7.3 平行线的证明 教案 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦平行线的判定与性质，第1课时以小明作平行线情境导入，衔接已学同位角知识，通过推理证明内错角、同旁内角判定定理，第2课时由判定方法逆向引出性质，构建“判定-性质”知识支架。 亮点在于注重推理能力培养，如用反证法证明“两直线平行，同位角相等”，结合折纸活动发展几何直观与空间观念，规范符号语言表达。通过典例与分层检测，提升学生逻辑推理与应用意识，为教师提供结构化教学流程，助力高效课堂。

7.3 平行线的证明 第1课时 平行线的证明 教学设计 课题 7.3 第1课时 平行线的证明 授课人 教学目标 1.理解并掌握平行线的判定方法. 2.经历探索直线平行的条件的过程，并能运用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”进行简单的证明. 3.经过观察、想象、推理、交流等活动，进一步加强学生空间观念、推理能力和有条理的表述能力. 4.在活动中培养学生良好的习惯、与他人合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时也能够认同他人. 教学重点 探索两直线平行的条件. 教学难点 运用直线平行的判定方法解决问题. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 据说，人类知识的 75% 是在操作中学到的. 小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？ 引入新知 探究新知 1.平行线的判定 同位角相等，两直线平行. 基本事实 内错角相等，两直线平行.是否是真命题? 同旁内角互补，两直线平行. 基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 应用格式： 如图，∵∠3=∠2 (已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行). 试证明： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2. 求证：a∥b. 解：∵∠1 = ∠2 (已知条件)， ∠1 = ∠3(对顶角相等)， ∴∠2 = ∠3(等量代换). ∴ a∥b (同位角相等，两直线平行). 定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述为：内错角相等，两直线平行. 应用格式： ∵∠1 =∠2(已知)， ∴ a∥b (内错角相等，两直线平行). 试证明： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b. 证明:∵∠1与∠2互补 (已知), ∴∠1+∠2=180°(互补的定义). ∴∠1= 180°-∠2(等式的性质). 又∵∠3+∠2=180° (平角的定义), ∴∠3= 180°-∠2(等式的性质). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行). 教师提醒：还有其他证法吗？ 方法二 证明：∵∠1 与∠2 互补 (已知)， ∴ ∠1 +∠2 = 180° (互补的定义)， ∵∠2+∠3=180°(补角的定义)， ∴ ∠1=∠3(同角的补角相等). ∴ a∥b(内错角相等，两直线平行). 定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简述为：同旁内角互补，两直线平行. 应用格式： ∵∠1 +∠2 = 180°(已知)， ∴ a∥b (同旁内角互补，两直线平行). （链接针对练习） 2.画平行线 （1）我们可以用如图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗? 一、放 二、靠 三、推 四、画 内错角相等，两直线平行 （2）在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明，与同伴交流各自的折纸方法与证明过程. 教师引导学生进行简单的推理，得出结论，然后再仿照方法进行归纳，得出其它两个判定方法，同时渗透转化的数学思想. 典例精析 【针对练习】根据图形完成填空： ① ∵∠1 = ∠2 （已知）， ∴ AB∥CE ( 内错角相等,两直线平行 ). ② ∵∠1 + ∠3 = 180°（已知）， ∴ CD∥BF ( 同旁内角互补,两直线平行 ). ③ ∵∠1 +∠5 = 180°（已知）， ∴ CE ∥ AB ( 同旁内角互补,两直线平行 ). ④ ∵∠4 + ∠3 = 180°（已知）， ∴ AB∥CE ( 同旁内角互补,两直线平行 ). 通过针对练习，使学生理解平行线的判定的应用. 随堂检测 1.如图,点E在AB的延长线上,下列条件中能判断AD∥BC的是（　B ） A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠4 C. ∠C=∠CBE D. ∠C+∠ABC=180° 2. 如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　C　） A. ∠FEC=∠EFB B. ∠BFC+∠C=180° C. ∠BEF=∠EFC D. ∠C=∠BFD 3. 如图，能判定a∥b的条件是（　B　） A. ∠1=∠5 B. ∠2+∠4=180° C. ∠3=∠4 D. ∠2+∠1=180° 4. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（　B　） A. ∠1=∠6 B. ∠2=∠6 C. ∠1=∠3 D. ∠5=∠7 5. 如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是　AD∥BC　. 6. 如图所示，推理填空： （1） ∵ ∠1= ∠C （已知）， ∴ AC∥ED（同位角相等，两直线平行）. （2） ∵ ∠2= ∠BED (已知)， ∴ AB∥FD(内错角相等,两直线平行). （3） ∵ ∠2+ ∠AFD =180°(已知), ∴ AC∥ED(同旁内角互补，两直线平行). 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1平行线的判定定理的证明； 2.证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系； 3.注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 7.3 第1课时 平行线的证明 1.平行线的判定 基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 2.画平行线 教学反思 第2课时 平行线的性质 教学设计 课题 7.3 第2课时 平行线的性质 授课人 教学目标 1.使学生掌握平行线的性质 2.使学生能够根据平行线的性质进行简单的计算和推理推理. 教学重点 掌握平行线的性质. 教学难点 平行线的性质的应用. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 平行线的判定方法是什么？ 两条直线被第三条直线所截， 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角有什么关系呢? 借助平行线的判定来引出平行线的性质. 探究新知 1.平行线的性质 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？ 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 文字语言：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 符号语言：已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角. 求证：∠1 =∠2. 问题3：你能说说证明的思路吗？ 如果∠1 ≠ ∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？ 证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD. 又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2. 性质1 定理 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 应用格式： ∵ a∥b（已知）， ∴∠1 =∠2（两直线平行，同位角相等）. 探究 利用上面的定理，我们可以证明： 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 尝试来证明一下！ 证一证 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证： ∠1=∠2. 证明:∵ a∥b(已知), ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等). 又∵ ∠1=∠3(对顶角相等), ∴ ∠1=∠2(等量代换). 性质2 定理 两条直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. 应用格式： ∵ l1∥l2(已知)， ∴ ∠1 =∠2 (两直线平行，内错角相等). 已知：如图，直线 l1∥l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截得的同旁内角. 求证：∠1 +∠2 = 180°. 证明：∵ l1∥l2 (已知)， ∴∠2 =∠3 (两条直线平行，同位角相等). ∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)， ∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) . 性质3 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 应用格式： ∵ l1∥l2(已知)， ∴ ∠1 +∠2 = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？ 两条直线被第三条直线所截， 判定与性质的条件与结论正好反过来。 2.平行于同一条直线的两条直线平行 （链接例1） 定理 平行于同一条直线的两条直线平行. 符号语言： 如图，b∥a，c∥a（已知）， ∴ b∥c （平行于同一条直线的两条直线平行）. ☀归纳总结 证明一个命题的一般步骤： (1) 弄清题设和结论； (2) 根据题意画出相应的图形； (3) 根据题设和结论写出已知，求证； (4) 分析证明思路，写出证明过程. 3.平行线的性质与判定 （链接例2） 引导学生通过反证法证明平行线的性质定理，两直线平行，同位角相等，然后通过说理，使学生了解两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 典例精析 【例1（教材P192例题）】 已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3 是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c. 【证明】∵b∥a（已知）， ∴∠2 =∠1（两直线平行，同位角相等）. ∵c∥a（已知）， ∴∠3 =∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2 =∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）. 【例2】如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD， ∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：AD∥BE. 【解】 ∵AB∥CD已知， ∴∠BAE＝∠4（两直线平行，同位角相等）. ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE(等式的性质1)， 即∠BAE＝∠CAD，∴∠4＝∠CAD(等量代换). ∵∠3＝∠4，∴∠CAD＝∠3(等量代换). ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）. 通过例题证明平行于同一条直线的两条直线平行.同时进一步规范平行线性质的符号语言，培养学生的推理能力. 随堂检测 1.如图，已知a//b,∠1=58°,则∠2的度数是( C ) A.122° B.85° C.58° D.32° 2.如图，AB//CD,∠CDE=140°,则∠A的度数为( D ) A.70° B.65° C.50° D.40° 3.如图，BC⊥DE,垂足为C,AC//BD, ∠B=40°,则∠ACE的度数为( B ) A.40° B.50° C.45° D.60° 4.如图，直线a//b,∠1=50°,∠2=30°, 则∠3的度数为( D ) A.30° B.50° C.80° D.100° 5.如图，直线AB//CD,则下列结论 正确的是( D ) A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180° 6.如图，∠1+∠2=220°,直线b//c,则∠3的度数为 70° . 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1.你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ 平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 2.学习本节课后，还存在哪些困惑？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 7.3 第2课时 平行线的性质 1.平行线的性质 两直线平行，同位角相等. 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 2.平行于同一条直线的两条直线平行 3.平行线的性质与判定 教学反思 1 学科网（北京）股份有限公司 $