第一章 集合与常用逻辑用语单元测试-2026年新高一数学暑期衔接进阶讲义（人教A版2019）

该高中数学单元复习讲义以集合与常用逻辑用语为核心，通过知识框架图系统梳理集合的概念、关系、运算及常用逻辑用语的命题、充要条件等要点，用对比表格呈现集合运算与逻辑关系的内在联系，突出集合运算、充要条件判断等重难点。 练习设计注重数学核心素养培养，如第3题结合生活情境考查充要条件体现数学眼光，第10题“伙伴关系集合”新定义问题发展数学思维，第13题容斥原理应用题强化数学语言表达。题型涵盖选择、填空、解答且分层设置，基础题巩固知识，综合题如19题证明提升逻辑推理能力，助力不同层次学生发展，也为教师提供精准教学的学情反馈。

第一章 集合与常用逻辑用语单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 3．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 4．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 6．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 7．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 10．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 11．对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数__________． 13．某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有__________名同学. 14．已知集合同时满足①，②，其中均为不等于零的实数，则的值分别为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，，求： (1)； (2). 16．（15分） 已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17．（15分） 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 18．（17分） 已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 19．（17分） 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 又集合，，所以， 所以. 2．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题的否定命题. 3．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 4．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 5．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合， 则. 6．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 7．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 8．已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【解析】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 10．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 11．对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】选项A：根据函数的定义，当时，. 已知集合，因为，所以，A正确； 选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误； 选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于， 所以，所以，C错误； 选项D：，， 所以，而， 所以，D正确. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【解析】因为，所以. 得，解得，. 当时，，满足； 当时，，满足； 综上所述，. 13．某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有__________名同学. 【答案】55 【解析】 由图可得这个班共有学生人. 故答案为：55. 14．已知集合同时满足①，②，其中均为不等于零的实数，则的值分别为______. 【答案】或 【解析】设，则. 由，得， 所以，即集合中的元素互为倒数， 由①知，存在，使得且，解得； 由②知，或， 若，则，有，解得； 若，则，有，解得. 综上，或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，，求： (1)； (2). 【解析】（1）因为， 由交集的定义得，如图：     ， 又由并集的定义得，如图：   ， 因此，，. （2）由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： . 16．（15分） 已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 17．（15分） 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【解析】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 18．（17分） 已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【解析】（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是. （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是. 19．（17分） 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【解析】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质，所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或       ， 且都满足： . （3）证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 第10页，共10页 第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $