精品解析：广东汕头市潮阳实验学校2025-2026学年第二学期高一年级第二次素质测评数学试卷

2025-2026学年度第二学期高一年级第二次素质测评 数学科 试卷 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、单选题（本题8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（ ）． A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分） 9. 若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 与平面所成的角为 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. ，则 D. ，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正方体中，异面直线与所成的角大小为___． 13. 已知向量与的夹角为则在方向上的投影向量的坐标为_____________. 14. 在中，角所对的边分别为，则的最小值为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，与的夹角为 （1）求; （2）求. 16. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 17. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． （1）求圆柱的表面积； （2）求三棱锥外接球的体积． 18. 如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的大小. 19. 已知向量令. （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一年级第二次素质测评 数学科 试卷 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、单选题（本题8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式得，则集合，有3个元素， 则集合的子集个数为. 2. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 3. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆台侧面积求得母线长，再求得高后，由体积公式计算． 【详解】记圆台上下底半径分别为，母线长为，高为， 则侧面积为，， 所以高为， 体积为， 故选：B． 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（ ）． A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行与面面垂直的判断与性质以及直线的平行于垂直，逐选项判断即可. 【详解】对于A，若，，，不一定垂直，可能平行或者异面，故A错误； 对于B，若，，，不一定平行，也可能异面，故B错误； 对于C，若，，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若，，，则不一定垂直，也可能平行，故D错误， 故选：C. 5. 在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体体对角线的长即为外接球的直径得出，然后再根据球的表面积公式即可求解 . 【详解】设外接球半径为，已知长方体长宽高为：，，. 根据长方体体对角线公式： ， 由体对角线长等于，得，即， 所以长方体外接球表面积. 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到，再根据正切的二倍角公式即可求出． 【详解】由，则， 则， 又在中，， 则，且， 所以， 即，得， 所以，， 所以． 故选：B． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 8. 在中，内角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，再根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 如图所示，则的面积为， 即，因为，． ． 当且仅当，结合得时等号成立， 所以，的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦定理得，再利用面积法得到，最后根据基本不等式中的乘“1”法即可. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分） 9. 若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量共线可得，进而得，从而可得模长. 【详解】因为，所以，即． 因为，所以． 故选：AD. 10. 在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 与所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 与平面所成的角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错误； 由，且，则，故与所成的角为正确； 由平面，则与平面所成的角为，C正确； 由平面平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成的角为，且， 故，D正确. 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. ，则 D. ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接验证A选项即可；求得，结合指数函数的基本性质可求得的值域，可判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A选项， ，A对； 对于B选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为，B对； 对于C选项，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，C错； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正方体中，异面直线与所成的角大小为___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，平面，从而得到，即可得到答案. 【详解】解：在正方体中， ∵平面，平面 ∴ ∴异面直线与所成的角的大小为 故答案为. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，线面垂直的性质定理. 13. 已知向量与的夹角为则在方向上的投影向量的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式直接求解可得. 【详解】，， 由投影向量公式可得： . 故答案为：. 14. 在中，角所对的边分别为，则的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据余弦定理和角的范围求出，然后用将所求式子表示出来并化简，最后利用二次函数的最值可求得原式的最小值. 【详解】根据余弦定理得，因为，所以 ， 所以. 所以. 而. 当时，即时，取最大值为. 此时取最小值为. 故答案为：3. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，与的夹角为 （1）求; （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，进而得，再由数量积的定义可得； （2）直接根据数量积求向量的模可得. 【小问1详解】 由，得 ， 又因为与的夹角，由平面向量数量积的定义：. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 因此. 16. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【小问1详解】 在中，由正弦定理及得：， 化简可得：， 由余弦定理得， 又，所以 【小问2详解】 是的角平分线，则， 由可得 因为，，即有， 故. 17. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． （1）求圆柱的表面积； （2）求三棱锥外接球的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出AP、BP，即可得到，再由，求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得； （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得． 【小问1详解】 在中，，， ， 又在中，，， ， 而点P在圆柱的底面圆O上，且为圆的直径， ， 所以， 于是由，得， ， 圆柱的表面积． 【小问2详解】 三棱锥外接球即为圆柱的外接球， 则外接球的球心是的中点，半径， 所以三棱锥外接球的体积． 18. 如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，可得，在中，，由正弦定理可得，则得平面，再由，即可证得平面平面； （2）取中点，连接，可得平面，得即为二面角的平面角，再由棱长关系即可求得，进而得到二面角的大小. 【小问1详解】 平面，平面， ， 在中，， 由正弦定理，则， ，又，平面， 平面，又分别为棱PC，PB的中点， ，则平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 如图，取中点，连接， 又为PB的中点， ，， 由平面， 平面， 又平面，， 由（1）知， ， 平面，， 平面，又平面， ， 则即为二面角的平面角， 设，则，， ， 所以在直角三角形中， ，， 即二面角的大小为. 19. 已知向量令. （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积公式及两角和的余弦公式可得，再由 可得结果； （2）令，因为，所以 则，根据二次函数的性质讨论三种情况，即可得结果； （3）当时，由，结合基本不等式即可得结果. 【小问1详解】 因为向量 所以， 由，得， 所以函数对称轴方程为 【小问2详解】 由（1）得， 因为 所以 令，因为， 所以 ， 则， 对称轴为， 当，即，可得在上单调递增， 所以， 当，即时，， 当，即时，在上单调递减， 所以 所以 【小问3详解】 当时，由（2）可得 所以 而，当且仅当时取等号， ，当且仅当时，取等号， 所以 所以 ， 即实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查向量的数量积运算，考查二次函数的最值的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用三角函数公式将函数进行化简，再换元转化为二次函数求解，考查数学转化思想和分类思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $