4.5相似三角形的性质及其应用（3）课时练习 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦相似三角形应用，以生活情境为载体，通过基础巩固、情境迁移、综合建模三阶设计，培养几何直观与模型意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|相似三角形基本应用|单选1-4题（影子、高度测量），直接应用相似比，强化概念理解| |提升层|复杂情境迁移|填空11-14题（镜面反射、小孔成像），融合跨学科情境，发展推理能力| |综合层|多知识综合建模|解答16-19题（隧道测量、矩形裁剪），结合方程思想，培养问题解决与数学表达能力|

4.5相似三角形的性质及其应用（3） 课时练习 一、单选题 1.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 是（    ） A. 4米                                     B. 4.5米                                     C. 5米                                     D. 5.5米 2.身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是（    ） A. 米                                 B. 米                                 C. 米                                 D. 米 3.路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（     ） A. 6.75米                                B. 7.75米                                C. 8.25米                                D. 10.75米 4.AB和DE是直立在水平地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻测得在阳光下的投影 米，同时，测量出 在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（    ） A. 米                                 B. 米                                 C. 米                                 D. 米 5.如图，为了估计某一条河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS = 60m，ST =120m，QR=80m，则这条河的宽度PQ为（  ） A. 40m                                   B. 120m                                   C. 60m                                   D. 180m 6.现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（   ） A.                                          B.                                          C.                                          D.  7.如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（   ） A. 18.75米                                 B. 18.8米                                 C. 21.3米                                 D. 19米 8.据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山 位于树的西面.山高 为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高 的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）(      ) A. 162丈                                 B. 163丈                                 C. 164丈                                 D. 165丈 9.如图，有一块三角形土地，它的底边 米，高 米，某单位要沿着底边 修一座底面是矩形 的大楼，矩形的长宽比为5：4，则这座大楼的地基面积是（   ）   A.                           B.                           C.                           D.  10.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为(   ) A.                                    B.                                    C. 11m                                   D.  二、填空题 11.如图是小玲用手电来测量城墙高度的示意图．在点P处水平放置平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米，则该城墙CD的高度________米． 12.我军侦察员在距敌方AN=120m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离AM约为40cm，食指BC的长约为8cm，则敌方建筑物DE的高度约是________m。 13.图1是小红在“淘宝·双11”活动中所购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示。已知两支脚AB=AC，为AC上固定连接点，靠背OD=10分米。档位为Ⅰ档时，OD∥AB，档位为Ⅱ挡时，OD’⊥AC。当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠至D’，此时点D移动的水平距离是2分米，即ED’=2分米。DE⊥BC交OD’于点G，则DG=________分米。 14.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm, OB=15 cm，则火焰的长度为________. 15.如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱 的高为 米，踏板 长为 米，支撑点 到踏脚 的距离为 米，现在踏脚着地，则捣头点 上升了________米． 三、解答题 16.中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”。修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥。如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长。 17.如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，身高为1.6m，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． （1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度越来越________（用“长”或“短”填空）；请你在图中分别画出小亮站在B处、D处的影子； （2）当小亮离开灯杆的距离OB＝3.6m时，小亮的影长为1.2m，灯杆的高度为多少m？ （3）当小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，小亮的影长变为多少m？ 18.如图，小芳家的落地窗（线段DE）与公路（直线PQ）互相平行，她每天做完作业后都会在点A处向窗外的公路望去． （1）请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为BC． （2）小芳很想知道点A与公路之间的距离，于是她想到了一个办法．她测出了邻家小彬在公路BC段上走过的时间为10秒，又测量了点A到窗的距离是4米，且窗DE的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2米/秒，请你帮助小芳计算出点A到公路的距离． 19.有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120 cm，高AD＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示． （1）求矩形纸片较长边EH的长. （2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确． 答案解析部分 一、单选题 1. D 考点：相似三角形的应用 解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D ∴△ADEF∽△DCB ∴ ∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m ∴ 解得：BC=4 ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米 故答案为：5.5. 分析：利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB. 2. D 考点：相似三角形的应用 解：∵同一时刻的物高与影长成正比例, ∴1.6∶1=旗杆的高度∶9. ∴旗杆的高度为14.4米. 故答案为：D. 分析：同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，据此列方程即可解答. 3. C 考点：相似三角形的应用 解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。 ∵四边形CDFH是矩形 ∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90° ∵AG∥FE ∴∠AGM=∠FED 又∵∠FDE=∠AMG=90° ∴△AMG∽△FDE ∴AM:MG=DF:DE 即AM:（5+2）=3:4 解得  AM=5.25 ∴AB=AM+BM=8.25(米) 故答案为：C。 分析：延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM:MG=DF:DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。 4. B 考点：相似三角形的应用 解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m， ∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m ∴ ， ∴ ， ∴DE= （m） 故答案为：B． 分析：根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题． 5. B 考点：相似三角形的应用 解：∵QR⊥PS，ST⊥PS， ∴QR∥ST， ∴， ∵QS = 60，ST =120，QR=80， 设PQ=x，则PS=x+60， ∴， 解得：x=120. ∴这条河的宽度PQ为120 m. 故答案为：B. 分析：由QR⊥PS，ST⊥PS得QR∥ST，根据平行线分线段成比例定理得， 设PQ=x，则PS=x+60，代入解方程即可. 6. D 考点：相似三角形的应用 解：如图， ∵BC∥ED， ∴△ABC∽△AED， . 故答案为：D. 分析：根据相似三角形的判定和性质即可得出答案. 7. C 考点：相似三角形的应用 解：由镜面反射的规律得： 又 由题意得： 解得： 故答案为：C. 分析：根据题意可知∠BAC=∠MAN，∠BCA=∠MNA，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AMN，然后利用相似三角形的对应边成比例，求出MN的长。 8. D 考点：相似三角形的应用 解：由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里， 过E作EG⊥AB于G，交CD于H， 则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里， ∵CD∥AB， ∴△ECH∽△EAG， ∴ ， ∴ ， ∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈， 故答案选D. 分析：由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案. 9. B 考点：相似三角形的应用 解：如图， ∵DG∥BC ∴△ADG∽△ABC 它们的对应高线比等于对应线段的比， 即 ， 设DE=x，那么MH=DE=x，AM= AH-MH=80-x ∴ ， ∵DG:DE=5:4 ∴DG= ∴ 解得x=40 即DE=40米，DG=50米， ∴这座大楼的地基面积=40×50=2000米2. 故答案为：B. 分析：两三角形相似，对应高之比等于相似比．利用此性质即可解答． 10. A 考点：相似三角形的应用 解：如图，作DE⊥FC于点E， ∴△ABC∽△CED，∴ . 设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A. 分析：如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得， 设AB＝x米,代入对应数据，求出x值即可. 二、填空题 11. 8 考点：相似三角形的应用 解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP， ∴△ABP∽△CDP． ∴ ，即 ． 解得CD＝8， 即该城墙的高度是8米． 分析：根据光学知识反射角等于入射角得到∠APB＝∠CPD，再通过证三角形相似即可求解。 12. 24 考点：相似三角形的应用 解：由题意得：BC∥DE ∴△ABC∽△ADE ∴AM:AN=BC:DE ∴DE=. 分析：先利用平行线法证得△ABC∽△ADE，然后利用相似三角形的对应高的比等于相似比列出比例式，据此求解即可。 13. 3.5 考点：相似三角形的应用 解：过点A作AH⊥BC于点H，过点O作OM∥BC，过点D作DN⊥OM于点N，过点D ’ 作D ’ M⊥OM， ∴∠OND=90°， 由题意可知AB=AC=OD=OD ’=10 ED ’ =NM=2， ∵OD∥BC，OM∥BC ∴∠BAC=∠AOD，∠ACB=∠MOC，    ∴∠ABH=∠DON ∵∠AHB=∠DNO=90°， ∴△ABH≌△DON（AAS） ∴AH=DN，BH=ON， 同理可证△ABH≌△D’ON ∴OM=DN，ON=D’M， 设ON=x，则HB=x,AH=DN=OM=x+2 在Rt△DNO中 ON2+DN2=OD2, ∴x2+（x+2）2=102 解之：x1=6，x2=-8（舍去） ∴ON=D ’ M=6, OM=DN=2+6=8 ∵NG∥D ’ M ∴△ONG∽△OMD ’ ∴即 解之：NG=4.5 ∴DG=DN-NG=8-4.5=3.5. 故答案为：3.5. 分析：过点A作AH⊥BC于点H，过点O作OM∥BC，过点D作DN⊥OM于点N，过点D ’ 作D ’ M⊥OM，由题意可知AB=AC=OD=OD ’=10，利用AAS证明△ABH≌△DON，可得到AH=DN，BH=ON，同理可证得△ABH≌△D’ON，利用全等三角形的性质，易证OM=DN，ON=D’M，设ON=x，则HB=x,AH=DN=OM=x+2，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到ON，OM的长，再证明△ONG∽△OMD ，利用相似三角形的对应边成比例就可求出NG的长，然后由DG=DN-NG求出DG的长。 14. 8 cm 考点：相似三角形的应用 解：由题意得△AOC∽△BOD ∴ ∵BD="2" cm，OA="60" cm，OB="15" cm ∴ 解得AC=8 则火焰的长度为8cm. 分析：由题意可得△AOC∽△BOD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果. 15. 考点：相似三角形的应用 解：∵AB∥EF， ∴△DAB∽△DEF， ∴AD：DE=AB：EF， ∴0.6：1.6=0.3：EF， ∴EF=0.8米． ∴捣头点E上升了0.8米． 故答案为：0.8 分析：根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可． 三、解答题 16. ∵  ， ∴ ， 又∵ ， ∴△ABC∽△ANM， ∴ ， ∵BC=45， ∴MN=3000. 答：直线隧道MN长为3000米. 考点：相似三角形的应用 分析：由已知条件易证△ABC∽△ANM，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出MN的长. 17. （1）短 （2）解：先设OP＝xm，则当OB＝3.6m时，BE＝1.2m， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， ∴x＝6.4， 所以灯杆的高度为6.4m。 （3）解：当OD＝6m时，设小亮的影长是ym， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴y＝2． 即小亮的影长是2m。 考点：相似三角形的应用 解：（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示，BE即为所求； 故答案为：短。 分析：（1）根据光是沿直线传播的，可得出小亮的影子靠近O点时越来越短。 （2）根据对应边成比例，可设出OP为x，求出x的数值。 （3）根据题意，利用对应边成比例，解出y的值，得出小亮的影长。 18. （1）解：如图，BC即为所求， （2）解：过A做AG⊥PQ于G，交DE于H， 由题意可知：DE //BC，DE=3，AH=4， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴AG=16， 答：点A到公路的距离是16m. 考点：相似三角形的应用 分析：（1）连接AD、AE并延长，交PQ于B、C，则BC即为所求；（2）过A做AG⊥PQ于G，交DE于H，由窗DE和路PQ平行，可得△ADE∽△ABC，进而得到 ，BC的长度可根据小彬的速度和时间求出，AH，DE已知，据此可求出AG. 19. （1）解：∵ 矩形纸片EFGH 邻边之比为2∶5 ， ∴ ∴AR=AD-RD=80-2x， ∵EH∥BC, ∴△AEH∽△ABC， ∴ , ∴ ， ∴EH=5x=75cm; （2）解：设PQ=y,则PM=y， ∴AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y ∵PQ∥EH, ∴△APQ∽△AEH, ∴ , ∴ , 即PQ=30, 由题意知：PQ是△AEH的中位线， ∴PQ=EH=37.5 , ∵30≠37.5 ∴ 小聪的剪法不正确． 考点：相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用 分析：(1）AR=AD-RD=80-2x，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出， 由比例式建立方程，即可求出x的值，从而得出答案； （2）设PQ=y,则PM=y，AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APQ∽△AEH,，根据相似三角形对应边成比例得出， 由比例式建立方程，即可求出y的值，从而得出PQ的长，再根据三角形中位线定理算出PQ的长，进行比较即可得出答案。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $