第10讲 一元二次函数、方程和不等式-章末复习-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第10讲 一元二次函数、方程和不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 等式性质与不等式性质 1.实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2). 知识点2 基本不等式 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 注意： 1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤≤. 3. (a>0，b>0). 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ 2.二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 常用结论： ①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. ②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 3.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注意： 1.有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔. 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别. 教材习题01 设，，比较m，n的大小关系． 解题方法 由，所以. 【答案】 教材习题02 糖水中含有糖，若再添加糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明. 解题方法 因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大， 所以提炼出的不等式为：，其中， 下面用作差比较法给出证明： . 因为，，都是正数，且， 则，.可得， 所以. 【答案】，其中，，证明见解析 教材习题03 解不等式． 解题方法 原不等式等价于，即， 所以． 故原不等式的解集为． 【答案】 考点一 不等式的性质 （多选题）1．若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为实数满足， 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由，可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D正确. 故选：BCD. （多选题）2．设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 3．已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 4．（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 5．（1）试比较与的大小 （2）已知，，求，的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）因为 所以. （2）因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以. 考点二 一元二次不等式 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式，可化为， 所以，又， 所以， 故选：B. 2．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 3．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 4．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为区域，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，所以或，解得． 5．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2），， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 考点三 其他不等式 1．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当时，，即，解得，故此时符合题意．当时，，所以，故符合题意．由得，由题可知是的子集，所以． 2．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得． 3．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】依题意得， 解得或， 故答案为： 4．不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 5．解下列关于x的不等式 (1) (2) (3) 【答案】(1)或或 (2)或 (3) 【详解】（1）原不等式可化为，可得， 所以或， 即或， 解不等式组得或或 所以不等式的解集为或或. （2）原不等式等价于不等式组： ，所以， 解不等式得或， 解不等式得， 所以原不等式的解集为或； （3）原不等式等价于不等式组： 或， 分别解两个不等式组得或， 所以原不等式的解集为. 考点四 基本不等式 1．已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 2．函数在上的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时函数在上的最小值是2. 故选：C （多选题）3．已知且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【详解】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 4．函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 【答案】 【详解】由知，所以，当且仅当，即时取等号． 方法总结 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换等． 5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 6．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 考点五 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于①，方程的判别式， 由一元二次方程根与系数的关系可知，这个方程的两根之和为， 两根之积为，①对； 对于②，方程的判别式为，这个方程无实解，②错； 对于③，方程的判别式为， 这方程的两根之和为，两根之积为，③对； 对于④，方程的判别式为， 这个方程的两根之和为，两根之积为，④错. 故选：B. 2．若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设方程的两个实数根为， 则，即， 且， 由题意，得， 则，解得（舍去）或. 故选：C. 3．设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ． 【答案】 【详解】因为关于的一元二次方程的两个实根分别为、， 则，解得， 所以，， 又，即，解得或（舍去）； 故答案为： 4．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得， 故答案为：. 5．已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值． 【答案】 【详解】根据题意得, ∵ ∴， ∴ ∴ 整理得 ,解得 当时,原方程为,解得 (不符合条件舍去)， 当时,原方程为,解得 符合题意； ∴k的值为7. 知识导图记忆 知识目标复核 1．等式性质与不等式性质 2．基本不等式 3．二次函数与一元二次方程、不等式 1．不等式的解集为（    ） A．，或 B． C．，或 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由，可得或，故解集为，或. 故选：A 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D 3．一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】因为， 所以方程无实数根， 所以二次函数的图象全都在轴的上方， 所以一元二次不等式的解集为. 故选：C 4．已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B 5．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 6．，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 7．已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 8．已知命题；，则是的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式，求得不等式的解，利用充分条件，必要条件的定义可得结论. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得， 所以，反之不成立， 所以是的必要而非充分条件. 故选：B. （多选题）9．设正实数m、n满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求最值可判断ABC，利用代换1法求最小值可判断D. 【详解】因为正实数m、n满足，所以由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故A正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故B正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故C错误； 由，当且仅当时取到等号，故D正确； 故选：ABD. （多选题）10．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式求和的最小值 【分析】举反例证明选项A，利用不等式的性质证明选项B，利用基本不等式证明选项C，利用不等式的性质证明选项D. 【详解】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，所以，故B正确； 由，得，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以等号不成立，故，故C正确； 因为，所以， 所以，所以， 所以，即，故D错误. 故选：BC. 11．已知，则的范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用重要不等式即可求解. 【详解】由，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以的范围是. 故答案为：. 12．不等式的解集为 ． 【答案】或. 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 13．不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 14．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）分别求解集合中的不等式，然后求它们的并集. （2）首先判断集合的关系，然后分为空集和非空集两种情况讨论的范围. 【详解】（1）由， 若， 则， ， 故； （2）， 即， ①当时，，即， 此时成立， 符合题意； ②当时，需满足：，解得． 综上，． 15．（1）证明：， （2）解关于的不等式： 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）作差法比较左右两边式子的大小，结合基本不等式证明. （2）先分、讨论，时又分、考虑，结合两个根的大小关系进行讨论. 【详解】（1） ，， 又，， 即，得证. （2）原不等式可化为， ①若，则不等式化为，即， 此时原不等式解集为； ②若，则，且， 所以原不等式解集为； ③若，则， i），即，原不等式解集为； ii），即，原不等式解集为； iii），即，原不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 16．（1）已知实数、满足，.求的取值范围. （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用待定系数法得出，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围； （2）由已知条件得出，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）设，其中、， 所以，解得，，即， 因为，，所以，， 由不等式的基本性质可得，即， 因此，的取值范围是； （2）因为，即，即， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 一元二次函数、方程和不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 等式性质与不等式性质 1.实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2). 知识点2 基本不等式 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 注意： 1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤≤. 3. (a>0，b>0). 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ 2.二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 常用结论： ①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. ②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 3.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注意： 1.有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔. 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别. 教材习题01 设，，比较m，n的大小关系． 解题方法 由，所以. 【答案】 教材习题02 糖水中含有糖，若再添加糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明. 解题方法 因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大， 所以提炼出的不等式为：，其中， 下面用作差比较法给出证明： . 因为，，都是正数，且， 则，.可得， 所以. 【答案】，其中，，证明见解析 教材习题03 解不等式． 解题方法 原不等式等价于，即， 所以． 故原不等式的解集为． 【答案】 考点一 不等式的性质 （多选题）1．若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． （多选题）2．设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，，设，，则与的大小关系为 ． 4．（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 5．（1）试比较与的大小 （2）已知，，求，的取值范围. 考点二 一元二次不等式 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 4．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ． 5．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 考点三 其他不等式 1．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 3．不等式的解集为 . 4．不等式的解集为 ． 5．解下列关于x的不等式 (1) (2) (3) 考点四 基本不等式 1．已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 2．函数在上的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 （多选题）3．已知且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 4．函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 6．已知，则的最小值为 ． 考点五 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 3．设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ． 4．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 5．已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值． 知识导图记忆 知识目标复核 1．等式性质与不等式性质 2．基本不等式 3．二次函数与一元二次方程、不等式 1．不等式的解集为（    ） A．，或 B． C．，或 D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 5．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 6．，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 7．已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 8．已知命题；，则是的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 （多选题）9．设正实数m、n满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 （多选题）10．若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知，则的范围是 ． 12．不等式的解集为 ． 13．不等式的解集为 ． 14．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 15．（1）证明：， （2）解关于的不等式： 16．（1）已知实数、满足，.求的取值范围. （2）已知，求的最小值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$