平面直角坐标系、一元一次方程与不等式，支撑反比例函数、二次函数、几何综合大题等后续重难点，也是中考必考核心考点，数形结合分析能力直接影响压轴题得分。 本套暑假作业精选30题，不搞题海战术，分层设置10道2026年中考真题（真题感知）、10道基础题（基础练习）、10道巩固提升题（巩固提高），循序渐进吃透图像与性质、突破数形结合易错点、感受最新中考考情。利用假期专项训练，夯实函数学习基础，稳步提升数形综合解题能力。 1．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ）真题感知 A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 【答案】A 【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式分别计算两者的密度，再结合图象特征逐项判断； 【详解】解：由图象可知，当时，，，即， A正确； 当时，由图象可知， B错误； 当时，；当时，； ，， ， C、D错误． 2．（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 【答案】 【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到 的取值范围，再根据一次函数的性质得到 的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数 的值，最后相加即可求解． 【详解】解：解方程 ，得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得， ∵一次函数中，函数值随的增大而减小， ∴， 解得， ∴的取值范围是， ∴符合条件的整数为， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 3．（2026·天津·中考真题）将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到的取值范围，写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、二、四象限， ∴，， 解得， 的值可以取，符合题意（答案不唯一）． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数得；图象经过第一、二、三象限，得到，解答即可; 【详解】解：根据题意，得；且， 解得． 5．（2026·江苏苏州·中考真题）点在一次函数的图像上，则a的值为_________． 【答案】 【分析】点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， 将代入，得． 6．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 【答案】 2 或 【分析】根据定义得出所有N点组成的图形为对角线在坐标轴上且对角线的长为2的正方形，进而求得其面积；进而根据，得出Q点运动所覆盖的区域面积，设，分情况讨论，分别画出图形，求得点的坐标，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：①∵ 设 ∴ 当在第一象限时， 即 ∴点在直线上， 同理当在第二象限时， ∴，即点在上， 当在第三象限时，，即点在上， 当在第四象限时，，即点在上， ∴所有N点与坐标轴的交点，，， ∴所有N点组成的图形为正方形，其面积为； ②∵已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上， ∴点在为半径的弧上运动， ∵点Q满足，同①可得点组成的图形是对角线为，且平行于坐标轴的正方形， ∴当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为 设，A是直线（）上一点且位于第一象限， ∴， ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 【答案】322元 【分析】设销售额为，销量为，由图象先可得降价前的函数表达式为，可得降价前的单价为3元/千克，则降价后单价为2.5元/千克，可得降价后的函数表达式为，则可得总销量为160千克，则可得留作下一季的种植基金，最后可得捐给福利院的钱数． 【详解】解：设销售额为，销量为，则降价前的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价前的函数表达式为， ∴降价前的单价为3元/千克， ∴降价后单价为2.5元/千克， 设降价后的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价后的函数表达式为， 当时，， 解得， ∴总销量为160千克， ∴留作下一季的种植基金为（元）， ∴捐给福利院（元）． 答：该班级本次共捐给福利院322元． 8．（2026·四川内江·中考真题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？ (3)在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值． 【答案】(1)（，为整数）； (2)共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； (3) 【分析】设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件，然后根据“总利润甲的利润乙的利润”，列出函数关系式即可； 根据题意，总费用不超过元，可得，结合自变量的取值范围得到所有整数解，即所有进货方案； 根据题意调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元，则利润，分情况根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解，舍去不符合范围的解． 【详解】（1）解：设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件， 甲每件利润为元，乙每件利润为元， 根据题意得 由题意得，， 因此，且为整数； （2）解：根据题意，总费用不超过元，可得， 整理得， 解得， ∵，且为正整数， ∴，的取值为，对应乙的数量为， 因此共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； （3）解：根据题意，调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元， ∴利润， 当时，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得； 当时，，不符合题意； 当时，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得，不符合题意； 综上可得：最大利润为元时的值为． 9．（2026·天津·中考真题）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家．小杰从家出发，先匀速骑行了到体育公园，在体育公园停留了，之后匀速骑行了到民俗文化馆，在民俗文化馆停留后，再匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2)当时，请直接写出小杰离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当小杰离开家时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为，小杰的爷爷离家的距离为，当时，求的值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)填表如下： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2) (3)或或 【分析】（1）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家时离家的距离；再根据图象分别得到小杰离开家和时离家的距离，即可填表； （2）分三种情况讨论：、、，结合图象，利用待定系数法即可求解； （3）根据题意与满足一次函数关系，利用待定系数法求出，再分三种情况讨论：、、，令，即可求出的值． 【详解】（1）解：小杰骑行到体育公园的速度为， ∴当小杰离开家时，离家的距离为； 由图象得，当小杰离开家时，离家的距离为； 当小杰离开家时，离家的距离为； 填表略； （2）解：当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时，由图象得，， ∴； 当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 综上，小杰离家的距离关于时间的函数解析式为； （3）解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为， 由题意得，与满足一次函数关系，设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的值为或或． 10．（2026·山东德州·中考真题）一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量与时间的函数关系式图象如图所示． (1)汽车从出发到加油站行驶了_______小时，在加油站加了_______升汽油； (2)求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量与时间的函数关系式； (3)若目的地距离加油站，汽车的行驶速度为，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 【答案】(1)3，35 (2) (3) 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）利用待定系数法求解； （3）首先求出每小时的耗油量，然后求出汽车从加油站到目的地的时间，然后求出汽车到达目的地时的耗油量，然后求出剩余油量即可． 【详解】（1）解：由图象可得，汽车从出发到加油站行驶了3小时，在加油站加了升汽油； （2）解：设与时间的函数关系式为 根据题意得， 解得 ∴与时间的函数关系式为； （3）解：∵汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同 ∴每小时的耗油量为 根据题意得，汽车从加油站到目的地的时间为， ∴汽车到达目的地时，耗油量为， ∴汽车到达目的地时，油箱的剩余油量为． 11．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若函数是关于x的正比例函数，则（     ）基础练习 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴， ∴． 12．（2026·山西长治·三模）根据国际农业研究机构（）及中国农业科学院作物科学研究所的实测数据，在恒温（）、适宜光照和水肥条件下，水稻幼苗在播种后的第4天至第10天的株高增长速率恒定，株高y（）与生长时间x（天）满足一次函数关系，实验小组记录某水稻品种的生长数据如表： 生长时间x（天） 4 5 6 7 8 9 株高y（） 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 则株高y与生长时间x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目已知y与x满足一次函数关系，先设出一次函数的一般形式，再代入表格中的两组数据求解系数，验证后即可得到函数关系式． 【详解】解：设函数关系式为 （），从表格中选取两组点 和 代入解析式，得：， 解得， ∴函数关系式为，验证表格中其余点，均满足该关系式． 13．（2026·吉林长春·模拟预测）已知一次函数（b为常数）的图象经过第四象限，则b的取值范围为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象性质，利用一次项系数的符号确定直线必过的象限，再结合题目条件判断b的取值范围即可． 【详解】解：∵ 一次函数中，一次项系数 ， ∴ 该函数图象一定经过第一，第三象限． ∵ 函数图象经过第四象限，说明直线与轴的交点在轴的负半轴， 又∵ 一次函数 中，b是直线与轴交点的纵坐标， ∴ ． 14．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一次函数 向下平移个单位得到函数 ，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一次函数平移时“上加下减”，计算平移后解析式即可得到k的值． 【详解】解：一次函数 向下平移个单位得到函数的解析式为：， 对比可得的值为． 15．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A． 随的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与轴交于点 D．函数图象与直线平行 【答案】B 【详解】解：A、一次函数中，，则y随x增大而减小，结论正确，不符合题意； B、当时，，且y随x增大而减小，则当时，，结论错误，符合题意； C、当时，，则与y轴交于，结论正确，不符合题意； D、一次函数向下平移3个单位长度，可以得到直线则函数图像与直线平行，结论正确，不符合题意 16．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，正比例函数与交于点．若一次函数的图象与，可以围成三角形，那么的取值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得C的坐标，然后讨论，与直线不能围成三角形时分三种情况：①直线过点时；②直线与平行时；③直线与平行时；进而得出，，直线可以围成三角形时k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， 设正比例函数的解析式为，把代入得：，解得：， ∴正比例函数的解析式为， 一次函数的图象为，如果，，不能围成三角形，那么可分三种情况： ①经过点时，，解得， ②，平行时，， ③，平行时，， 又是一次函数，所以． 故，，可以围成三角形时，k的取值范围是且且且． ∴k的值可以为． 17．（25-26八年级下·云南大理·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象必经过点 B．图像经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵一次函数解析式为， 对于A选项，当时，， ∴图像不经过点，A错误； 对于B选项，∵，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，B错误； 对于C选项，令，可得， 解得， ∴当时，，C正确； 对于D选项，∵， ∴ 随 的增大而减小，D错误． 18．（24-25八年级下·福建漳州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． (1)试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当时，求出函数值； (3)在坐标系中画出函数的图像． 【答案】(1) (2)2 (3)如图， 【分析】（1）根据三角形的周长等于三边之和，求出函数解析式即可； （2）将代入函数解析式，进行求解即可； （3）列表，描点，连线即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 解得：． ∴； （2）解：当时，； （3）解：列表如下： x 3 6 y 6 0 画图 19．（2026·河南周口·模拟预测）为落实河南省义务教育阶段劳动教育要求，某中学计划在校园劳动实践基地种植甲、乙两种蔬菜苗．已知每株甲种蔬菜苗比乙种蔬菜苗贵2元，若用180元购买甲种蔬菜苗的数量与用120元购买的乙种蔬菜苗的数量相等． (1)求每株甲种蔬菜苗和每株乙种蔬菜苗各多少元？ (2)该学校计划购进甲、乙两种蔬菜苗共150株，且甲种蔬菜苗的数量不少于乙种蔬菜苗数量的，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) 每株甲种蔬菜苗6元，每株乙种蔬菜苗4元. (2) 购买甲种蔬菜苗50株，乙种蔬菜苗100株时总费用最少，最少总费用为700元. 【分析】（1）根据“180元买甲种蔬菜苗的数量和120元买乙种蔬菜苗的数量相等”的等量关系列分式方程求解，需检验根的有效性； （2）根据甲种蔬菜苗的数量限制列一元一次不等式得到自变量取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的性质求最小总费用． 【详解】（1）解：设每株乙种蔬菜苗的价格为元，则每株甲种蔬菜苗的价格为元 根据题意，得 去分母，得 解得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解，且符合题意， 答：每株甲种蔬菜苗6元，每株乙种蔬菜苗4元； （2）解：设购买甲种蔬菜苗株，总费用为元，则购买乙种蔬菜苗株 由题意得 解不等式得 总费用 随的增大而增大 当时，取得最小值 此时， 答：购买甲种蔬菜苗50株，乙种蔬菜苗100株时总费用最少，最少总费用为700元． 20．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知直线与的图象相交于点，且与两直线与轴的交点分别为、． (1)求直线的函数解析式； (2)求 的面积； (3)若直线与、交点分别为、，当时，求值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入，求得的值，再将点的坐标代入，即可求得直线的函数解析式； （2）分别求得点的坐标，即可根据三角形的面积公式求的面积； （3）令，用含的式子分别表示点的横坐标，根据建立方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ， 将代入，得，解得， ； （2）解：当时，， ； 当时，， ， ， ， ； （3）解：令，得，解得， 点的横坐标为； 当时，解得， 点的横坐标为； ，当时，解得； 当时，解得； 综上所述，当时，的值为或． 21．（2026·河南平顶山·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，平分交x轴于点C，以为边在右侧作正方形，将正方形水平向左平移，当点D恰好落在直线上时，平移的距离为（     ）巩固提高 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求得，，．过点D作轴于点F．过点C作于点G，先证明得到，则．设，利用勾股定理求得，则．证明，，则，进而求解即可． 【详解】解：对于，当时，， 当时，由得， ∴，， ，． ． 如图，过点D作轴于点F．过点C作于点G， 则， 平分， ，又， ∴， ． ． 设，则， 由勾股定理，得，解得． ． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ，． ．令，解得， 平移的距离为． 22．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线与轴成角的性质，结合等腰直角三角形的两直角边相等，推出，，再求解即可． 【详解】解：令， 解得， 设直线与轴交点为， 由题意，点坐标为即，则点横坐标为1，纵坐标为，则坐标为，即 由过点作直线 交轴于点，直线与轴正方向成角， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为3，纵坐标为，则坐标为，即， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为7，纵坐标为，则坐标为即 以此类推， 规律：，． 当时，． 23．（2026·上海静安·三模）将直线 的图像绕原点旋转一周，不会经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出原点到直线的距离，再根据一次函数的图象绕原点旋转一周所得区域内各点到原点的距离大于等于，用两点间的距离公式计算每一个到原点的距离即可判断． 【详解】解：令，则；令，则， ∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，如图： 过点O作于点C， ∵， ∴， ∴， ∴直线上所有点到原点的最短距离为， 将一次函数的图象绕原点旋转一周所得区域内个点到原点的距离大于等于， ∴； ； ； ； ∴不会经过的点是． 24．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，，进而，又根据，过点作于点，可得，则可求． 【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，，当时，， 则， ∴， ∴， 当直线经过点，点时， 设过点的直线与的交点为，过点的直线与的交点为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据函数图象得， 设直线分别与轴交于点，点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（25-26八年级下·上海·期中）在同一个平面直角坐标系中，乐乐分别画出了四条直线、、与，那么下列说法错误的是（     ） A．如果，，那么这四条直线所围成的四边形一定是平行四边形 B．如果，，那么这四条直线所围成的四边形一定是矩形 C．如果，，，，那么这四条直线所围成的四边形一定是只有一组对边平行的梯形 D．如果，，，那么这四条直线所围成的四边形一定是菱形 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像性质与特殊四边形的判定，核心思路：一次函数中，相等不等时两直线平行，自变量系数乘积为时两直线垂直，结合平行四边形、矩形、梯形、菱形的判定逐一分析选项即可． 【详解】解：已知直线和，且不相等，因此两直线平行， 对选项A：∵，，∴与互相平行，∴四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，A正确； 对选项B：∵，，∴两条直线互相平行，且，说明相邻两组邻边互相垂直，∴对边平行且四个角为直角，因此四边形是矩形，B正确； 对选项C：∵，，∴直线为，又，，因此的自变量系数既不为也不为，仅原有与一组对边平行，另一组对边不平行，因此四边形是只有一组对边平行的梯形，C正确； 对选项D：∵，，，因此与平行，四边形为平行四边形，仅当时邻边长度相等，是菱形，若取其他负数，邻边长度不相等，不是菱形，因此不一定是菱形，D错误． 26．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，若，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】过点作，由坐标及等腰直角三角形的判定与性质求出点，再由一次函数图象与性质得到图象过点时，有最小值，此时取到最小值，将代入函数表达式求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ， 则， ，即点， ， ， 由于一次函数中可知，图象过点时，有最小值，此时取到最小值， 将代入一次函数得，， 解得． 27．（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且，点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若F为直线上一动点，连接，，当时，求点F的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点F的坐标为或 (3)存在，点M的坐标为， 【分析】（1）根据题意易得，，从而可求出，由于点 是直线CD与线段AB的交点，则，根据待定系数法求解即可； （2）根据题意可求得，则，设，分在直线上方和下方两种不同情况，根据割补法求三角形的面积列出方程，求出后得到坐标； （3）先根据待定系数法求出AC的解析式，由推得，连接交于点M，作关于的对称角，交于点，通过角度计算得此时M，为所求，通过计算直线和直线的交点即可求出点M的坐标，利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：令得，， 解得， ， 令得，， ， ， ， 点是直线与线段的交点， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 则直线的解析式为． （2）解：由可知，直线的解析式为， 令得，，则， ，，， ， ， 设， 当F在直线上方时，连接， 当时，如图， ， ， 即：， 当时，如图， ， 由，所以舍去， 当F在直线下方时，连接， 当时，如图， ， ， ， 当时，如图， ， 由于，所以舍去， 综上所述，点F的坐标为或． （3）解：存在， 设直线的解析式为， 由可知，，， 将其代入得，， ， 则的解析式为①， ∵， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 如图2，连接交于点M，作关于的对称角，交于点， ，， ， ， ， ∴点M，为所求， 设的解析式为， 将，代入得， ， 则的解析式为②， 联立①②得：，解得， 即， 由对称可知：， 设，根据两点间距离公式可得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 综上，点M的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，割补法求三角形的面积，两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，并运用数形结合是解题的关键． 28．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点B，交y轴于点A，．    (1)如图1，求k的值； (2)如图2，在x轴负半轴上有一点C，且，连接，D为上一点，连接，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，，E为上一点，连接，，点F为x轴上一点，点K为第一象限内的垂直平分线上一点，H为第四象限内一点，连接、、、，，，四边形的面积为36，N为上一点，且，M为上一点，连接、，若，求M点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出点A的坐标得到的长，利用勾股定理求出的长，则可得到点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，则可得到点D的坐标，根据列式求解即可； （3）根据（2）所求，结合可求出；可证明， 推出；过点H作轴于点Q，延长到点T，使得，连接，可证明，；过点H作交x轴于点L，则是等腰直角三角形，证明，得到；证明都是等腰直角三角形，得到；可证明，则，进而得到；在上截取，连接，可证明，得到，则，可得，则可求出直线的解析式为；过点N作交的延长线于点P，过点N作轴，过点D作于点W，过点P作于点U，证明，推出，则直线的解析式为，联立，解得，则． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在x轴负半轴上有一点C，且， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵D为上一点，且点D的横坐标为t， ∴， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； ∵点K为第一象限内的垂直平分线上一点， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点H作轴于点Q，延长到点T，使得，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得； 过点H作交x轴于点L，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，即， ∴垂直平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵轴， ∴都是等腰直角三角形， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴或（舍去）； 由（1）得， ∴； 在上截取，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； 过点N作交的延长线于点P，过点N作轴，过点D作于点W，过点P作于点U， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴． 29．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D，与直线交于点E， (1)若，点E的横坐标为4． ①求b的值和点D的坐标； ②已知P是坐标平面内一点，连接，，，所得的，的面积分别为，，设；如图2，若点P在直线上运动，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； (2)如图3，若，将直线沿x轴向左平移2个单位后，与x轴，y轴分别交于A，B两点，O关于A的对称点为F；G为中点，P为直线上的一点，且，求P的横坐标（用含a的代数式表示）． 【答案】(1)①，点D的坐标为；②是，为定值； (2)或 【分析】（1）①根据一次函数的性质求出点E的坐标，再代入求出b的值，再根据一次函数的性质即可点D的坐标；②过点作轴交直线于点，交直线于点，设点P的坐标为，则，，利用三角形面积公式分别表示出和，得出，即可得出结论； （2）根据题意可得，，分两种情况讨论：①P在直线上方；②P在直线下方，作交于点，作轴于点，作于点，先证明得到，，求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，再联立直线，即可求出P的横坐标． 【详解】（1）解：①根据题意，直线表达式为， 当时，， ∴， 代入到，得， 解得， ∴直线表达式为， 当时，， 解得， ∴点D的坐标为； ②如图2，过点作轴交直线于点，交直线于点， ∵点P在直线上运动， ∴设点P的坐标为， ∴，， ∴，， 由①得，，， ∴， 对于直线， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵将直线沿x轴向左平移2个单位， ∴平移后的直线为， 当时，；当时，，解得， ∴，， ∵O关于A的对称点为F， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴点的坐标为，即； ①当P在直线上方时，如图，作交于点，作轴于点，作于点， 则， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 联立， 则， 解得， ∴P的横坐标为； ②当P在直线下方时，如图，作交于点，作轴于点，作于点， 则， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 同理可得直线的表达式为， 联立， 则， 解得， ∴P的横坐标为； 综上所述，P的横坐标为或． 30．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中．一次函数（）与轴，轴分别交于点，两点，一次函数与轴，轴分别交于点，点，若，且． (1)求直线的函数解析式； (2)点是的中点，连接交于点，在有一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得，直线与直线交于点，直线与直线交于点，当时，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先将点代入直线的解析式得出，即可得出直线的解析式为，进而得出，根据，可得直线的解析式为，代入，即可求解； （2）根据题意求得直线的解析式为，设，根据结合图形推导出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，求得的值，即可求解； （3）取中点，连接，先证明是等边三角形，进而得出，根据，分情况讨论，当在的下方，和在的上方时根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，分别求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与轴交于点 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， ∴，则 ∴ ∵， ∴直线的解析式为， 代入得 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 （2）解：∵直线的解析式为 当时，， ∴ ∵点是的中点， ∴，则 设直线的解析式为，代入， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 故设， ∵， ∴ 设与轴交于，如图， ∵,在上， ∴ ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴； （3）解：如图，取中点，连接， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵，同理可得， 情形一：当在的下方时，如图，在的左侧，截取，则， ∴ ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵将沿着翻折得 ∴， 在中， ∴ ∴，即在轴的负半轴上， ∴直线即为轴，点即为点，即； 情形二：当在的上方时，，则轴，如图， ∵，将沿着翻折得 ∴， ∵ 在中， ∴，垂足为， ∴ ∴ 过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∴ 将代入 ∴， ∴ 综上所述，或 学科网（北京）股份有限公司 $