4.5相似三角形的性质及其应用（1） 课时练习 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦相似三角形重心性质，通过基础认知、技能应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|重心定义及基本性质|以单选、填空为主，如重心概念辨析、中线比例计算，强化抽象能力| |技能应用|重心与相似、中位线结合|结合图形应用，如过重心作平行线求线段长，提升空间观念| |综合探究|多知识点综合与证明|解答题含作图、重心性质证明及动态几何问题，发展推理意识与创新意识|

4.5相似三角形的性质及其应用（1） 课时练习 一、单选题 1.三角形的重心是（   ） A. 三角形三条边上中线的交点                                B. 三角形三条边上高线的交点 C. 三角形三条边垂直平分线的交点                         D. 三角形三条内角平行线的交点 2.如果点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：AD是（　　） A. 2：3                                    B. 1：2                                    C. 1：3                                    D. 3：4 3.过△ABC的重心G作GE∥BC交AC于点E，线段BC=12，线段GE长为(    ) A. 4                                       B. 4．5                                      C. 6                                     D. 8 4.如图， 经过 的重心，点 是 的中点，过点 作 交 于点 ，若 ，则线段 的长为（　　） A. 6                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 3 5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为 的圆相交，那么 的取值范围是（   ） A. ；                          B. ；                          C. ；                          D. ． 6.如图，点G为 的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（    ） A. 1.7                                        B. 1.8                                        C. 2.2                                        D. 2.4 7.如图，己知点B，D在AC的两侧，E，F分别是△ACD与△ABC的重心，且EF=2，则BD的长度是（    ） A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 7 8.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 、 、 、 、 、 、 在小正方形的顶点上，则 的重心是（    ） A. 点                                     B. 点                                     C. 点                                     D. 点 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，过重心G作AC、BC的垂线，垂足分别为D、E，则四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比为(    ) A.                                          B.                                          C.                                          D.  10.如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则 的值为（   ） A.                                         B.                                         C.                                         D.  二、填空题 11.已知点G是 的重心， ，那么点G与边 中点之间的距离是________． 12.直角三角形斜边长为6，那么这个三角形的重心到斜边中点的距离为________. 13.如图， 中，G为重心， ，那么 =________； 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为________. 15.如图，G是△ABC的重心，若 ，则图中阴影部分面积是________ 三、解答题 16.画出下图中 的重心. 17.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 的重心．求证： ． 18.在△ 中，已知 是 边的中点， 是△ 的重心，过 点的直线分别交 、 于点 、 . （1）如图1，当 ∥ 时，求证： ； （2）如图2，当 和 不平行，且点 、 分别在线段 、 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）如图3，当点 在 的延长线上或点 在 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 19.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心． （1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边 的重心为点O，求 与 的面积． （2）性质探究：如图（二），已知 的重心为点O，请判断 、 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由． （3）性质应用：如图（三），在正方形 中，点E是 的中点，连接 交对角线 于点M． ①若正方形 的边长为4，求 的长度； ②若 ，求正方形 的面积． 答案解析部分 一、单选题 1. A 考点：三角形的角平分线、中线和高 解：三角形的重心是三条中线的交点， 故答案为：A． 分析：熟记三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键。 2. A 考点：三角形的面积，三角形三边关系 解：如图， ∵点G是△ABC的重心， ∴AG=2DG， ∴AD=AG+DG=3DG， ∴． 故选A． 分析：根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得AG=2DG，那么AD=AG+DG=3DG，代入即可求得AG：AD的值． 3. A 考点：相似三角形的判定与性质 解：如图， ∵点G是△ABC的重心 ∴AD为中线，AG=2GD， ∴BD=CD=BC=6，AG：AD=2:3 ∵GE∥BC， ∴△AGE∽△ADC， ∴, ∴ ∴GE=4 故答案为：A 分析： 由已知点G是△ABC的重心，就可证得AG：AD=2:3，求出CD的长，再由GE∥BC，可证△AGE∽△ADC，然后利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出GE的长。 4. D 考点：三角形的角平分线、中线和高，三角形的中位线定理 解：∵ 经过 的重心， ∴点D是BC中点， ∵BC=12， ∴CD=BD=6， ∵GE∥BC， ∴△AGE∽△ADC， ∵点E是AC中点， ∴ ，即 ， 解得：GE=3， 故答案为：D. 分析：根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到 ，从而求出GE. 5. D 考点：圆与圆的位置关系 解：延长CD交⊙D于点E， ∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB= =15， ∵D是AB中点，∴CD= ， ∵G是△ABC的重心，∴CG= =5，DG=2.5， ∴CE=CD+DE=CD+DF=10， ∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r， ∴ ， 故答案为：D. 分析：各点到C的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内对比OC＜AC＜BC，确定O在圆内，B在圆外，写出半径r的取值即可． 6. A 考点：三角形的中位线定理 解：∵点G为△ABC的重心， ∴AE＝BE，BF＝CF， ∴EF＝ ＝1.7， 故答案为：A． 分析：由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度． 7. C 考点：相似三角形的判定与性质 解：连接DE并延长，叫AC于点G，连接BG， ∵点F是△ABC的重心， ∴BG经过点F， ∵点E为△ADC的重心， ∴点G是AC的中点， ∴ED=2EG，BF=2FG， ∴ ∵∠FGE=∠BGD ∴△FGE∽△BGD， ∴ 解之：BD=6. 故答案为：C. 分析：抓住已知条件：E，F分别是△ACD与△ABC的重心，因此添加辅助线：连接DE并延长，叫AC于点G，连接BG，易证BG经过点F，利用三角形的重心定理可知ED=2EG，BF=2FG，再利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证△FGE∽△BGD，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出BD的长。 8. A 考点：三角形的角平分线、中线和高 解：根据题意可知，直线 经过 的 边上的中点，直线 经过 的 边上的中点， ∴点 是 重心． 故答案为：A． 分析：根据三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到三角形的顶点的距离等于重心到三角形这边距离的2倍，观察图形可得出此△ABC的重心。 9. C 考点：相似三角形的判定与性质 解：连接AG并延长交BC于点M， ∵点G是重心， ∴AG：GM=2:1，BC=2CM ∵矩形GDCE， ∴DG=CE，DG∥BC， ∴△ADG∽△ACM， ∴, 设DG=CE=2x，则CM=3x，BC=2×3x=6x， 设AD=2y，则AC=3y，CD=y ∴. 故答案为：C. 分析：连接AG并延长交BC于点M，根据重心的性质，可知AG：GM=2:1，BC=2CM，再利用矩形的性质，可证得△ADG∽△ACM，利用相似三角形的性质，可求出对应边之比，设DG=CE=2x，用含x的代数式分别表示出CM，BC的长，设AD=2y，分别用含y的代数式表示出AC，CD的长，然后就可求出四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比。 10. D 考点：相似三角形的判定与性质 解：∵点O是△ABC的重心， ∴OC= CE， ∵△ABC是直角三角形， ∴CE=BE=AE， ∵∠B=30°， ∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°， ∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形， ∴CM= CE， ∴OM= CE﹣ CE= CE，即OM= AE， ∵BE=AE， ∴EF= AE， ∵EF⊥AB， ∴∠AFE=60°， ∴∠FEM=30°， ∴MF= EF， ∴MF= AE， ∴ = = ． 故选：D． 分析：根据三角形的重心性质可得OC= CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM= CE，进一步得到OM= CE，即OM= AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF= AE，MF= EF，依此得到MF= AE，从而得到 的值． 二、填空题 11. 3 考点：相似三角形的性质，相似三角形的应用 解：如图，D是BC边的中点； ∵G是△ABC的重心， ∴AG=2GD=6，即GD=3； 故答案为：3. 分析：根据三角形重心的性质进行求解． 12. 1 考点：三角形的角平分线、中线和高，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线 解：如图所示，取AO，BO的中点K，H，连接KH，HM，MN，NK， ∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴MN平行且等于 AB． 又∵K，H分别是AO，BO边的中点， ∴KH平行且等于 BC． ∴MN平行且等于KH． ∴四边形KHMN是平行四边形． ∴NO=OH，MO=KO． 而AK=KO，BH=HO， ∴BO=2ON，AO=2OM． ∵直角三角形斜边长为6， ∴斜边上的中线长为3， ∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1， ∴三角形的重心到斜边中点的距离OM为1， 故答案为：1． 分析：先证明重心是三角形三边中线的交点，以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 即可得出答案． 13. 6 考点：三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积 解：如图示，连接AG交BC于D点，作△ABC的高h1 ， 做△BCG的高h2 ， ∵G为△ABC的重心，根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍， ∴AD=3GD， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 分析：根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍和已知可以求出△ABC的面积． 14. 2 考点：三角形的角平分线、中线和高，平行线分线段成比例 解：如图，连接AG并延长AG交BC于D， ∵点G是△ABC的重心， ∴AG=2GD，即 ， ∴ ， ∵由GH⊥BC，∠ACB=90°， ∴GH//BC， ∴ ， ∵AC=6， ∴GH=AC· =6× =2， 故答案为：2 分析：如图，连接AG并延长AG交BC于D，由重心的性质可知 ，可得 ，由GH⊥BC，∠ACB=90°可得GH//BC，根据平行线分线段成比例定理即可得答案. 15. 4 考点：三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积 解：∵ G是△ABC的重心 ，∴AG∶GD=2∶1,BD=CD,AE=EC,∴S△ADC=S△ABD=S△ABC=6,S△AGC∶S△DGC=2∶1, S△AGE=S△EGC ,∴S△DGC=S△AGE=S△EGC=2,同理S△AFG=S△BFG=S△BDG=2,∴ 图中阴影部分面积 =S△BFG+S△EGC=4; 故答案为：4. 分析：根据三角形重心的性质得出AG∶GD=2∶1,BD=CD,AE=EC，根据等高三角形的面积之间的关系得出S△ADC=S△ABD=S△ABC=6,S△AGC∶S△DGC=2∶1, S△AGE=S△EGC ,∴S△DGC=S△AGE=S△EGC=2,同理S△AFG=S△BFG=S△BDG=2,从而算出答案。 三、解答题 16. 解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点 ，点 即为所求. 考点：作图—基本作图 分析：先作BC、AC的垂直平分线，找到其中点，再作出中线，两中线的交点即重心. 17. 证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H， ∵AD是△ABC的中线， ∴点D是BC的中点， ∴DH是△BCE的中位线， ∴BE=2DH，DH∥AB， ∵CE是△BCE的中线， ∴AE=BE， ∴AE=2DH， ∵DH∥AB， ∴△AEG∽△DHG， ∴ ， ∴AG=2GD， 即AD=3GD. 考点：相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理 分析：过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证． 18. （1）证明： 是△ 重心 ,   又 ∥ , , ,     则 （2）解：（1）中结论成立，理由如下： 如图，过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ， 则 ，   又 而 是 的中点，即 又 结论成立 （3）解：（1）中结论不成立，理由如下： 当 点与 点重合时， 为 中点， , 点 在 的延长线上时， , ,则 ， 同理：当点 在 的延长线上时， ， 结论不成立. 考点：三角形的角平分线、中线和高，相似三角形的判定与性质 分析：（1）重心：三条中线的交点，其到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。根据已知条件，判定△AEF∽△ABC，对应边成比例，分析即可证明 。 （2）结论仍成立。同（1）， 过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，判定三角形相似，然后对应边成比例。根据重心的性质，等式替换，分析即可证明结论。 （3）当 点与 点重合时， 为 中点， 。 点 在 的延长线上时 ，＞1， 则 ， 结论不成立。同理E在AB延长线时， 也不符合结论。 19. （1）解：连接DE，如图， ∵点O是 的重心， ， 是 ， C边上的中线， 为 ， 边上的中点， 为 的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知， 是定值； 是定值； （3）解：①∵四边形ABCD是正方形， ， ， 为CD的中点， ，即 ； ② ，且 ∴ ， ， ， ， ， 又 ∴正方形ABCD的面积为：6+6=12． 考点：三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，正方形的性质，相似三角形的判定与性质 分析：（1）连接DE，利用相似三角形证明 ，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM得 ，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM 即可. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $