4.1比例线段（3）课时练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 以比例中项和黄金分割为核心，通过基础概念辨析、中档情境应用、提升实践操作的三层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养数学抽象与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|比例中项定义、黄金分割点概念|单选题直接考查概念（如黄金分割点个数），填空题强化定义表述（如黄金比数值），夯实抽象能力| |中档|黄金比计算、简单实际应用|结合生活情境（室温舒适值、蝴蝶身体长度），通过选择填空考查运算能力，体现数学眼光| |提升|综合应用与作图证明|解答题设计主持人位置确定、包装盒黄金分割点作图及证明，融合推理与实践，发展应用意识|

4.1比例线段（3） 课时练习 一、单选题 1.已知线段 ，则线段 的比例中项为（     ） A.                                      B.                                      C.                                      D.  2.已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（　　） A.                                B.                                C.                                D.  3.一条线段的黄金分割点有（   ） A. 1个                                     B. 2个                                     C. 3个                                     D. 无数个 4.如果线段b是线段a，c的比例中项， ，那么下列结论中正确的是（    ） A.                        B.                        C.                        D.  5.据有关实验测定，当室温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约（精确到1℃）（   ） A. 21℃                                    B. 22℃                                    C. 23℃                                    D. 24℃ 6.已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（   ） A. AB2＝AC2+BC2            B. BC2＝AC•BA            C.             D.  7.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（   ） A. S1＞S2                               B. S1=S2                               C. S1＜S2                               D. 不能确定 8.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（   ） A. ①                                         B. ②                                         C. ③                                         D. ④ 二、填空题 9.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为________（结果带有根号） 10.一本书的宽与长之比为黄金比,已知它的长为18cm,则它的宽为________. 11.科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是 ，则蝴蝶身体的长度约为________ （精确到 ）. 12.一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿________cm的鞋子才能好看？（精确到0.01cm）． 三、解答题 13.  （1）求x的值：5：（x+1)=3：x。 （2）已知线段a=2，b=8，求a，b的比例中项线段c。 14. （1）已知 = ≠0，求代数式 的值； （2）已知线段AB=10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点， 求C、D之间的距离． 15.实践证明，节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好．如下图，假设线段AB为舞台前沿，你能为主持人找出一个最佳位置C吗？ 16.黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计。下图是一个包装盒的俯视图，线段AB是这个俯视图的中轴线，某公司想在中轴线AB上找到黄金分割点，安装视频播放器。 （1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）； （2）证明你找到的点是线段AB的黄金分割点。 答案解析部分 一、单选题 1.D 考点：比例的性质 解：设a、b的比例中项为x，∵a=4，b=8， ∴x2=ab=32，∴x=±4 ，即a、b的比例中等于4 ． 故答案为：D. 分析：根据比例中项的定义可求解。 2. B 考点：黄金分割 解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点， 且AP＞BP， 则AP＝ ×2＝ ﹣1. 故答案为：B. 分析：根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP= AB，代入数据即可得出AP的长度. 3. B 考点：黄金分割 解：根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个. 分析：根据黄金分割点的定义即可求解. 4. B 考点：比例的性质 解：∵a：c=4：9， ∴9a=4c，即a= 又∵b是a，c的比例中项 ∴a：b=b：c，即 ∴b= ∴a：b= ： =2：3，b:c=2:3， . 故答案为：B. 分析：首先由a：c=4：9，易得9a=4c，可以将a用c表示出了；再根据比例中项的概念，可得a：b=b:c，即b2=ac，那么 ，进而求解即可 5. C 考点：黄金分割 解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃. 故答案为：C. 分析：根据黄金比的值可知，人体感到最舒适的温度应为37℃的0.618倍. 6. C 考点：黄金分割 解：黄金分割定义知， ,所以AC2=AB . 设AB=1，AC=x, , 解得：x= . ， 故答案为：C. 分析：黄金分割，就是在一条线段上去一点，将这条线段一分为二，其中较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，从而即可列出比例式，根据比例式建立方程即可一一判断得出答案. 7. B 考点：黄金分割 解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC， ∴BC2=AC•AB， ∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积， ∴S1=BC2 ， S2=AC•AB， ∴S1=S2 ． 故答案为：B． 分析：由黄金分割点的性质，列出关系式进行计算即可。 8. B 考点：黄金分割 解：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置， 故答案为：B. 分析：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置， 二、填空题 9. 考点：黄金分割 解：如图，C是AB的黄金分割点（AC＞BC）， 由题意得 ，即 ， AC2+AB·AC-AB2=0， 解得 AC= AB，AC= AB（舍去）， ∴ = ． ∴这个比值为 ． 故答案为 ． 分析：根据所给黄金分割的定义列式求解即可． 10. 考点：黄金分割 解：设该长方形的宽为xcm， 根据题意 得， 解得x= . 故答案为： . 分析：由于黄金比的值， 故根据宽与长之比为黄金比列出方程，求解即可. 11. 2.5 考点：黄金分割 解：设蝴蝶身体的长度为xcm，由题意得：x：4 ，解得：x=2 2≈2.5. 故答案为：2.5. 分析：设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为 列式计算即可. 12. 10.16 考点：黄金分割 解：设空姐应穿xcm的鞋子， 由题意得：(95+x)÷(65+95+x)=0.618, 解得：x=10.16， 分析：设空姐应穿xcm的鞋子，根据黄金分割比为0.618列式计算即可. 三、解答题 13. （1）解：5 : ( x +1) = 3 : x 3(x+1)=5x 3x+3=5x x= 1.5 （2）解：∵c 为线段 a，b 的比例中项 ∴c2=ab 由于 c>0，故c=4 考点：比例的性质 分析：（1）根据比例的性质，内项之积等于外项之积，把原方程化为普通方程，再移项合并同类项，x系数化为1即可求解； （2）根据c为a、b的比例中项列式, 求出c, 再检验即可. 14. （1）解：设 = =k，可得：a=2k，b=3k， 把a=2k，b=3k代入 （2）解：∵C、D是AB上的两个黄金分割点， ∴AD=BC= AB=5 ﹣5， ∴CD=AD+BC﹣AB=10 ﹣20cm． 考点：比例的性质，黄金分割 分析：（1）利用已知可设a=2k，b=3k，再代入可求解。 （2）由点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，利用黄金分割点的定义，可得出AD=BC=AB，就可求出AD、BC的长，再根据CD=AD+BC﹣AB，代入可求解。 15.解：距点A至少是1- ≈0.4或距点B至少是1- ≈0.4， 故最佳位置C在距A点或B点 AB处， 如图所示： 考点：黄金分割 分析：利用黄金分割的定义解答即可。 16. （1）解：如图， （2）解：如图， 设AB=1，有： BC=BD= ，AC= ， AE=AD= ∴点E是线段AB的黄金分割点。 考点：作图—复杂作图，黄金分割 分析：（1）过点B作AB的垂线，再在垂线上截取BC=AB，以点C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，然后以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，即可确定出这个点。 （2）设AB的长为1，根据画法可得到BC，AC的长，然后求出AE的长，即可证得此点是线段AB的黄金分割点。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $