4.5　相似三角形的性质及其应用作业 2026-2027学年数学浙教版九年级上册

**基本信息** 初中数学相似三角形性质同步练，分3课时，以"基础巩固-综合应用-实践建模"分层设计，覆盖性质理解到实际问题解决，强化推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对应线段比、重心性质|选择填空为主，如相似比与角平分线比（第1课时题1），夯实概念| |中档|周长面积比、性质综合|解答题为主，如面积比与平行四边形结合（第2课时题7），培养推理能力| |提升|实际应用、动态问题|情境题为主，如测量树高（第3课时题7）、凸透镜成像（题9），体现模型观念与应用意识|

4.5　相似三角形的性质及其应用 第1课时　相似三角形的性质 分值：69分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，则△ABC与△DEF对应的角平分线长之比为( ) A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.4∶1 2.在△ABC中，D是边BC的中点，连结AD。若点O在AD上，且AO∶OD=2∶1，则点O一定是△ABC的( ) A.垂心 B.外心 C.重心 D.垂心和外心 3.若两个相似三角形对应边上的高线长之比为3∶1，则它们的相似比为( ) A.9∶1 B.6∶1 C.3∶1 D.∶1 4.(3分)如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G。若DG=1，则AD的长为 。  第4题图　 　第5题图 5.(3分)如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O。若OP，OQ分别是∠DOE，∠BOC的平分线，则= 。  6.(3分)两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线长为10，则另一个三角形对应的中线长为 。  7.(8分)求证：相似三角形对应边上的中线长之比等于相似比。要求： (1)(2分)如图，根据给出的△ABC及线段A'B'，∠A'(∠A'=∠A)，以线段A'B'为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B'C'，使得△A'B'C'∽△ABC(不写作法，保留作图痕迹)。 (2)(6分)在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程。 8.(8分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交AB边上的中线CD于点F。 (1)(4分)求证：△ACF∽△ABE。 (2)(4分)若AF=2，求AE的长。 9.如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°。若BD=3，CE=2，则△ABC的边长为( ) A.9 B.12 C.15 D.18 10.(3分)如图，在△ABC中，AC=4，BC=2，D是AB边上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD。若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为 。  11.(3分)如图，点P是△ABC的重心，D是边AC的中点，PE∥AC，交BC于点E，DF∥BC，交EP的延长线于点F。若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为 。  12.(8分)如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且∠ABC=2∠C。 (1)(4分)求证：△ABC∽△ADB。 (2)(4分)已知AB=5，AD=4，求BD的长。 13.(8分)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线交DE于点G，交BC于点F。 (1)(4分)试写出图中所有的相似三角形，并说明理由。 (2)(4分)若，求的值。 14.(10分)[推理能力]如图，若AD是△ABC的一条中线，O是AD上一点，且满足，则我们知道点O就是△ABC的重心。可如何证明这个结论呢？慧慧想到了重心的定义：连结BO并延长，交AC于点E，连结CO并延长，交AB于点F，那么只要证明E是AC的中点，F是AB的中点即可。类比“倍长中线”模型，她有了如下的思路：延长AD到点I，使ID=OD，连结BI，CI……请沿着慧慧的思路完成证明。 第2课时　相似三角形的周长之比、面积之比 分值：77分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是( ) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 2.若两个相似三角形对应边上的高线比为1∶4，则这两个三角形面积的比是( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 3.如图，已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH=12，则EA的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 4.两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为40 cm，那么较小三角形的周长是( ) A.14 cm B.15 cm C.18 cm D.25 cm 5.如图，△ABC的中线BE，CD相交于点F，连结DE。下列结论错误的是( ) A.S△DEF=S△BCF B.S△ADE=S四边形BCED C.S△DBF=S△BCF D.S△ADC=S△AEB 6.(3分)如图，AB与CD相交于点O，且AC∥BD。若，AC=0.35，则BD= 。  7.(3分)如图，在▱ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC=3∶2，连结AE，交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为 。  8.(8分)已知△ABC∽△DEF，，△ABC的周长为12 cm，面积为6 cm2。求： (1)(4分)△DEF的周长。 (2)(4分)△DEF的面积。 9.(8分)如图，在△ABC中，EF∥BC，，四边形BCFE的面积为21，求△ABC的面积。 10.(3分)一块等腰直角三角形绿地的占地面积为20 000 m2，若按比例尺1∶10 000缩小画在图上，则图上面积为 cm2，图上周长为 cm。   11.(3分)如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ= 。  12.(8分)如图，AC是☉O的直径，点B在☉O上，∠ACB=30°。 (1)(5分)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交☉O于点D，连结CD(保留作图痕迹，不写作法)。 (2)(3分)在(1)所作的图形中，△ABE与△CDE的面积之比为 。  13.(8分)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC。 (1)(2分)求证：△AEF∽△ACG。 (2)(3分)求证：∠ADE=∠B。 (3)(3分)若S△AED=3，S△ABC=5，求的值。 14.(8分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF。已知四边形BFED是平行四边形，。 (1)(4分)若AB=8，则AD= 。  (2)(4分)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积。 15.(10分)[模型观念]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5 cm，∠A=60°，动点M从点B出发，在BA边上以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以 cm/s 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(s)(0≤t≤5)，连结MN。 (1)(5分)若BM=BN，求t的值。 (2)(5分)当△MBN与△ABC是相似三角形时，写出t的值及△MBN与△ABC的周长之比。 第3课时　相似三角形的性质的应用 分值：47分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，三角尺在灯光照射下形成投影，三角尺与其投影的相似比为2∶5。若三角尺的一边长为8 cm，则投影的对应边长为( ) A.20 cm B.10 cm C.8 cm D.3.2 cm 2.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了一个数学问题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺。同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(1丈=10尺，1尺=10寸)，问竹竿有多长？这个问题中竹竿的长为( ) A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 3.如图，某零件的外径为12 cm，用一个交叉卡钳(AC=BD)可测量零件的内孔直径AB。若OA∶OC=OB∶OD=2，且量得CD=5 cm，则零件的厚度x(cm)为( ) A.2 cm B.1.5 cm C.1 cm D.0.5 cm 4.(3分)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法。如图，燃烧的蜡烛AB(竖直放置)经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'，已知AB=36 cm，A'B'=24 cm。若小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为 cm。  5.(3分)某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度。已知CD⊥BD，EF⊥BD于点F，AB⊥BD，BF=6米，DF=2米，EF=0.5米，CD=1.7米，则这棵树的高度(AB的长)是 米。  第5题图　　 6.(3分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E。点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺的宽BD为 。  7.(8分)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上。已知纸板的两条边DF=50 cm，DE=40 cm，测得边DF离地面的高度为1.5 m，他与树之间的水平距离CD=12 m，求树高AB。 8.(3分)如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2 m。当BC=3 m时，点B离地面的距离BE=1.8 m，则箱子上另一点A离地面的距离AD= m。  9.(8分)如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度。如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO，BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A'B'，此时测得像距OD为12.8厘米。 (1)(4分)求像A'B'的长度。 (2)(4分)已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长。 10.(10分)[应用意识]【经典回顾】课本中有一道作业题：如图1，有一块三角形木板余料ABC，它的边BC=120 mm，高AD=80 mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，加工成的正方形零件的边长是多少？ (1)(3分)请解答这个问题。 【探索发现】(2)(3分)如图2，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，且BC=a，高AD=h，则矩形PQMN面积的最大值为 (用含a，h的代数式表示)。  【实际应用】(3)(4分)现有一块四边形的木板余料ABCD(如图3)，经测量AB=60 cm，BC=100 cm，CD=70 cm，且∠B=∠C=60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5　相似三角形的性质及其应用 第1课时　相似三角形的性质 分值：69分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，则△ABC与△DEF对应的角平分线长之比为(　B　) A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.4∶1 2.在△ABC中，D是边BC的中点，连结AD。若点O在AD上，且AO∶OD=2∶1，则点O一定是△ABC的(　C　) A.垂心 B.外心 C.重心 D.垂心和外心 3.若两个相似三角形对应边上的高线长之比为3∶1，则它们的相似比为(　C　) A.9∶1 B.6∶1 C.3∶1 D.∶1 4.(3分)如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G。若DG=1，则AD的长为　3　。  第4题图　 　第5题图 5.(3分)如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O。若OP，OQ分别是∠DOE，∠BOC的平分线，则=　2　。  6.(3分)两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线长为10，则另一个三角形对应的中线长为　4或25　。  7.(8分)求证：相似三角形对应边上的中线长之比等于相似比。要求： (1)(2分)如图，根据给出的△ABC及线段A'B'，∠A'(∠A'=∠A)，以线段A'B'为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B'C'，使得△A'B'C'∽△ABC(不写作法，保留作图痕迹)。 (2)(6分)在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程。 解：(1)作出图形如答图所示。 　 第7题答图 (2)已知：如答图，△A'B'C'∽△ABC，=k， A'D'=D'B'，AD=DB。 求证：=k。 证明：∵A'D'=D'B'，AD=DB， ∴A'D'=A'B'，AD=AB， ∴。 又∵∠A'=∠A， ∴△A'D'C'∽△ADC， ∴=k。 8.(8分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交AB边上的中线CD于点F。 (1)(4分)求证：△ACF∽△ABE。 (2)(4分)若AF=2，求AE的长。 解：(1)∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE。 ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠B=45°。 ∵CD是AB边上的中线， ∴AD=CD， ∴∠ACD=∠CAD=45°，∴∠ACD=∠B， ∴△ACF∽△ABE。 (2)∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴AB=AC， ∴。 ∵△ACF∽△ABE，∴。 又∵AF=2，∴AE=2。 9.如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°。若BD=3，CE=2，则△ABC的边长为(　A　) A.9 B.12 C.15 D.18 【解析】 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∴∠BAD＋∠ADB=120°，DC=BC－BD=AB－3。 ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB＋∠EDC=120°， ∴∠BAD=∠CDE。 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE， ∴，即， 解得AB=9。 经检验，AB=9是分式方程的解，且符合题意， ∴△ABC的边长为9。 10.(3分)如图，在△ABC中，AC=4，BC=2，D是AB边上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD。若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为 　。  【解析】 ∵△ACD是以AC为底的等腰三角形， ∴AD=CD。 ∵△BCD与△BAC相似，∠CDB＞∠A， ∴△BCD∽△BAC， ∴。 设CD=x，BD=y， 则， ∴ 又∵y＞0，∴ ∴CD=。 11.(3分)如图，点P是△ABC的重心，D是边AC的中点，PE∥AC，交BC于点E，DF∥BC，交EP的延长线于点F。若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为　18　。  【解析】 如答图，连结BD，过点B作BG⊥AC于点G，交FE于点H。 第11题答图 ∵点P是△ABC的重心，D是边AC的中点， ∴点P在BD上，S△ABC=2S△BDC， BP∶PD=2∶1。 ∵EF∥AC，∴=3， ∴S△BCD=S▱CDFE=9， ∴△ABC的面积为18。 12.(8分)如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且∠ABC=2∠C。 (1)(4分)求证：△ABC∽△ADB。 (2)(4分)已知AB=5，AD=4，求BD的长。 解：(1)∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC。 ∵∠ABC=2∠C， ∴∠C=∠ABC， ∴∠C=∠ABD。 又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB。 (2)∵△ABC∽△ADB， ∴。 又∵AB=5，AD=4， ∴AC=， ∴CD=AC－AD=4=。 ∵∠DBC=∠ABC，∠C=∠ABC， ∴∠DBC=∠C，∴BD=CD=。 13.(8分)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线交DE于点G，交BC于点F。 (1)(4分)试写出图中所有的相似三角形，并说明理由。 (2)(4分)若，求的值。 解：(1)△ABC∽△AED，△AEG∽△ABF，△ADG∽△ACF。理由如下： ∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC， ∴△ABC∽△AED，∴∠ADE=∠ACB。 ∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF。 ∵∠AEG=∠ABF，∠EAG=∠BAF， ∴△AEG∽△ABF。 ∵∠ADG=∠ACF，∠DAG=∠CAF， ∴△ADG∽△ACF。 (2)∵，∴。 ∵△ABC∽△AED，∴。 ∵△ADG∽△ACF， ∴， ∴。 14.(10分)[推理能力]如图，若AD是△ABC的一条中线，O是AD上一点，且满足，则我们知道点O就是△ABC的重心。可如何证明这个结论呢？慧慧想到了重心的定义：连结BO并延长，交AC于点E，连结CO并延长，交AB于点F，那么只要证明E是AC的中点，F是AB的中点即可。类比“倍长中线”模型，她有了如下的思路：延长AD到点I，使ID=OD，连结BI，CI……请沿着慧慧的思路完成证明。 解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∴四边形BOCI是平行四边形， ∴FC∥BI，EB∥CI。 ∵，∴AO=AD， ∴ID=OD=AD， ∴IO=ID＋OD=AD=AO， ∴=1，=1， ∴AF=BF，AE=CE， ∴O是△ABC三条中线的交点， ∴点O是△ABC的重心。 第2课时　相似三角形的周长之比、面积之比 分值：77分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　B　) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 2.若两个相似三角形对应边上的高线比为1∶4，则这两个三角形面积的比是(　D　) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 3.如图，已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH=12，则EA的长为(　B　) A.4 B.6 C.8 D.10 4.两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为40 cm，那么较小三角形的周长是(　B　) A.14 cm B.15 cm C.18 cm D.25 cm 5.如图，△ABC的中线BE，CD相交于点F，连结DE。下列结论错误的是(　B　) A.S△DEF=S△BCF B.S△ADE=S四边形BCED C.S△DBF=S△BCF D.S△ADC=S△AEB 6.(3分)如图，AB与CD相交于点O，且AC∥BD。若，AC=0.35，则BD=　0.7　。  【解析】 ∵AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∴BD=2AC=2×0.35=0.7。 7.(3分)如图，在▱ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC=3∶2，连结AE，交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为　9∶25　。  8.(8分)已知△ABC∽△DEF，，△ABC的周长为12 cm，面积为6 cm2。求： (1)(4分)△DEF的周长。 (2)(4分)△DEF的面积。 解：(1)∵△ABC∽△DEF，， ∴△DEF的周长为12×=8(cm)。 (2)△DEF的面积为6×(cm2)。 9.(8分)如图，在△ABC中，EF∥BC，，四边形BCFE的面积为21，求△ABC的面积。 解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC。 ∵，∴， ∴， ∴。 又∵S四边形BCFE=21，∴S△ABC=25。 10.(3分)一块等腰直角三角形绿地的占地面积为20 000 m2，若按比例尺1∶10 000缩小画在图上，则图上面积为　2　cm2，图上周长为　4＋2　cm。   11.(3分)如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ=　1∶3∶5　。  【解析】 ∵DE∥FG∥BC， ∴△ADE∽△AFG∽△ABC。 ∵AD=DF=FB， ∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3， ∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶4∶9， ∴SⅠ∶SⅡ∶SⅢ=1∶3∶5。 12.(8分)如图，AC是☉O的直径，点B在☉O上，∠ACB=30°。 (1)(5分)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交☉O于点D，连结CD(保留作图痕迹，不写作法)。 (2)(3分)在(1)所作的图形中，△ABE与△CDE的面积之比为  　。  解：(1)按要求作图如答图所示。 第12题答图 (2)如答图，连结OD，设☉O的半径为r。 在△ABE和△DCE中， ∵ ∴△ABE∽△DCE。 ∵AC是☉O的直径， ∴∠ABC=90°。 ∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°， ∴AB=AC=r。 ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABC=45°， ∴∠DOC=2∠CBD=90°。 ∵在Rt△ODC中， DC=r， ∴。 13.(8分)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC。 (1)(2分)求证：△AEF∽△ACG。 (2)(3分)求证：∠ADE=∠B。 (3)(3分)若S△AED=3，S△ABC=5，求的值。 解：(1)∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F， ∴∠AFE=∠AGC=90°。 在△AEF与△ACG中，∠AFE=∠AGC=90°，∠EAF=∠GAC， ∴△AEF∽△ACG。 (2)由(1)知，△AEF∽△ACG， ∴∠AED=∠C。 在△AED与△ACB中，∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB， ∴△AED∽△ACB， ∴∠ADE=∠B。 (3)由(2)知，△ADE∽△ABC， ∴。 由(1)知△AEF∽△ACG， ∴，∴。 ∵S△AED=3，S△ABC=5， ∴， ∴。 14.(8分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF。已知四边形BFED是平行四边形，。 (1)(4分)若AB=8，则AD=　2　。  (2)(4分)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积。 解：(1)由题意，得DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴。 又∵AB=8，∴AD=2。 (2)设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2。 ∵，∴。 又∵S1=1，∴S=16。 易得EF∥AB，∴△CEF∽△CAB， ∴，同理可得S2=9， ∴S▱BFED=S－S1－S2=6。 15.(10分)[模型观念]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5 cm，∠A=60°，动点M从点B出发，在BA边上以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以 cm/s 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(s)(0≤t≤5)，连结MN。 (1)(5分)若BM=BN，求t的值。 (2)(5分)当△MBN与△ABC是相似三角形时，写出t的值及△MBN与△ABC的周长之比。 解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5 cm，∠A=60°， ∴AB=10 cm，BC=5 cm。 由题意，得BM=2t(cm)，CN=t(cm)，∴BN=(5t)cm。 ∵BM=BN，∴2t=5t， 解得t==1015。 (2)分两种情况讨论： ①当△MBN∽△ABC时， ，即， 解得t=，∴， ∴△MBN与△ABC的周长之比为； ②当△NBM∽△ABC时， ，即， 解得t=，∴， ∴△MBN与△ABC的周长之比为。 综上所述，当t=或t=时，△MBN与△ABC相似，对应的△MBN与△ABC的周长之比为或。 第3课时　相似三角形的性质的应用 分值：47分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，三角尺在灯光照射下形成投影，三角尺与其投影的相似比为2∶5。若三角尺的一边长为8 cm，则投影的对应边长为(　A　) A.20 cm B.10 cm C.8 cm D.3.2 cm 2.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了一个数学问题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺。同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(1丈=10尺，1尺=10寸)，问竹竿有多长？这个问题中竹竿的长为(　B　) A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 3.如图，某零件的外径为12 cm，用一个交叉卡钳(AC=BD)可测量零件的内孔直径AB。若OA∶OC=OB∶OD=2，且量得CD=5 cm，则零件的厚度x(cm)为(　C　) A.2 cm B.1.5 cm C.1 cm D.0.5 cm 4.(3分)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法。如图，燃烧的蜡烛AB(竖直放置)经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'，已知AB=36 cm，A'B'=24 cm。若小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为　20　cm。  【解析】 设小孔O到A'B'的距离为x(cm)， 由题意，得△ABO∽△A'B'O， 则， 解得x=20(检验略)， 故小孔O到A'B'的距离为20 cm。 5.(3分)某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度。已知CD⊥BD，EF⊥BD于点F，AB⊥BD，BF=6米，DF=2米，EF=0.5米，CD=1.7米，则这棵树的高度(AB的长)是　4.1　米。  第5题图　　 第5题答图 【解析】 如答图，过点E作水平线，交AB于点G，交CD于点H，则HG∥DB。 ∵CD，EF，AB都是OB的垂线， ∴DH=EF=GB=0.5米，EH=DF=2米，EG=FB=6米， ∴CH=CD－DH=1.7－0.5=1.2(米)。 又根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°，∠CEH=∠AEG， ∴△CHE∽△AGE， ∴，即， 解得AG=3.6米， ∴AB=AG＋GB=3.6＋0.5=4.1(米)。 6.(3分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E。点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺的宽BD为  　。  【解析】 由题意，得DE=1，BC=3。 在Rt△ABC中，∠A=60°， ∴AB=。 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴，即， 解得BD=。 7.(8分)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上。已知纸板的两条边DF=50 cm，DE=40 cm，测得边DF离地面的高度为1.5 m，他与树之间的水平距离CD=12 m，求树高AB。 解：在Rt△DEF中， EF==30 cm。 由题意，得∠BCD=∠DEF=90°，∠CDB=∠EDF， ∴△DCB∽△DEF，∴。 又∵EF=30 cm=0.3 m，DE=40 cm=0.4 m，CD=12 m， ∴，∴BC=9 m。 易知AC=1.5 m， ∴AB=AC＋BC=10.5 m。 答：树高AB为10.5 m。 8.(3分)如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2 m。当BC=3 m时，点B离地面的距离BE=1.8 m，则箱子上另一点A离地面的距离AD=　2.76　m。  【解析】 由题意，得AD⊥CE，BE⊥CE，∴AD∥BE， ∴∠CFD=∠AFB=∠CBE， △CDF∽△CEB。 又∵∠ABF=∠CEB=90°， ∴△CBE∽△AFB， ∴。 ∵BC=3 m，BE=1.8 m， ∴CE==2.4 m， 即，解得FB=0.9 m，FA=1.5 m。 ∵△CDF∽△CEB，∴，即，解得FD=1.26 m， ∴AD=FA＋FD=2.76 m。 9.(8分)如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度。如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO，BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A'B'，此时测得像距OD为12.8厘米。 (1)(4分)求像A'B'的长度。 (2)(4分)已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长。 解：(1)由题意，得AB∥MN∥A'B'，OC=32 cm，OD=12.8 cm，AB=8 cm。 ∵AB∥A'B'，∴△OAB∽△OA'B'，△OAC∽△OA'D， ∴， ∴，∴， ∴A'B'=3.2。 答：像A'B'的长度为3.2厘米。 (2)∵AP∥CD，AB∥MN， ∴四边形ACOP为平行四边形， ∴AP=OC=32 cm。 由(1)知， ∴。 ∵AP∥CD，∴△A'OF∽△A'AP， ∴， ∴OF=AP=(厘米)。 答：凸透镜焦距OF的长为厘米。 10.(10分)[应用意识]【经典回顾】课本中有一道作业题：如图1，有一块三角形木板余料ABC，它的边BC=120 mm，高AD=80 mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，加工成的正方形零件的边长是多少？ (1)(3分)请解答这个问题。 【探索发现】(2)(3分)如图2，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，且BC=a，高AD=h，则矩形PQMN面积的最大值为  　(用含a，h的代数式表示)。  【实际应用】(3)(4分)现有一块四边形的木板余料ABCD(如图3)，经测量AB=60 cm，BC=100 cm，CD=70 cm，且∠B=∠C=60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积。 解：(1)设正方形的边长为x(mm)，则PN=PQ=ED=x(mm)， ∴AE=AD－ED=(80－x)mm。 ∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC， ∴，即， 解得x=48， ∴加工成的正方形零件的边长是48 mm。 (2)设PN=x，矩形PQMN的面积为S， 由条件可得△APN∽△ABC， ∴， 即， 解得PQ=hx， 则S=PN·PQ=x=x2＋hx， 故S的最大值为。 (3)如答图，延长BA，CD，两者相交于点E，过点E作EH⊥BC于点H。 第10题答图 ∵∠B=∠C，∴EB=EC。 ∵BC=100 cm，且EH⊥BC， ∴BH=CH=BC=50 cm。 又∵∠B=60°， ∴EH=BH=×50=50(cm)。 由(2)知，当PN==50 cm时，矩形PQMN有最大面积，最大面积为BC·EH=1 250 cm2。 又易知当点Q位于点A时，PN=QM=AB=30 cm， 而50＜30， ∴最大值1 250符合题意。 答：该矩形的面积为1 250 cm2。 学科网（北京）股份有限公司 $