第07讲 基本不等式（培优讲义）新高一数学人教A版

第07讲 基本不等式（培优讲义） 2 知识点01 重要不等式与基本不等式 2 知识点02 基本不等式求最值核心结论 2 3 题型1 利用基本不等式比较大小 3 题型2 利用基本不等式证明不等式 4 题型3 和定积最大、积定和最小基础最值 4 5 题型2 条件等式型最值 5 题型3 “1” 的代换法求最值 6 题型4 对勾函数型最值 6 题型5 基本不等式的恒成立问题 7 7 7 课标要点 1.理解基本不等式的推导过程、几何意义，掌握公式形式与一正、二定、三相等使用条件。 2.能运用基本不等式比较代数式大小、证明简单不等式。 3.熟练利用基本不等式求解和、积型最值，掌握 “凑定值、拆项、配系数、1 的代换” 等常用技巧。 4.了解对勾函数模型，会处理分式、二次复合型最值，解决含参恒成立问题，对接高考高频考点 知识点01 重要不等式与基本不等式 1.重要不等式 对任意实数，有 ，当且仅当时取等号。 2.基本不等式（均值不等式） 若，则 其中叫做算术平均数叫做几何平均数。 文字表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3.使用三大条件 一正：均为正数； 二定：和为定值或积为定值； 三相等：等号能够取到（存在 的取值）。 4.常用变形（拓展） 练习 1．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02 基本不等式求最值核心结论 设 1.积定和最小：若，则，当且仅当取得最小值 。 2.和定积最大：若（定值），则，当且仅当时，ab取得最大值 3.“1” 的代换：已知，求型最值。 分式 / 二次商式：分子分母为一次、二次多项式，常用分离常数后再用基本不等式。 对勾函数：形如，结合单调性与基本不等式求值域、最值。 练习 1．若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 题型1 利用基本不等式比较大小 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 结合基本不等式、重要不等式，比较代数式、平均数大小。 直接套用不等式公式，结合作差法辅助验证；注意区分正负范围。 题型2 利用基本不等式证明不等式 1．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 方法技巧 证明整式、分式型简单不等关系。 从已知条件出发，合理配项、凑型，分步使用基本不等式，保证每一步满足使用条件。 题型3 和定积最大、积定和最小基础最值 1．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 2．若，则函数的最小值为_____. 方法技巧 直接给出和 / 积为定值，求另一类最值。 先判断满足 “一正”，再套用和定、积定结论，最后检验等号能否取到。 题型1 二次 / 分式商式求最值 1．已知且，则的最大值为____． 2．已知，求的最小值； 方法技巧 分子、分母含一次、二次多项式的分式最值。 优先分离常数，将式子拆成 “整式 + 可使用基本不等式” 的结构，再求解。 题型2 条件等式型最值 1．已知，则的最小值为_____． 2．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 3．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 4．已知，均为正数，若，则最小值为________. 方法技巧 附带等式约束，求代数式最值。 对条件式变形、配系数，构造出和定或积定结构，再使用基本不等式。 题型3 “1” 的代换法求最值 1．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 3．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 方法技巧 已知整式和为 1，求分式和的最值（经典模型）。 将目标式整体乘 “1”，展开后凑出积为定值的结构，再用基本不等式。 题型4 对勾函数型最值 1．函数(）的最大值为______． 2．若，则的最大值是______. 3．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 方法技巧 及其变式求最值、值域。 定义域包含正数时先用基本不等式；区间受限、含负数时结合对勾函数单调性分析。 题型5 基本不等式的恒成立问题 1．若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 3．若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 5．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 方法技巧 不等式恒成立，求参数取值范围。 转化为最值问题：恒成立 ⇨ 参数大于等于最大值 / 小于等于最小值，再用基本不等式求对应最值。 1．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 2．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 1．已知，，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 3．已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 8．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 9．已知，，则（ ） A． B． C． D． 10．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式（培优讲义） 2 知识点01 重要不等式与基本不等式 2 知识点02 基本不等式求最值核心结论 3 4 题型1 利用基本不等式比较大小 4 题型2 利用基本不等式证明不等式 5 题型3 和定积最大、积定和最小基础最值 7 8 题型2 条件等式型最值 9 题型3 “1” 的代换法求最值 11 题型4 对勾函数型最值 12 题型5 基本不等式的恒成立问题 13 17 17 课标要点 1.理解基本不等式的推导过程、几何意义，掌握公式形式与一正、二定、三相等使用条件。 2.能运用基本不等式比较代数式大小、证明简单不等式。 3.熟练利用基本不等式求解和、积型最值，掌握 “凑定值、拆项、配系数、1 的代换” 等常用技巧。 4.了解对勾函数模型，会处理分式、二次复合型最值，解决含参恒成立问题，对接高考高频考点 知识点01 重要不等式与基本不等式 1.重要不等式 对任意实数，有，当且仅当时取等号。 2.基本不等式（均值不等式） 若，则其中叫做算术平均数叫做几何平均数。 文字表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3.使用三大条件 一正：均为正数； 二定：和为定值或积为定值； 三相等：等号能够取到（存在 的取值）。 4.常用变形（拓展） 练习 1．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断充分性，利用基本不等式及不等式的性质判断必要性即可得解. 【详解】取，满足，此时，即推不出； 因为，，所以，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 知识点02 基本不等式求最值核心结论 设 1.积定和最小：若，则，当且仅当取得最小值。 2.和定积最大：若（定值），则，当且仅当时，ab取得最大值 3.“1” 的代换：已知，求型最值。 分式 / 二次商式：分子分母为一次、二次多项式，常用分离常数后再用基本不等式。 对勾函数：形如，结合单调性与基本不等式求值域、最值。 练习 1．若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 题型1 利用基本不等式比较大小 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求的范围，再根据集合的包含关系判断充分，必要条件. 【详解】因为，所以，则， 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 2．已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 3．已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由基本不等式证明充分性，取特殊值说明不满足必要性，即可求解. 【详解】当时，，则“”是“”的充分条件； 当，取，则，则“”不是“”的必要条件； 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 4．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 方法技巧 结合基本不等式、重要不等式，比较代数式、平均数大小。 直接套用不等式公式，结合作差法辅助验证；注意区分正负范围。 题型2 利用基本不等式证明不等式 1．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【详解】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 2．已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 方法技巧 证明整式、分式型简单不等关系。 从已知条件出发，合理配项、凑型，分步使用基本不等式，保证每一步满足使用条件。 题型3 和定积最大、积定和最小基础最值 1．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 2．若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 方法技巧 直接给出和 / 积为定值，求另一类最值。 先判断满足 “一正”，再套用和定、积定结论，最后检验等号能否取到。 题型1 二次 / 分式商式求最值 1．已知且，则的最大值为____． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 2．已知，求的最小值； 【答案】 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 方法技巧 分子、分母含一次、二次多项式的分式最值。 优先分离常数，将式子拆成 “整式 + 可使用基本不等式” 的结构，再求解。 题型2 条件等式型最值 1．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 2．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 3．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 4．已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 方法技巧 附带等式约束，求代数式最值。 对条件式变形、配系数，构造出和定或积定结构，再使用基本不等式。 题型3 “1” 的代换法求最值 1．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 3．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 方法技巧 已知整式和为 1，求分式和的最值（经典模型）。 将目标式整体乘 “1”，展开后凑出积为定值的结构，再用基本不等式。 题型4 对勾函数型最值 1．函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 2．若，则的最大值是______. 【答案】 【分析】根据已知化为，应用基本不等式求最大值即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值是. 故答案为： 3．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 方法技巧 及其变式求最值、值域。 定义域包含正数时先用基本不等式；区间受限、含负数时结合对勾函数单调性分析。 题型5 基本不等式的恒成立问题 1．若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 2．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 3．若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 4．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 5．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 方法技巧 不等式恒成立，求参数取值范围。 转化为最值问题：恒成立 ⇨ 参数大于等于最大值 / 小于等于最小值，再用基本不等式求对应最值。 1．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 2．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 1．已知，，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别判断每个选项是否恒成立，对于C选项，利用两数同号时和的绝对值等于绝对值之和，再结合基本不等式证明其成立. 【详解】因为和同号，所以． 故选：C. 2．下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【分析】对A，根据完全平方公式即可判断；对B，举反例即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，平方后作差即可判断. 【详解】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 3．已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 4．设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若取，但，不满足，故A错误； 对于B，若取，，则，不满足，故B错误； 对于C，因，当且仅当时取等， 即当时，取得最小值，而,故C错误； 对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解， 所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解， 则，可得，因，则得，当时取等，故D正确. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 6．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. 7．如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】举反例可排除AB，根据二次函数的性质可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】不妨令，，，可排除A与B； 对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确； 对于D，，由基本不等式“”，得,D正确. 8．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 9．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由，利用的符号判断A、B，化并应用基本不等式判断C、D. 【详解】已知，， 由于均为正数，和也都大于0 ，则， 判断正负可以转为判断正负. ， 因为，，所以恒成立， 即，又，所以，B正确，A错误； ，因为均为正数，所以， 将分子和分母同时除以：， 对于分母，由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故，C正确，D错误. 10．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $