第07讲 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式（思维导图+2大知识点+6大题型+过关测试）讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图系统构建二次函数根的分布与含参数一元二次不等式的知识体系，以表格归纳根的分布条件，梳理含参数不等式分类讨论方法，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如正根负根问题通过例题与变式训练，引导学生运用判别式、韦达定理分析，培养数学思维与运算能力。过关测试覆盖不同难度，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

第07讲 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：二次函数根的分布问题 4 知识点二：含参数一元二次不等式 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：正根、负根问题 7 题型二：根之间问题 9 题型三：根之外问题 11 题型四：函数的嵌套问题 13 题型五：含参数一元二次不等式 17 题型六：综合问题 20 05 过关测试 24 知识点一：二次函数根的分布问题 1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 2、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 知识点二：含参数一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种： （1）按二次项系数的符号分类，即； （2）按判别式的符号分类，即； （3）按方程的根、的大小分类，即． 题型一：正根、负根问题 【例1】（2025·高一·江苏·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【解析】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 【变式1-1】（2025·高一·陕西·期中）已知、且，设的最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为、，且， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，故. （2）由（1）可知，方程有两个正实根，设这两个正根分别为、， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【变式1-2】已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为方程，存在2个根， 所以， 解得或 设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 【变式1-3】关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 【答案】 【解析】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 题型二：根之间问题 【例2】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知函数. (1)若，，求的取值范围； (2)记方程的两个根为、，且、， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【解析】（1）因为函数，，， 即，即，且， 设，其中、， 所以，解得，即， 由不等式的性质可得，所以， 故，即的取值范围是. （2）（i）方程的两个根为、，且、， 由韦达定理可得， ， 设，则原方程的根对应新方程关于的根， 原方程为，代入得， 即，由韦达定理，， 而，故求的范围即求的范围， 设二次函数的两根， 则有，我们要求的是的范围， 由上述不等式组可得的取值范围为， 故的取值范围是， （ii）， 因为、，则，， 因为，，所以，则，故， 故； 由重要不等式可得， 故，即的取值范围是. 【变式2-1】（2025·高一·重庆·期中）已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式2-2】（2025·高一·天津南开·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 【解析】（1）因为不等式的解集为， 所以恒成立， 当，即时，则，解得，显然不符合题意； 当时，则需满足，解得， 即的取值范围为 （2）若函数的两个零点在区间内， 显然， 当，则需满足，即，解得， 当，则需满足，即，解得， 综上可得. 题型三：根之外问题 【例3】（2025·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【解析】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得. （3）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 【变式3-1】（2025·高一·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 【解析】（1）令，其对称轴为， 若一元二次方程的两根都大于0， 则，，解得， 实数的取值范围是； （2）若一元二次方程的一根大于3，另一根小于3， 则，即， 实数的取值范围是． 【变式3-2】（2025·高一·上海宝山·期末）已知，关于的实系数一元二次方程． (1)若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； (2)方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 【解析】（1）依题意，方程有两个不等实根，则，解得， 由方程的一个根大于，另一个根小于，得，解得． 所以实数的取值范围为． （2）依题意，， 当时，方程有两个实根，，对称轴为， 则，解得，因此； 当时，方程有两个共轭虚根，，， 由，得，因此， 所以实数的取值范围为. 【变式3-3】（2025·高一·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【解析】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 【变式3-4】（2025·高一·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为 . 【答案】 【解析】不妨设关于的方程的两实数根为，， 且两根均大于1， 设， 则，则， 且，则， 所以，则整数m的值为. 故答案为： 题型四：函数的嵌套问题 【例4】（2025·高一·浙江·期末）已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（    ） A． B．16 C．5 D．15 【答案】D 【解析】由函数解析式作出函数图像如下： 由方程有5个不同的根知，必有一个解为1， 即， 则， 则方程另一个解为，设 则， 故 故选：D. 【变式4-1】（2025·高一·辽宁大连·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，.若在上有5个根，则的值是 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【解析】 令，则方程可化为，依据题设问题转化为该方程有一个正实数根和一个负实数根．因为若该方程有两个正实数根，则原方程会有对应的八个实数根，所以要使原方程有五个实数根，须该方程有一个正实数根和一个实数根．运用题设条件可得，则函数是周期的周期函数．依据周期性与对称性画出该函数在区间上的图象如上图，结合图形可以看出：当该方程有一个正实数根时，其所有根（共4根）之和为，当有一个负实数根时，原方程只有一个根，故原方程的所有实数根之和为，故应选答案A． 【变式4-2】（2025·高三·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 则. 故选：C. 【变式4-3】（2025·高一·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 题型五：含参数一元二次不等式 【例5】（2025·高一·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）若，则由 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式5-1】（2025·高一·陕西宝鸡·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集． 【解析】（1）由题可得； （2）因，则不等式可化为： . 当时，解得； 当时，不等式无解； 当时，不解得. 综上可得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【变式5-2】（2025·高一·江苏·期中）已知函数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）由，即对一切实数恒成立， 当时，，有，即，不满足题意； 当时，则满足，即，解得． 综上所述，的取值范围为； （2）由． 得，所以， 若，即，上式可化为，解得； 若，即，上式可化为，解得； 若，即，上式可化为， 当时，，所以或； 当时，，所以； 当时，，所以或； 综上可知： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式5-3】（2025·高一·江苏·期中）已知，关于的一元二次不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两解为和， 所以，解得. 所以一元二次方程的解为，， 所以不等式的解集为或. （2）由（1）得关于的不等式，即， 因式分解得. ①当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ②当时，原不等式为， 解得或， 所以不等式的解为； ③当时，原不等式为， 解得，即不等式无解； ④当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ⑤当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为. 综上可得：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 题型六：综合问题 【例6】（2025·高一·河南安阳·期中）已知函数． (1)当时，讨论关于的不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不等实根、，且，求的取值范围． 【解析】（1）当时，由可得， 方程的两根分别为、， 当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； 当时，即当时，解原不等式可得； 当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）因为关于的方程有两个不等实根、，则，且， 由，可得，， 所以，即，等价于，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式6-1】（2025·高一·北京·期中）已知二次函数的图象过点，满足，且最小值是． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最小值（用含的式子表示）； (3)若的两根为，，且，求的取值范围． 【解析】（1）因为满足，所以关于对称， 又最小值是，所以设， 又图象过点，所以，解得. 所以，即； （2）因为，， 则的对称轴为，开口向上， 当时，函数在上单调递增，最小值为； 当时，函数的最小值为； 当时，函数在上单调递减，最小值为， 综上可得； （3）方程，即， 因为的两根为，， 所以，解得或， 此时， 又，即，即，解得， 又或， 所以或， 所以的取值范围为. 【变式6-2】（2025·高一·广东清远·月考）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围： (3)当时，若关于的方程有两个不同的实数根和，且满足，求实数的取值范围． 【解析】（1）此时，不等式即． 通过因式分解可得， 二次函数图象开口向上，零点为 所以不等式的解集为． （2）当时，，显然对于任意恒成立，满足的解集为． 当时：函数是二次函数，的解集为， 则二次函数图象开口向下且与轴最多有一个交点． 即，由，结合，解得． 综上，实数的取值范围是． （3）有两个不同的实数根和，则， 即，解得， 由可得：， 此时，所以有， 则，解得． 所以实数的取值范围是． 【变式6-3】（2025·高一·广西河池·月考）已知是关于的方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求的最小值； (3)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，可得， 因为， 所以， 解得或－7（舍去），故的值为－1． （2）当时，， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． （3）因为是两个不相等的正数，所以 解得，所以或， 所以实数的取值范围是． 1．（25-26高一上·江苏·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 2．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 3．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，即，解得或， 令，则，令，解得，符合题意； 令，则，令，解得，不合题意. 当时，由题意可得，则，解得； 令，则，令，解得或，显然不合题意； 令，则，令，解得或2，显然符合题意. 综上所述，的取值范围为或. 故选：D 4．（25-26高一上·陕西·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 的两不等实根都在内， 则需满足，解得. 故选：A 6．（24-25高一上·浙江宁波·期中）设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】当时，取， 则方程为，显然无解，即充分性不成立； 当方程在区间上有两个不等实根时， 则，即，则， 此时成立，即必要性成立； 所以前者是后者的必要不充分，故C正确. 故选：C. 7．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解析】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 8．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 不等式可化为， 因为，且， 所以，， 所以的解集为， 所以原不等式的解集为，即 故选：C. 9．（19-20高一下·江苏南通·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 10．（多选题）（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D．关于x的不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】因为不等式的解集为， 所以，4是方程的两根， 所以， 则，，，A错误，BC正确； 所以不等式，D正确． 故选：BCD． 11．（多选题）（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AB 【解析】对于A，由题可知二次函数开口向上则，且对应方程的两根为 、， 代入不等式对应方程可得：，A选项正确； 对于B，解不等式 ，代入 ，： ，两边除以 （负数）需变号： ，B选项正确； 对于C，解不等式 ，代入 ，： 两边除以 可得： 解方程 ： 不等式 的解集为：或，C选项错误； 解不等式 ，代入 ，： 可得：，两边除以 ， ， 解集为：或，D选项错误. 故选：AB 12．（多选题）（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【解析】由，则至少有一个元素属于， 由，则至少有一个元素不属于， 又，故， 由有两个不相等的实数解， 对于二次函数，开口向上且对称轴为， 所以，可得. 故选：BC 13．（25-26高一上·上海·期中）已知命题有两个不相等的负根，无实根，若和一真一假，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若真，即方程有两个不等负根，则，解得． 若真，即方程无实根， 则，解得． 当真假时，且或，即； 当假真时，且，即． 综上，的取值范围是． 14．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 15．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和， 则，得：， 所以不等式等价于， 结合，整理可得， 又，则，因此解得：. 因为关于的不等式有且仅有个整数解， 因此，即，解得：. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 16．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题：对任意，不等式恒成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 【解析】（1）由于函数在上单调递增，故， 由对任意，不等式恒成立，可得， 解得，故实数的取值范围为； （2）由（1）知， 而， 由于，故， 当时，，则，解得； 当时，即为，此时，不满足； 当时，，则，解得； 综合以上可知正数的取值范围为. 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，得， 令，可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）方法一：因为，可得． 因为，得，所以，即． 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以． 因为，所以，即实数a的取值范围是． 方法二：对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 令， 当时，即时，，符合题意． 当时，即时，，解得，又，则． 综上所述，实数a的取值范围是． 18．（25-26高一上·广东深圳·期中）设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）当时，，又中有且只有一个元素， 所以方程有且仅有一个根. 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设， 所以的取值集合为. （2）依题意，，整理得，即. （Ⅰ）当时，解得； （Ⅱ）当时，不等式可化为，解得或； （Ⅲ）当时，不等式可化为， ①当时，原不等式无解； ②当时，解得； ③当时，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 （2）因为方程有两个大于的不等实根， 所以， 解得：. 20．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的图象过点，且满足. (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的解析式； (3)若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【解析】（1）由函数的图象过点，得， 由，得图象的对称轴为，而图象的对称轴为，则， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，， 当，即时，函数在上单调递减， ； 当，即时，函数在上单调递减，在单调递增， 则； 当时，函数在上单调递增， 则， 所以的解析式是. （3）函数有两个不相等的不动点，且， 由，得方程有两个不相等的正实根， 则，解得， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：二次函数根的分布问题 4 知识点二：含参数一元二次不等式 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：正根、负根问题 7 题型二：根之间问题 7 题型三：根之外问题 8 题型四：函数的嵌套问题 9 题型五：含参数一元二次不等式 10 题型六：综合问题 10 05 过关测试 12 知识点一：二次函数根的分布问题 1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 2、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 知识点二：含参数一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种： （1）按二次项系数的符号分类，即； （2）按判别式的符号分类，即； （3）按方程的根、的大小分类，即． 题型一：正根、负根问题 【例1】（2025·高一·江苏·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【变式1-1】（2025·高一·陕西·期中）已知、且，设的最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 【变式1-2】已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 【变式1-3】关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 题型二：根之间问题 【例2】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知函数. (1)若，，求的取值范围； (2)记方程的两个根为、，且、， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【变式2-1】（2025·高一·重庆·期中）已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式2-2】（2025·高一·天津南开·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 题型三：根之外问题 【例3】（2025·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【变式3-1】（2025·高一·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 【变式3-2】（2025·高一·上海宝山·期末）已知，关于的实系数一元二次方程． (1)若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； (2)方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 【变式3-3】（2025·高一·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【变式3-4】（2025·高一·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为 . 题型四：函数的嵌套问题 【例4】（2025·高一·浙江·期末）已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（    ） A． B．16 C．5 D．15 【变式4-1】（2025·高一·辽宁大连·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，.若在上有5个根，则的值是 A．10 B．9 C．8 D．7 【变式4-2】（2025·高三·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五：含参数一元二次不等式 【例5】（2025·高一·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【变式5-1】（2025·高一·陕西宝鸡·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集． 【变式5-2】（2025·高一·江苏·期中）已知函数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【变式5-3】（2025·高一·江苏·期中）已知，关于的一元二次不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 题型六：综合问题 【例6】（2025·高一·河南安阳·期中）已知函数． (1)当时，讨论关于的不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不等实根、，且，求的取值范围． 【变式6-1】（2025·高一·北京·期中）已知二次函数的图象过点，满足，且最小值是． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最小值（用含的式子表示）； (3)若的两根为，，且，求的取值范围． 【变式6-2】（2025·高一·广东清远·月考）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围： (3)当时，若关于的方程有两个不同的实数根和，且满足，求实数的取值范围． 【变式6-3】（2025·高一·广西河池·月考）已知是关于的方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求的最小值； (3)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 1．（25-26高一上·江苏·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 2．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江宁波·期中）设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 7．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 8．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（19-20高一下·江苏南通·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 10．（多选题）（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D．关于x的不等式的解集为 11．（多选题）（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 12．（多选题）（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 13．（25-26高一上·上海·期中）已知命题有两个不相等的负根，无实根，若和一真一假，则的取值范围是 ． 14．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是 . 15．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是 ． 16．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题：对任意，不等式恒成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·广东深圳·期中）设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式. 19．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的图象过点，且满足. (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的解析式； (3)若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $