第08讲 二次函数及二次方程、二次不等式（培优讲义）新高一数学人教A版

第08讲 二次函数及二次方程、二次不等式（培优讲义） 2 知识点01 二次函数与一元二次方程解的关系 2 知识点02 一元二次不等式的解法 3 一元二次不等式通用解题步骤 3 知识点03 恒成立问题（高频培优考点） 4 知识点04 一元二次方程根的分布（培优难点） 6 知识点05 分式不等式与高次不等式 7 7 题型1 求解不含参数的一元二次不等式 7 题型2二次函数的图像分析与判断 9 11 题型1 由不等式解集求参数 11 题型2 一元二次方程根的分布问题 13 题型3 二次不等式在全体实数上恒成立 15 题型4 二次不等式在指定区间上恒成立或有解 16 题型5 含参一元二次不等式分类讨论求解 18 题型6 二次复合型不等式（高次、分式二次不等式） 20 21 22 课标要点 1.理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，掌握判别式\(\Delta\)的应用。 2.熟练掌握一元二次不等式的标准解法，能快速求解不含参数的二次不等式。 3.学会根据不等式解集、方程根的情况求解参数，掌握一元二次方程根的分布解题思路。 4.区分并解决二次不等式恒成立、有解类问题（全体实数 / 指定区间），掌握分类讨论、数形结合思想。 5.能综合运用 “三个二次” 解决复合型题型，对接高一重难点与高考高频考点。 知识点01 二次函数与一元二次方程解的关系 1. 一元二次函数标准形式 形如 ：二次项系数，决定开口方向：开口向上；开口向下 对称轴： 顶点坐标： 常数项 c：函数图像与 y 轴交点纵坐标 2. 一元二次方程标准形式 判别式： ：两个不等实根 ：两个相等实根 ：无实数根 3. 韦达定理（根与系数关系） 若两根为，则： 4. 一元二次不等式标准形式 注：解集包含对应方程的根。 练习 1．已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 知识点02 一元二次不等式的解法 设 表格 判别式 函数图像 与x轴交于两点 与x轴相切于一点 与x轴无交点 方程的根 两根 二重根 无实根 不等式解集 不等式解集 补充：若，先两边乘 -1，不等号反向，再按上表求解。 一元二次不等式通用解题步骤 1.标准化：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； 2.算判别式：计算 ，判断根的个数； 3.求方程根：时解方程得到零点； 4.图像写解集：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图像判断。 5.拓展补充：特殊不等式快速处理 6.含等号：解集端点包含根； 7.缺一次项：，直接平方正负判断； 8.缺常数项，因式分解。 练习 1．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 知识点03 恒成立问题（高频培优考点） 类型 1：对全体实数恒成立 恒成立 补充：若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立。 恒成立 补充：时一次不等式无法在恒小于0。 类型 2：在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立 在恒成立 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调。 类型 3：区间上有解问题 在有解 在有解 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界。 练习 1．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 知识点04 一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： 1).有实根； 2).对称轴位置； 3).区间端点函数值符号； 4).根与区间边界大小关系。 常见基础模型： 两根都大于 k： 两根都小于 k： 一根小于 k，一根大于 k：仅需 两根落在区间内： 练习 1．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 知识点05 分式不等式与高次不等式 分式二次不等式 ； 。 高次不等式 可因式分解为一次、二次乘积形式，用穿针引线法求解，偶次零点穿而不过。 练习 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，解得． 题型1 求解不含参数的一元二次不等式 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：，则，化简得：， 等价于，解得：， 所以不等式的解集为. 3．，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 方法技巧 标准型、可因式分解型二次不等式求解。 统一化为\(a>0\)的标准形式； 因式分解或求方程根，利用 “大于取两边，小于取中间” 写解集； \(\Delta<0\)时结合图像直接判断解集。 题型2二次函数的图像分析与判断 1．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 2．已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD. 【详解】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 3．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 方法技巧 根据系数\(a,b,c\)、\(\Delta\)判断图像形状、开口、交点位置。 a定开口方向，c定纵轴截距，\(-\dfrac{b}{2a}\)定对称轴，\(\Delta\)判断与x轴交点个数。 题型1 由不等式解集求参数 1．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 2．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 3．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 4．存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 【答案】 【分析】根据三个二次的关系，得出以及用表示出，代入求解分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，得， 故可化为 ，又因为，所以原不等式等价于，即. 所以解集为. 方法技巧 已知一元二次不等式解集，求式子中参数的值或范围。 由解集确定方程两根与二次项系数符号； 利用韦达定理列方程组求解参数，最后检验。 题型2 一元二次方程根的分布问题 1．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 2．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 方法技巧 限定根的范围（区间、正负、大小），求参数取值。 结合判别式、对称轴、区间端点函数值列不等式组，数形结合分析。 题型3 二次不等式在全体实数上恒成立 1．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 2．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 3．已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，对任意恒成立，需满足： ，解得， 综上可得． 方法技巧 \(x\in\mathbb R\)时不等式恒成立，求参数。 分两类讨论：\(a=0\)（一次不等式）、\(a eq0\)（结合开口 +\(\Delta<0\)列式）。 题型4 二次不等式在指定区间上恒成立或有解 1．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 2．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 3．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 方法技巧 给定区间\([m,n]\)，不等式恒成立求参数。 求二次函数在区间内的最值，转化为 “最值满足不等关系”，结合对称轴与区间位置分类讨论。 题型5 含参一元二次不等式分类讨论求解 1．解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 2．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 方法技巧 二次项系数含参、判别式含参，需全面分类求解集。 分层讨论：先讨论二次项系数是否为 0\(\to\)再讨论\(\Delta\)正负\(\to\)最后比较根的大小。 题型6 二次复合型不等式（高次、分式二次不等式） 1．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简得，作差比较与的大小，利用一元二次不等式即可求解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 则，故有， 则原不等式等价于， 所以原不等式的解集为. 2．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 方法技巧 可转化为二次不等式的分式、高次不等式。 等价变形为整式不等式（注意分母不为 0），再利用穿针引线法或二次不等式解法求解。 1．（2023·新课标全国I卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 1．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 2．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 3．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 4．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 5．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 6．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 7．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 8．下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 9．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 10．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 11．讨论关于的不等式的解集 【答案】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 【解析】略 12．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 13．设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知 ， 是真命题，则，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若是真命题，则 ，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则 ， 是真命题， 由 解得，即实数的取值范围是. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数及二次方程、二次不等式（培优讲义） 2 知识点01 二次函数与一元二次方程解的关系 2 知识点02 一元二次不等式的解法 3 一元二次不等式通用解题步骤 4 知识点03 恒成立问题（高频培优考点） 4 知识点04 一元二次方程根的分布（培优难点） 6 知识点05 分式不等式与高次不等式 7 7 题型1 求解不含参数的一元二次不等式 7 题型2二次函数的图像分析与判断 9 11 题型1 由不等式解集求参数 11 题型2 一元二次方程根的分布问题 13 题型3 二次不等式在全体实数上恒成立 15 题型4 二次不等式在指定区间上恒成立或有解 17 题型5 含参一元二次不等式分类讨论求解 18 题型6 二次复合型不等式（高次、分式二次不等式） 20 21 22 课标要点 1.理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，掌握判别式\(\Delta\)的应用。 2.熟练掌握一元二次不等式的标准解法，能快速求解不含参数的二次不等式。 3.学会根据不等式解集、方程根的情况求解参数，掌握一元二次方程根的分布解题思路。 4.区分并解决二次不等式恒成立、有解类问题（全体实数 / 指定区间），掌握分类讨论、数形结合思想。 5.能综合运用 “三个二次” 解决复合型题型，对接高一重难点与高考高频考点。 知识点01 二次函数与一元二次方程解的关系 1. 一元二次函数标准形式 2. 形如 ：二次项系数，决定开口方向：开口向上；开口向下 对称轴： 顶点坐标： 常数项 c：函数图像与 y 轴交点纵坐标 2. 一元二次方程标准形式 判别式： ：两个不等实根 ：两个相等实根 ：无实数根 3. 韦达定理（根与系数关系） 若两根为，则： 4. 一元二次不等式标准形式 注：解集包含对应方程的根。 练习 1．已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02 一元二次不等式的解法 设 表格 判别式 函数图像 方程的根 不等式解集 不等式解集 补充：若，先两边乘 -1，不等号反向，再按上表求解。 一元二次不等式通用解题步骤 1. ：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； 2. ：计算 ，判断根的个数； 3. ：时解方程得到零点； 4. ：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图像判断。 5. ：特殊不等式快速处理 6. ：解集端点包含根； 7. ：，直接平方正负判断； 8. ，因式分解。 练习 1．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 知识点03 恒成立问题（高频培优考点） 类型 1：对全体实数恒成立 恒成立 补充：若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立。 恒成立 补充：时一次不等式无法在恒小于0。 类型 2：在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立 在恒成立 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调。 类型 3：区间上有解问题 在有解 在有解 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界。 练习 1．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 知识点04 一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： 1).有实根； 2).对称轴位置； 3).区间端点函数值符号； 4).根与区间边界大小关系。 常见基础模型： 两根都大于 k： 两根都小于 k： 一根小于 k，一根大于 k：仅需 两根落在区间内： 练习 1．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 知识点05 分式不等式与高次不等式 分式二次不等式 ； 。 高次不等式 可因式分解为一次、二次乘积形式，用穿针引线法求解，偶次零点穿而不过。 练习 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型1 求解不含参数的一元二次不等式 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 标准型、可因式分解型二次不等式求解。 统一化为的标准形式； 因式分解或求方程根，利用 “大于取两边，小于取中间” 写解集； 时结合图像直接判断解集。 题型2二次函数的图像分析与判断 1．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 方法技巧 根据系数判断图像形状、开口、交点位置。 a定开口方向，c定纵轴截距，定对称轴，判断与x轴交点个数。 题型1 由不等式解集求参数 1．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 2．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 方法技巧 已知一元二次不等式解集，求式子中参数的值或范围。 由解集确定方程两根与二次项系数符号； 利用韦达定理列方程组求解参数，最后检验。 题型2 一元二次方程根的分布问题 1．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 2．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 方法技巧 限定根的范围（区间、正负、大小），求参数取值。 结合判别式、对称轴、区间端点函数值列不等式组，数形结合分析。 题型3 二次不等式在全体实数上恒成立 1．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 2．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 3．已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 方法技巧 时不等式恒成立，求参数。 分两类讨论：（一次不等式）、（结合开口 列式）。 题型4 二次不等式在指定区间上恒成立或有解 1．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 3．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 方法技巧 给定区间\([m,n]\)，不等式恒成立求参数。 求二次函数在区间内的最值，转化为 “最值满足不等关系”，结合对称轴与区间位置分类讨论。 题型5 含参一元二次不等式分类讨论求解 1．解关于的不等式：． 2．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 方法技巧 二次项系数含参、判别式含参，需全面分类求解集。 分层讨论：先讨论二次项系数是否为 再讨论正负最后比较根的大小。 题型6 二次复合型不等式（高次、分式二次不等式） 1．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 方法技巧 可转化为二次不等式的分式、高次不等式。 等价变形为整式不等式（注意分母不为 0），再利用穿针引线法或二次不等式解法求解。 1．（2023·新课标全国I卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 1．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 3．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 7．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 8．下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 9．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 10．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 11．讨论关于的不等式的解集 12．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 13．设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $