广东江门市鹤山市鹤华中学2025-2026学年高一第二学期第二次月考数学试题

2025-2026学年高一数学第二学期第二次月考试卷。 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.复数21的虚部是() 1+i A.-1 B.1 c D. 2.一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（) A.4V5 B.85 C.45 D.85 3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2 bcos4,则△ABC的形状 为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D、等腰直角三角形 4.用斜二测画法画出的水平放置的VABC的直观图如图所示，其中 D是B'C的中点，且A'D'y'轴，B'CIx轴，AD'=B'C'=2, 那么S。B=（） A.√5 B.2 C.22 D.4 5.已知向量a=（4,1),=(2,m,且a/(a+),则m=() A分 B.2 c.月 D.-2 6.在AABC中，BC=2,AC=1+V5,AB=V6,则A=() A.45° B.60° C.120° D.135° 7.若m为直线，，B为两个平面，则下列结论中正确的是（) A.若ml∥a,nca,则mlln B.若m⊥a,m⊥B,则a⊥B C.若mlla,m⊥B,则a⊥B D.若mca,a⊥B,则m⊥B 8,如图，某几何体可看成是3个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何 体是棱台，下面的几何体皿也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边 形，几何体I的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体I、Ⅱ、山 的高之比分别为2：3：5，则几何体I、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（) A.2:6:15B.9:15:25C.6:21:35.D.9:21:56 试卷第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.若a=(2,-1),b=(3,),则() A.ab=5 B.(a+)1(a-) c.a与6的夹角为号 D.6在a方向上的投影向量为2a 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=3,b=4,∠C=60°，则下 列结论正确的是() A.c=√3 B.△ABC的面积为3√F C.sinB= 2 D.a+b=c2-ab 11.如图，在正方体ABCD-ABC,D,中，M,N分别为棱C,D,C,C的中点，则以下四个结 论中，正确的有() A.直线AM与CC是相交直线B.直线BN与B,是异面直线 C.AM与BN平行D.直线AM与BN共面 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在三角形ABC中，AC=3,AB=4,∠CAB=120°，则(AB-CAAB= 13.如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C,在C处 测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的 高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B,C, 15 N在同一条直线上，则该塔的高度MN为米。 45°入30° B 14.若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球 的体积比为 四、解答题本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 15（13分).在△ABC中，∠A=60°，c= (I)求sinC的值： (2)若a=7,求△ABC的面积. 试卷第2页，共4页 16(15分).已知平面向量a=(2cos8,1),b=(2,3sin8) (I)若a/16,求sin28的值. (②若Li,求am0+到的值 I7(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/IBC,∠BAD=90°， AD=2BC,PA=AD=AB=2,E为PD的中点. (I)求P-ABCD的体积： (2)求证：BC⊥平面PAB, (3)求证：EC/平面PAB. 试卷第3页，共4页 18（17分)，已知平面向盘d,6,,且a=(-2,1),6=(3,-4) (1)求a在方向的投影向量的坐标： (2)若c∥a,且=3W5,求向量的坐标； (3)若ka+i与a+6的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 19(17分)·如图所示，矩形ABCD中，AB=3,BC=4.E、F分别在线段BC和AD上， ABIIEF,将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为NEF,且平面MNEF⊥平面ECDF. (I)求证：NC//平面MFD; D (2)若EC=3,求证：ND⊥FC; (3)求四面体NFEC体积的最大值 B E B 试卷第4页，共4页 《2025-2026学年高一数学第二学期第二次月考试卷》参考答案 题号 1 2 3 6 6 1 8 9 10 答案 B c C D AC AB 题号 11 答案 BD l.B【详解】 21=2i0-i边=2+2 =1+1,所以复数21 的 1+i(1+i01-i)2 1+i 虚部是1. 2.C【详解】由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可OP=2,AB=BC=CD=AD=2, 在直角三角形POE中，有PE=VP02+0E2=√4+1=√5， 所以三角形PBC的面积为×2×5=√5，即正四棱锥的侧面积 是45 3.C【详解】因为c=2 bcos4,由正弦定理可得sinC=2 sin BcosA, 则sin(A+B)=2 sin Bcos A,即sin Acos B+cos Asin B=2 sin Bcos A,， 所以sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0, 又因为A,B∈(0，)，A-B∈（-兀，元)，则A-B=0,即A=B,所以△ABC是等腰三角形 4.D【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示， 其中AD L BC,AD=2AD=4,BC=B'C=2, 原平面图形的面积为8c=方8C,0-×2x4=4. 5.C【详解】由已知可得a+b=(-2,m+1),因为al/(a+列，可得 B D O -4(m+1)=-2,解得m=-1 2 6.A【详解】由题意得c0sA=4B+4C2-8C2_（6±+V5)-2V2 2AB.AC 2×V6×(1+V5)2 又0°<A<180°，所以A=45° 7.C【详解】对于A,若m∥a,nca,则m,n可平行或异面，故A错误： 对于B,若m⊥%，m⊥B,则a∥B,故B错误：对于C,若ml∥C,则存在直线aCa,a/m, 所以由m⊥B可得a⊥B,故a⊥B,故C正确：对于D,mca,a⊥B,则m与B可平行或相交或mcB, 故D错误； 8.C【详解】设直梭柱I的底面积为S,高为2h,则梭台Ⅱ的上底面面积为S,下底面面积为4S,高为 3h,棱台Ⅲ的上底面面积为4S,下底面面积为S,高为5h, 设几何体1.m的体积分别为、么，则=S-2h=2,片=(6+48+54列小3h=7, 乃40+8+8列5动-%，因此，乃：=2：7的-6：21：35. 9.AC【详解】对于选项A,a方=(2，-1)-(3,1)=2×3+(-1)×1=6-1=5，故选项A正确： 对于选项B,a+万=(2，-10+(3,1)=(5,0)，a-方=(2，-1)-(3,1)=(-1，-2)， (a+b(a-=(⑤，0)(-1，-2)=5×(-1)+0×(-2)=-5≠0，故选项B错误： 对于选项C,cos<a,b>= ab (2,-)(3,0 5-5=2 丽2+(-)2×3+平“5x055之，结合ā与6的夹 角范围为[0，川]，故言与6的夹角为二，选项C正确：对于选项D,万在a方向上的投影向最为 =5xx1 los<a,i>日- 4,故选项D错误 a 2√102 10.AB【详解】对于A,根据余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC, 得c2=9+16-24cos60°=13，因此0=3，故A正确：对于B,根据三角形面积公式S=)absinC, 可得S=号x3x4x5 b =3√5，故B正确：对于C,根据正弦定理， 2 2 sin B sinC 可0s如B血C4 2=2V39,故C不正确：对于D,因为 cV1313 c2=a2+b2-2 ab cos(60°=a2+b2-ab,所以a2+b2=c2+ab,故D不正确. I1.BD【详解】对于A,M,C,C,三点在平面CDD,C内，M点不在直线CC1上， A点不在平面CDD,C,内，可得直线AM与CC,是异面直线，故A错误： 对于B,B,N,B三点在平面BCC,B,内，B不在直线BN上， M点不在平面BCCB内，可得直线BN与MB,是异面直线， 故B正确：对于C,取DD的中点E,连接AE,EN,又N为CC的中点， 则有EN AICD//AB,AB=CD=EN,所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE IIBN, AM门AE=A,则AM与BN不平行，故C错误：对于D,连接MN,BA,CD, 因为M,N分别为棱CD,C,C的中点，所以N∥DC,由正方体的性质可知：BA∥DC, 所以MN∥AB,则有A,B,M,N四点共面，所以直线AM与BN共面，故D正确. 12.10【详解】（西-CAAB=AB-CAB,AB=AE=42=16, 答案第2页，共4页 C4.店=回4x4xcos(C4,aE=3x4xc0s60°=12×=6，因(-C-B=16-6=10. 13.90【详解】Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=45,则AC=2AB=90, 由图可知∠MAC=15+30°=45°，∠MCA=180°-45°-30°=105°， 则∠CMA=180°-105°-45°=30°， △AMC中，由正弦定理， iCMiGMCcsim 4C0 AC MC sin∠CMA Rt△MWC中，N=MC sin45°=90（米），故答案为：90. 14.1:3:2 详解：设球半径为R,圆锥体积为V1,圆柱体积为V2,球体积为V3,则V1:V2:V3= 15(13分).【详解】(1)在△ABC中，因为∠4=609，c=a, 由正弦定理，口 …6分 sin A sinC -3分得sinC=csin4_3xV3_3W5 a7214 3 (2)因为a=7,所以c=×7=38分，由余弦定理a2=b+c2-2bcc0sA得 7产=6+32-26x3×-10分，解得b=8或b=+5.(舍)1分，所以△48C的面积 2 16.(15分)【详解】(1)a=(2cos8,1),b=(2,3sin0)且a/6,2cos9.3sin6=2-2分， ∴2cos0sin9=号--4分in20=2 5分 3 3 (2)a=(2cos8,1),b=(2,3sin9)且a⊥i,.4cos0+3sin日=0，--8分 若cos9=0,则sin0=士l,这与4c0s0+3sin0=0矛盾。…10分c0s6≠0，：sim2=-4 Cos0 3 ..tane=-4 --12分 3 tantan 4 3 15分 1-tane.tan 3 ×1 17(15分)【详解】(1)因为在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, 由ADI/BC,∠BAD=90°，AD=2BC,PA=AD=AB=2,所以 6m5pA8e-号022g 1 兰×2=5×3×2=2.5分 (2)证明：因为AD/IBC,∠BAD=90°，所以BC⊥AB, 又PA⊥平面ABCD,BC∈平面ABCD,所以BC⊥PA, 又因为AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB.-I0分 (3)取PA的中点为G,又E为PD的中点，所以GE1/BCI1AD,且GE=AD=BC, 2 答案第3页.共4页 所以四边形BCEG为平行四边形，即EC/BG,又因为EC丈平面PAB,BGc平面PAB,所以EC/ 平面PAB,l5分 18.(17分)【详解】(1)ā=(-2,1)，方=(3，-4)，故a.6=-6-4=-10,…3分 师-，56a5w9s骨-曾5-学a-(引-分 所以a在5上的投影向量为-亏'5 68 -6分 (2)设=(，y),a=(-2,1),c∥ax=-2y,又=35x2+y2=45, 的=(66一0分 (3)因为ā=(-2,1)，万=(3，-4)所以a+i=(-2k+3,k-4),ā+i=(（1,-3), 因为ka+与a+i的夹角为锐角，所以(a+b)(a+b)>0且ka+i与a+B不共线 [1×(-2k+3)-3×(k-4)>0 即 -2k+3≠k-4 解得k<3且k≠1k的取值范围是(-o∞，1)U(1,3)17分 1-3 19.(17分)【详解】(1)证明：：四边形MNEF,ECDF都是矩形， .N//EF/CD,N=EF=CD,.四边形MNCD是平行四边形， ∴.NCI/MD,NC文平面MFD,.NC/1平面MFD;-5分 (2)证明：连接ED,设ED∩FC=O,,平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF, ∴NE⊥平面ECDF,NE⊥FC,义EC=AB=3,四边形ECDF为正方形， .FC⊥ED, ∴.FC⊥平面NED,又NDc平面NED,.ND⊥FC,-12分 (3)解：设NE=x,则EC=4-x,其中0<x<4, 由(1)得NE⊥平面FEC,.四面体NFEC的体积为： m=cE=方4--x+-[-e-2+4列 x=2时，四面体N疗EC的体积最大，其最大值为2.17分 M