第07讲 基本不等式（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第07讲 基本不等式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 两个不等式 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?下面就来研究这个问题. 【知识点1 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的内容及辨析】 【例1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·浙江·期中）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用基本不等式比较大小】 【例2】（24-25高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【变式2-3】（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（25-26高一·江苏·暑假作业）已知，，，且．求证：． 【变式3-1】（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【变式3-2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【变式3-3】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 模块三 基本不等式与最值 【知识点2 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式4-1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【变式5-1】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【变式5-2】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 【变式6-1】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式6-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【变式7-1】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【变式7-3】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【题型8 基本不等式的实际应用】 【例8】（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式8-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式8-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为，垂直于墙的长度为.    (1)若育苗区面积为，求为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，求的最小值. 【变式8-3】（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高一上·福建福州·期末）若且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 3．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）若直角三角形的面积为，则两条直角边的和不可能是（      ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 6．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 7．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 8．（25-26高一上·新疆和田·期末）如图，将周长为12的矩形沿对角线将向折叠（），折叠后交于点，则面积的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知，为正实数，且，则（   ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为8 11．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 13．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 14．（25-26高一上·上海·期末）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨. 四、解答题 15．（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 16．（25-26高一上·广东汕头·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 17．（24-25高一上·四川德阳·阶段检测）已知，，，且，证明： (1)； (2). 18．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 19．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 两个不等式 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?下面就来研究这个问题. 【知识点1 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的内容及辨析】 【例1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【解答过程】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·浙江·期中）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【解答过程】当时，不等式显然不成立，故选项A错误； 因为，故选项B正确； ，不等式显然不成立，故选项C错误； 不等式成立的条件为，，故选项D错误. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式性质和基本不等式进行分析，再结合特殊值法进行判断即可. 【解答过程】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用图象结合勾股定理计算即可. 【解答过程】易知， 显然，故D正确. 故选：D. 【题型2 利用基本不等式比较大小】 【例2】（24-25高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 【变式2-1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断. 【解答过程】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【解题思路】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【解答过程】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可. 【解答过程】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（25-26高一·江苏·暑假作业）已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【解答过程】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 【变式3-1】（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由基本不等式得，化简即可证明； （2），展开再由基本不等式即可求出答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式3-2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【解答过程】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 【变式3-3】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 模块三 基本不等式与最值 【知识点2 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】，根据基本不等式即可求解. 【解答过程】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式求出，即，即可得到答案. 【解答过程】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】A 【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可． 【解答过程】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A. 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【解答过程】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【解答过程】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值. 【解答过程】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 【答案】B 【解题思路】利用乘“1”法并结合基本不等式即可得到答案. 【解答过程】由题意得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解题思路】将条件变为，代入所求，化简整理，利用基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【解答过程】由题意得，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题设转化得，再由基本不等式“1”的妙用方法即可计算求解. 【解答过程】由题可得，又， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 【变式6-3】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘构造基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由，则， 所以 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 【题型7 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【解答过程】由正实数满足，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到实数的取值范围. 【解答过程】由都是正数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为， 又由恒成立，所以. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高一上·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可. 【解答过程】正数，且，则， 当且仅当时取等号，又恒成立，则， 所以m的取值范围是. 【变式7-3】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 【题型8 基本不等式的实际应用】 【例8】（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解题思路】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【解答过程】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解题思路】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【解答过程】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 【变式8-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为，垂直于墙的长度为.    (1)若育苗区面积为，求为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，求的最小值. 【答案】(1)当时，所用篱笆总长最小 (2) 【解题思路】（1）运用基本不等式即可得解； （2）运用乘“1”法和基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，，所用篱笆总长为， 则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，所用篱笆总长最小. （2）由题意得，，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【变式8-3】（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【解题思路】（1）根据各个面的面积直接写出总造价； （2）利用基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为 . （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A. 2．（25-26高一上·福建福州·期末）若且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解题思路】应用基本不等式中“1”的妙用求最小值. 【解答过程】因为且， 所以； 当且仅当 ，即，时取等号. 所以的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）若直角三角形的面积为，则两条直角边的和不可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直角三角形的两条直角边分别为，，由直角三角形的面积得到，利用基本不等式求出的范围即可得到答案. 【解答过程】设直角三角形的两条直角边分别为，， 直角三角形的面积为，，， ， 当且仅当时，等号成立， ，两条直角边的和不可能是选项B. 故选：B. 5．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【解答过程】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A. 6．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【解题思路】对A，根据完全平方公式即可判断；对B，举反例即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，平方后作差即可判断. 【解答过程】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 7．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【解答过程】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 8．（25-26高一上·新疆和田·期末）如图，将周长为12的矩形沿对角线将向折叠（），折叠后交于点，则面积的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】设，由题设得到和，进而得到，再由面积公式计算消元并结合基本不等式即可求解. 【解答过程】由题可设，所以. 由题意可知， 所以， 则，所以， 又， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【解答过程】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知，为正实数，且，则（   ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为8 【答案】ABD 【解题思路】A.由 ，得，根据，为正实数判断；B. 由 ，得，根据，为正实数判断；CD. 根据 ，利用“1”的代换判断； 【解答过程】A.由 ，得，因为，所以，解得，又，所以，故正确； B. 由 ，得，因为，所以，因为，解得，故正确； C. 因为 ，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 联立，解得时，等号成立，故错误；故D正确； 故选：ABD. 11．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【解题思路】利用基本不等式计算可判断A错误，结合基本不等式中“1”的应用可得B正确，将代入并利用二次函数性质即可求得最小值，可得C正确，根据为定值，利用基本不等式计算可知D正确. 【解答过程】对于A，由可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，因此A错误； 对于B，易知， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，由可得，所以； 当且仅当时，等号成立，此时的最小值为，即C正确； 对于D，易知，所以； 当且仅当，即时，等号成立，因此D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】利用基本不等式计算可得. 【解答过程】因为, 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解题思路】根据给定条件可得，根据“1”的妙用结合基本不等式求解作答. 【解答过程】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立， 所以取得最小值. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·期末）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨. 【答案】 【解题思路】由题意建立方程，利用基本不等式，可得答案. 【解答过程】由一年共购买吨，每次购买吨，则一年共购买次， 由运费为万元/次，则一年运费共万元， 所以一年的总费用， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1）7； （2） 【解题思路】（1）根据基本不等式求解即可. （2）求出的范围，结合基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是7. （2）由题意知，即，解得， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值是. 16．（25-26高一上·广东汕头·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接利用基本不等式来建立和与积的关系，从而求出的最大值； （2）构造，则，展开后根据基本不等式计算即可求出最小值. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，即 化简可得： 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. （2）因为，所以. 所以 当且仅当（即）时取等号. 结合，解得，. 因此，的最小值为. 17．（24-25高一上·四川德阳·阶段检测）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 18．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为 . （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 19．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【解题思路】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故：， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 所以， 故的取值范围为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $