（预习篇）第六讲 工程问题（第三单元第3节）【思维导图+知识卡片+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 共41题】-2026-2027学年苏教版新教材数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

null2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 六年级/上册（新教材） 小学数学 第6讲 工程问题 第7讲 第二单元《混合运算与数量关系（三）》 分层训练 思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 （共41题） 【原卷版】 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习苏教版新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导图，新知学习，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 志杰家要平整一块菜地，并给这块菜地围上篱笆。如果这项工作由志杰单独做，需要 6 小时完成；如果由爸爸单独做，需要 3 小时完成。如果志杰和爸爸一起做，多少小时可以完成？ 如果把总工作量看作 1，志杰每小时完成总工作量的几分之几？爸爸呢？ 第一步：确定工作效率 把总工作量看作单位“1”。 志杰单独做需要 6 小时，所以志杰每小时完成总工作量的 。 爸爸单独做需要 3 小时，所以爸爸每小时完成总工作量的 。 第二步：计算合作效率 两人合作，每小时完成的工作量是两人效率之和： 通分计算： 即两人合作每小时能完成总工作量的 。 第三步：计算合作时间 根据公式：工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率和 答：志杰和爸爸一起做，2 小时可以完成。 回顾与体会 南坪街道计划修建一条 720 米长的地下管道，甲工程队单独修，需要 12 天完成；乙工程队单独修，需要 18 天完成。如果两队一起修，多少天能够完成？（你能用不同方法解答吗？） 方法一：按具体工作量计算 1. 分析已知条件：工作总量：720 米 甲队单独修需 12 天 乙队单独修需 18 天 2. 计算各队每天的工作效率（每天修的长度） 甲队每天修： （米） 乙队每天修： （米） 3. 计算两队合作每天的工作效率： 4. 计算合作所需天数： 方法二：按工程问题通用模型（设工作总量为“1”）计算 1. 设定工作总量：把这条地下管道的总长看作单位“1”。 2. 计算各队的工作效率：甲队每天完成总量的： 乙队每天完成总量的： 3. 计算合作效率： 通分（最小公倍数为 36）： 4. 计算合作所需天数 答：如果两队一起修，7.2 天能够完成。 考点一 有具体量的工程问题（简单问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·山东济宁·期末）录入同一篇稿件，小强用了10分钟，小玲用了12分钟，小强和小玲的打字速度之比6∶5。( )（判断对错） 【变式训练1】（25-26六年级上·山东青岛·期末）书香小区引入智能机器人对可回收物进行筛选。机器人小智小时可筛选9千克，它每小时可筛选( )千克。 【变式训练2】（25-26六年级上·广东广州·期末）如果一台拖拉机1小时可以耕地公顷，那么这台拖拉机5小时可以耕地( )公顷，要耕完公顷的地需要( )小时。 考点二 有具体量的工程问题（综合算式问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江温州·期末）茶农采永嘉乌牛早茶，1小时采茶千克，5小时采茶( )千克，采1千克茶叶需要( )小时。 【变式训练1】（25-26六年级上·广东汕尾·期末）永新面粉厂小时可以磨面粉吨，照这样计算，小时可以磨面粉多少吨？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25六年级上·云南玉溪·期末）南京云锦是中国传统的丝制工艺品，有“寸锦寸金”之称，是中华民族珍贵的历史文化遗产之一。李师傅每天能织造一匹云锦的，王师傅每天能织造一匹云锦的，两人共同合作3天后，还剩这匹云锦的几分之几？ 考点三 有具体量的工程问题（较复杂问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·期末）现有一批木料，总体积为300立方分米。全部做课桌可做20张，全部做学生椅可做30把，1张课桌配1把椅子为一套，这批木料最多能做（    ）套课桌椅。 A．30 B．20 C．15 D．12 【变式训练1】（25-26六年级上·青海西宁·期末）一份稿件，甲单独打8分钟完成，乙单独打6分钟完成。甲、乙两人每分钟打字个数的比是( )；已知甲每分钟比乙少打60个字，这份稿件一共有( )个字。 【变式训练2】（24-25六年级下·安徽合肥·开学考试）深度相同且都注满水的甲、乙两蓄水池，各有一个排水管，放完甲池中的水需要3小时，放完乙水池的水需要5小时，同时打开两个水池的排水管，经过一段时间后，关闭排水管，甲水池水面高度为乙水池的，从开始排水到关闭水管，共用了多少小时？ 考点四 两人合作的工程问题（简单问题） 【典例精讲】（2025六年级上·广东广州·专题练习）修一条水渠，甲队每天修这条水渠的，乙队每天修这条水渠的，两队合修( )天修完。 【变式训练1】（2025六年级上·全国·专题练习）车站存放一批240吨的货物，用一辆大卡车6次可运完，用一辆小卡车12次可运完。现在用大小两卡车同时运，（    ）次可运完。 A．4 B．5 C．8 D．9 【变式训练2】（25-26六年级上·河北唐山·期中）挖一条水渠，杨叔叔每天挖这条水渠的，陈叔叔每天挖这条水渠的，两人合作，（    ）天能挖完。 A．1÷（1÷＋1÷） B．1÷（＋） C．（＋）÷2 D．（20＋30）÷2 考点五 两人合作的工程问题（较复杂问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·河南信阳·期末）分拣机器人是一种具备了传感器、物镜和电子光学系统的机器人，可以快速进行货物分拣。现有3600件快递需要分拣，A品牌分拣机器人单独分拣完要20分钟，B品牌分拣机器人单独分拣完要15分钟。如果两个分拣机器人合作，( )分钟能分拣完这批快递的，还剩下( )件没有分拣。 【变式训练1】（25-26六年级上·湖南常德·期末）桃花源景区要修一条长2000米的观光步道，甲工程队单独修要8天，乙工程队单独修要12天。现在甲、乙两队合修，多少天能完成步道的？ 【变式训练2】（25-26六年级上·云南红河·期末）一项工程，甲单独修要10天完成，乙单独修要15天完成。两队合修3天后，完成了这项工程的（    ）。 A． B． C． 考点六 两人合作的工程问题（多步列式计算问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·湖南永州·期末）一条公路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要15天，甲队先单独修几天后再由乙队单独修，两队一共用了19天修完，共取得劳务费10万元，若按工作量分配，甲、乙两队各获得多少万元？ 【变式训练1】（25-26六年级上·全国·期末）修一条路，甲工程队单独修需要20天，乙工程队单独修需要30天。两队合作若干天后，甲队另有任务离开，剩下的工程由乙队单独修了5天才完成。甲、乙两队合作了多少天？ 【变式训练2】（25-26六年级上·安徽淮北·期中）为迎接庆元旦活动，六（1）班和六（2）班的学生准备制作一批扎花作为装饰。如果（1）班和（2）班共同合作，24天能完成，现由（1）班先做16天，（2）班再做12天，还剩下这批扎花的没有完成。已知（1）班每天比（2）班多加工3个扎花，求这批扎花共有多少个？ 考点七 工程问题（竞赛类问题） 【典例精讲】水池有甲、乙两根进水管，单独打开甲进水管6小时可注满空水池，单独打开乙进水管4小时可注满空水池。如果按甲、乙、甲、……的顺序轮流打开1小时，注满空水池需（    ）小时。 A．2.4 B．3 C．4.4 D．5 【变式训练1】有一批零件共450个。 （1）师徒俩一起加工这批零件，如果徒弟完成了全部的，师傅需要加工多少个零件才能全部完成任务？ （2）已知师傅单独完成需要12天，徒弟单独完成需要18天。现在，由徒弟先做3天，再由两人合作。两人需要再合作几天才能完成任务？ 【变式训练2】（2025六年级·全国·竞赛）一条公路，甲、乙两队同时修5天可以修完，乙、丙两队同时修4天可以修完，如果甲、丙两队同时修2天，还需乙队修6天才能修完。若乙队独修几天可以修完？ 【基础通关能力提升】 1．（25-26六年级上·河南漯河·期末）一篇1000字的文稿，甲打字员单独录完需要8分钟，乙打字员单独录完需要10分钟。两人合作需要多少分钟录完？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 2．（25-26六年级上·江西南昌·期末）下列问题可用“”解决的是（    ）。 A．计算人均绿地面积 B．计算两队合作铺设步道时间 C．计算混合种植蔬菜总产量 D．计算15分钟步行范围 3．（25-26六年级上·江西赣州·期末）为了建设“未来科技数据中心”，需要铺设一条长500米的超导光纤通道。“灵犀”人工智能工程机器人单独铺设完成需要25天，“迅龙”自动化工程机器人单独铺设完成需要20天。如果两台机器人同时合作铺设完成需要多少天完成？下面列式正确的是（    ）。 A．500÷（＋） B．1÷（500÷25＋500÷20） C．1÷（－） D．500÷（500÷25＋500÷20） 4．（25-26六年级上·河南商丘·期末）打印一份相同的稿件，甲用12分钟，乙用10分钟，则甲与乙的工效比是( )。 5．（25-26六年级上·山东菏泽·期末）一项工程，单独做甲需要20天完成，乙的效率是甲的。如果乙单独做需要( )天完成这项工程。 6．（25-26六年级上·陕西延安·期末）一项工作，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要6天，甲、乙合作4天可以完成。( )（判断对错） 7．（25-26五年级上·黑龙江绥化·期末）某工程队修一条长7.2千米的公路，原计划每天修0.24千米，实际每天修0.36千米，实际比原计划提前几天完成？ 8．（25-26六年级上·河南安阳·期末）中国结是一种手工编织工艺品，代表着团结、幸福、平安。王阿姨的手工坊接到一笔中国结订单，1名熟练手工艺师单独做15天能完成，1名新手手工艺师单独做25天能完成。现在安排3名熟练手工艺师和5名新手手工艺师一起制作，多少天可以完成这笔订单？ 9．（24-25六年级上·河南三门峡·期末）一批货物，只用甲车运，6天能运完；只用乙车运，4天能运完。如果两辆车一起运，多少天能运完这批货物？ 10．（25-26六年级上·河南安阳·期末）为迎接第十五届全国运动会，组委会计划对广州南沙全民文化体育综合体的一个圆形广场进行改造。 (1)该圆形广场的直径是28米。这个广场的占地面积是多少平方米？ (2)给这个圆形广场铺设地砖，若由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要8天。两队合作，需要多少天可以完成？ 【思维拓展拔尖训练】 1．（24-25六年级上·黑龙江佳木斯·期末）一段公路长30km，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。求两队合修几天可以完成？下列算式中错误的是（    ）。 A．30÷（30÷10＋30÷15） B． C．30÷（10＋15） D． 2．（25-26六年级上·广东广州·期末）一个水池的水位高度要从1.6米降至1米。若单独打开甲排水管或乙排水管，要使水位降至1米，则分别要用30分钟和20分钟。若同时打开两管8分钟，则这时水池水位降至（    ）米。 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 3．（25-26六年级上·山东菏泽·期末）下面可以用算式解决的问题是（    ）。 A．一条隧道长1.5km，两个挖掘队单独挖通分别需要a天和b天。两队合作一起挖，多少天能完成？ B．张老师1分钟打a个字，李老师1分钟打b个字，一份2000字的稿件，两人合作需要多少分钟完成？ C．甲、乙两车同时从两地相向而行，两车各自行完全程分别用小时和小时。求两车的相遇时间。 4．（24-25六年级上·黑龙江佳木斯·期末）一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独完成只需要8天，甲、乙合作，需要( )天完成这项工程。 5．（25-26六年级上·安徽芜湖·期末）芜湖某汽车零部件厂接到一批订单，甲车间单独加工20小时完成，乙车间单独加工30小时完成，甲、乙两车间合作( )小时可以完成。 6．（25-26六年级上·内蒙古赤峰·期末）在北方，立冬有吃饺子的习惯。明明家在立冬这天也想要吃饺子。若让妈妈一个人包，则需要20分钟包完，若让爸爸一个人包，则需要30分钟包完。爸爸妈妈同时包，需要( )分钟包完；实际上，妈妈先包了10分钟，然后爸爸和妈妈同时包，直至包完，实际用了( )分钟。 7．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）东湖景区计划清理淤泥。有甲乙两艘清淤船，如果甲船单独工作，10天可以完成全部清淤任务；如果乙船单独工作，需要15天完成。两船合作3天后，乙船因故障离开，剩下的由甲船单独完成。从开始到完工一共用了多少天？ 8．（25-26六年级上·四川凉山·期末）只列综合算式或方程解答下面各题，不计算。 修一条水渠，甲队单独修15天完成，乙队单独修2天修了全长的。如果甲、乙两队合修，多少天可以修完这条水渠？ _________________________ 9．（25-26六年级上·江西吉安·期末）一份稿件，师傅单独打要12小时完成，徒弟2小时能完成这份稿件的。如果师徒两人合作，几小时可以完成这份稿件的？ 10．（25-26六年级上·山东济南·期末）为优化校园设施，学校启动了教学楼走廊翻新工程。这项工程若由甲施工队单独负责，30天可完成全部修缮任务；若由乙施工队单独承接，20天就能完工。学校安排甲、乙两队合作施工，不过期间甲队因调配设备临时请假2天，乙队也因人员调度请假了若干天。从工程正式开工到全部竣工，整个过程一共用了20天时间。请问在这次走廊翻新工程中，乙施工队实际请假了多少天？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 六年级/上册（新教材） 小学数学 第6讲 工程问题 第7讲 第二单元《混合运算与数量关系（三）》 分层训练 思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 （共41题） 【解析版】 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习苏教版新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导图，新知学习，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 志杰家要平整一块菜地，并给这块菜地围上篱笆。如果这项工作由志杰单独做，需要 6 小时完成；如果由爸爸单独做，需要 3 小时完成。如果志杰和爸爸一起做，多少小时可以完成？ 如果把总工作量看作 1，志杰每小时完成总工作量的几分之几？爸爸呢？ 第一步：确定工作效率 把总工作量看作单位“1”。 志杰单独做需要 6 小时，所以志杰每小时完成总工作量的 。 爸爸单独做需要 3 小时，所以爸爸每小时完成总工作量的 。 第二步：计算合作效率 两人合作，每小时完成的工作量是两人效率之和： 通分计算： 即两人合作每小时能完成总工作量的 。 第三步：计算合作时间 根据公式：工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率和 答：志杰和爸爸一起做，2 小时可以完成。 回顾与体会 南坪街道计划修建一条 720 米长的地下管道，甲工程队单独修，需要 12 天完成；乙工程队单独修，需要 18 天完成。如果两队一起修，多少天能够完成？（你能用不同方法解答吗？） 方法一：按具体工作量计算 1. 分析已知条件：工作总量：720 米 甲队单独修需 12 天 乙队单独修需 18 天 2. 计算各队每天的工作效率（每天修的长度） 甲队每天修： （米） 乙队每天修： （米） 3. 计算两队合作每天的工作效率： 4. 计算合作所需天数： 方法二：按工程问题通用模型（设工作总量为“1”）计算 1. 设定工作总量：把这条地下管道的总长看作单位“1”。 2. 计算各队的工作效率：甲队每天完成总量的： 乙队每天完成总量的： 3. 计算合作效率： 通分（最小公倍数为 36）： 4. 计算合作所需天数 答：如果两队一起修，7.2 天能够完成。 考点一 有具体量的工程问题（简单问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·山东济宁·期末）录入同一篇稿件，小强用了10分钟，小玲用了12分钟，小强和小玲的打字速度之比6∶5。( )（判断对错） 【答案】√ 【分析】把这篇稿件看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出小强的打字速度和小玲打字速度，再根据比的意义，求出小强和小玲打字速度之比，再进行比较。 【详解】小强打字速度：1÷10＝； 小玲打字速度：1÷12＝。 ∶ ＝（×60）∶（×60） ＝6∶5 录入同一篇稿件，小强用了10分钟，小玲用了12分钟，小强和小玲的打字速度之比6∶5。 故答案为：√ 【变式训练1】（25-26六年级上·山东青岛·期末）书香小区引入智能机器人对可回收物进行筛选。机器人小智小时可筛选9千克，它每小时可筛选( )千克。 【答案】12 【分析】工作效率＝工作总量÷工作时间，则筛选的重量÷筛选的时间，即可。 【详解】9÷ ＝9× ＝12（千克） 【变式训练2】（25-26六年级上·广东广州·期末）如果一台拖拉机1小时可以耕地公顷，那么这台拖拉机5小时可以耕地( )公顷，要耕完公顷的地需要( )小时。 【答案】 【分析】已知工作效率是每小时耕地公顷，工作时间是5小时，根据工作量＝工作效率×工作时间，把数据代入公式计算即可；工作效率是每小时耕地公顷，工作量是公顷，工作时间＝工作量÷工作效率，把数据代入公式计算即可。 【详解】工作量： （公顷） 工作时间： （小时） 考点二 有具体量的工程问题（综合算式问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江温州·期末）茶农采永嘉乌牛早茶，1小时采茶千克，5小时采茶( )千克，采1千克茶叶需要( )小时。 【答案】 4 【分析】工作总量＝工作效率×工作时间，工作时间＝工作总量÷工作效率，把数据代入计算即可解答。 【详解】×5＝（千克） 1÷＝1×4＝4（小时） 所以，1小时采茶千克，5小时采茶千克，采1千克茶叶需要4小时。 【变式训练1】（25-26六年级上·广东汕尾·期末）永新面粉厂小时可以磨面粉吨，照这样计算，小时可以磨面粉多少吨？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，工作总量为吨，工作时间为小时，求工作效率，列式为；再根据工作总量＝工作效率×工作时间，求小时磨面粉的质量，用工作效率乘，即，据此解答。 【详解】求小时可以磨面粉多少吨，正确的算式是。 故答案为：B 【变式训练2】（24-25六年级上·云南玉溪·期末）南京云锦是中国传统的丝制工艺品，有“寸锦寸金”之称，是中华民族珍贵的历史文化遗产之一。李师傅每天能织造一匹云锦的，王师傅每天能织造一匹云锦的，两人共同合作3天后，还剩这匹云锦的几分之几？ 【答案】 【分析】把织造这匹云锦的工作总量看作单位“1”，先求出两位师傅一天共能织造一匹云锦的几分之几（即两人的工作效率和），再用工作效率和乘时间，得到3天两人合作完成的工作量，最后用工作总量1减去3天合作完成的工作量，即可求出还剩这匹云锦的几分之几。 【详解】（＋）×3 ＝（＋）×3 ＝×3 ＝ 1－＝ 答：两人共同合作3天后，还剩这匹云锦的。 考点三 有具体量的工程问题（较复杂问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·期末）现有一批木料，总体积为300立方分米。全部做课桌可做20张，全部做学生椅可做30把，1张课桌配1把椅子为一套，这批木料最多能做（    ）套课桌椅。 A．30 B．20 C．15 D．12 【答案】D 【分析】先算出做一张课桌和一把椅子分别需要多少木料，就可以知道一套课桌椅需要多少木料，再用总木料体积除以一套的用料体积得出最多能做多少套课桌椅。 【详解】300÷20＝15（立方分米） 300÷30＝10（立方分米） 15＋10＝25（立方分米） 300÷25＝12（套） 所以这批木料最多能做12套课桌椅。 故答案为：D 【点睛】重点考查工程问题思路在实际生活中的应用，解题关键是先求出做一张课桌和一把椅子各需要多少木料，再计算一套课桌椅所需木料，最后用总木料除以一套的用料，得到可做的套数。 【变式训练1】（25-26六年级上·青海西宁·期末）一份稿件，甲单独打8分钟完成，乙单独打6分钟完成。甲、乙两人每分钟打字个数的比是( )；已知甲每分钟比乙少打60个字，这份稿件一共有( )个字。 【答案】 3∶4 1440 【分析】假设出工作总量，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲的工作效率和乙的工作效率，再根据比的意义利用比的基本性质化简求出甲、乙两人工作效率的最简整数比，即甲、乙两人每分钟打字个数的比；根据甲每分钟比乙少打60个字和比中甲乙的份数差求出每份的字数，再乘甲每分钟打字的个数占的份数求出甲每分钟打字的个数，甲单独打8分钟完成，最后根据“工作总量＝工作效率×工作时间”求出这份稿件的总字数，据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 甲的工作效率：1÷8＝ 乙的工作效率：1÷6＝ 甲的工作效率∶乙的工作效率 ＝∶ ＝（×24）∶（×24） ＝3∶4 60÷（4－3）×3 ＝60÷1×3 ＝180（个） 180×8＝1440（个） 所以，甲、乙两人每分钟打字个数的比是3∶4，这份稿件一共有1440个字。 【点睛】本题主要考查比的应用，根据比的意义求出甲、乙两人工作效率的最简整数比，并根据比的应用求出甲每分钟打字的个数是解答题目的关键。 【变式训练2】（24-25六年级下·安徽合肥·开学考试）深度相同且都注满水的甲、乙两蓄水池，各有一个排水管，放完甲池中的水需要3小时，放完乙水池的水需要5小时，同时打开两个水池的排水管，经过一段时间后，关闭排水管，甲水池水面高度为乙水池的，从开始排水到关闭水管，共用了多少小时？ 【答案】2.5小时 【分析】把甲乙水池满水时的水量看做单位“1”，甲每小时排水量：1÷3＝，乙每小时排水量：1÷5＝，可以设从开始排水到关闭水管已用了x小时，此时甲水池的水面高度为1－x，因为是排水管排水，不是放水，水面高度以下的是未排的水，所以甲水池的水面高度用1－x表示。同理，乙水池的水面高度为1－x，根据题意建立方程式：1－x＝（1－x），据此解出方程即可解答。 【详解】解：设从开始排水到关闭水管已用了x小时， 1－x＝（1－x） 1－x＝－x 1－x＋x＝－x＋x 1＝＋x 1－＝＋x－ x＝ x÷＝÷ x＝× x＝2.5 答：从开始排水到关闭水管共用了2.5小时。 【点睛】本题考查工作效率、工作时间和工作总量的关系，明确它们的关系是解题的关键。 考点四 两人合作的工程问题（简单问题） 【典例精讲】（2025六年级上·广东广州·专题练习）修一条水渠，甲队每天修这条水渠的，乙队每天修这条水渠的，两队合修( )天修完。 【答案】12 【分析】本题把这条水渠的总长看作单位“1”，也就是工作总量。根据题目我们已经知道甲和乙单独的工作效率。要求两个人的合作时间，我们用工作总量÷合作效率即可。 【详解】 （天） 所以两队合修天修完。 【变式训练1】（2025六年级上·全国·专题练习）车站存放一批240吨的货物，用一辆大卡车6次可运完，用一辆小卡车12次可运完。现在用大小两卡车同时运，（    ）次可运完。 A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】把总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷单独完成的次数”分别求出大卡车和小卡车的效率，相加求两车合作效率，最后根据“合作次数＝工作总量÷合作效率”，据此解答。 【详解】大卡车工作效率：1÷6＝ 小卡车工作效率：1÷12＝ 合作效率：＋ ＝＋ ＝ ＝ 合作次数：1÷ ＝1×4 ＝4（次） 所以现在用大小两卡车同时运，4次可运完。 故答案为：A 【变式训练2】（25-26六年级上·河北唐山·期中）挖一条水渠，杨叔叔每天挖这条水渠的，陈叔叔每天挖这条水渠的，两人合作，（    ）天能挖完。 A．1÷（1÷＋1÷） B．1÷（＋） C．（＋）÷2 D．（20＋30）÷2 【答案】B 【分析】首先根据杨叔叔每天挖整条水渠的，陈叔叔每天挖整条水渠的，用加上，求出两人的工作效率之和；然后用“单位1”除以两人的工作效率之和，求出两人合作几天能挖完这条水渠即可。 【详解】根据分析列式： 1÷（＋） ＝1÷ ＝ ＝12（天） 所以，两人合作12天能挖完。 正确的算式是1÷（＋）。 故答案为：B 考点五 两人合作的工程问题（较复杂问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·河南信阳·期末）分拣机器人是一种具备了传感器、物镜和电子光学系统的机器人，可以快速进行货物分拣。现有3600件快递需要分拣，A品牌分拣机器人单独分拣完要20分钟，B品牌分拣机器人单独分拣完要15分钟。如果两个分拣机器人合作，( )分钟能分拣完这批快递的，还剩下( )件没有分拣。 【答案】 6 1080 【分析】将这批快递的总量看作单位“1”。根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出 A、B 两个品牌分拣机器人的工作效率，再求出合作效率。最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，求出分拣完这批快递的所需的时间。 已知快递总数为3600件，已完成 ，则剩下占总数的 （1−）。根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，计算剩下的件数。 【详解】÷（＋） ＝÷ ＝× ＝6（分钟） 3600× （1−） ＝3600× ＝1080（件） 如果两个分拣机器人合作，6分钟能分拣完这批快递的，还剩下1080件没有分拣。 【变式训练1】（25-26六年级上·湖南常德·期末）桃花源景区要修一条长2000米的观光步道，甲工程队单独修要8天，乙工程队单独修要12天。现在甲、乙两队合修，多少天能完成步道的？ 【答案】3.2天 【分析】将工作总量看作单位“1”。已知甲队单独修要 8 天，乙队单独修要 12 天，可分别求出甲、乙两队的工作效率。题目要求完成步道的，即工作总量为。根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”的数量关系，列综合算式求解即可。 【详解】将这条观光步道的全长看作单位“1”，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为。 ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝ ＝3.2（天） 答：3.2天能完成步道的。 【变式训练2】（25-26六年级上·云南红河·期末）一项工程，甲单独修要10天完成，乙单独修要15天完成。两队合修3天后，完成了这项工程的（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】将工作总量看作“1”，工作总量÷时间＝工作效率，分别求出甲和乙的工作效率后，两人工作效率的和×3＝完成的工作总量。 【详解】甲的工作效率：1÷10＝，乙的工作效率：1÷15＝ ＝ ＝ ＝ 考点六 两人合作的工程问题（多步列式计算问题） 【典例精讲】（25-26六年级上·湖南永州·期末）一条公路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要15天，甲队先单独修几天后再由乙队单独修，两队一共用了19天修完，共取得劳务费10万元，若按工作量分配，甲、乙两队各获得多少万元？ 【答案】甲队8万元，乙队2万元 【分析】将工作总量看作单位“1”，根据工作时间求出甲、乙两队的工作效率。由于已知总天数和工作总量，可利用“假设法”求出甲、乙两队各自工作的天数。进而求出两队各自完成的工作量，最后按工作量的比例分配劳务费。 【详解】把这条公路的工作总量看作单位“1”。 甲队的工作效率： 乙队的工作效率： 假设 19 天全是乙队修的，则完成的工作量为： 比实际工作总量多： 乙队每天比甲队多修： 甲队修的天数： （天） 乙队修的天数： （天） 甲队完成的工作量： 乙队完成的工作量： 甲队获得的劳务费： （万元） 乙队获得的劳务费： （万元） 答：甲队获得了8万元劳务费，乙队获得了2万元劳务费。 【点睛】这道题考查了工程问题与按工作量分配报酬的综合应用，关键是先通过假设法求出甲、乙各自工作天数，再按工作量比例分劳务费。 【变式训练1】（25-26六年级上·全国·期末）修一条路，甲工程队单独修需要20天，乙工程队单独修需要30天。两队合作若干天后，甲队另有任务离开，剩下的工程由乙队单独修了5天才完成。甲、乙两队合作了多少天？ 【答案】10天 【分析】这是一道工程问题，我们把整条路的工作量看作单位 “1”。 甲队单独修20天完成，所以甲队每天的工作效率是​。 乙队单独修30天完成，所以乙队每天的工作效率是​。 整个工程分为两个阶段：甲乙合作阶段＋乙队单独修5天阶段。 【详解】将工作总量看作单位“1”。甲效率，乙效率。 乙单独做的5天完成： 两队合作完成：1－ 合作效率： 合作时间：（天） 答：甲、乙两队合作了10天。 【变式训练2】（25-26六年级上·安徽淮北·期中）为迎接庆元旦活动，六（1）班和六（2）班的学生准备制作一批扎花作为装饰。如果（1）班和（2）班共同合作，24天能完成，现由（1）班先做16天，（2）班再做12天，还剩下这批扎花的没有完成。已知（1）班每天比（2）班多加工3个扎花，求这批扎花共有多少个？ 【答案】360个 【分析】把这批花的数量看作单位“1”， 如果（1）班和（2）班共同合作，24天能完成，根据工作总量÷工作时间＝工作效率和，可知两班的工作效率和是；已知由（1）班先做16天，（2）班再做12天，还剩下这批扎花的没有完成，说明两个班一共完成了这批花的（1－）；两个班完成的量相当于两个班合作12天，再由（1）班单独做（16－12）天，根据工作效率和×工作时间＝工作总量，代入数据即可求出两个班合作12天完成的量，再用这批花的（1－）减去两个班合作12天完成的分率，即可求出（1）班单独做（16－12）天完成的分率；再根据工作效率＝工作总量÷工作时间，即可求出（1）班的工作效率；然后用两班的工作效率和减去（1）班的工作效率即可求出（2）班的工作效率；用减法求出两个班的工作效率差，又已知（1）班每天比（2）班多加工3个扎花，用3个除以对应分率，即可求出总量。 【详解】两个班的工作效率和： （1）班和（2）班完成了： （1）班和（2）班共同做12天完成几分之几： （1）班做4天完成几分之几： （1）班的工作效率： （2）班的工作效率： （1）班与（2）班效率差： 这批扎花数量： （个） 答：这批扎花共有360个。 【点睛】本题主要考查了较复杂的工程问题，根据对应的数量关系式求出两个班的工作效率是解答本题的关键。 考点七 工程问题（竞赛类问题） 【典例精讲】水池有甲、乙两根进水管，单独打开甲进水管6小时可注满空水池，单独打开乙进水管4小时可注满空水池。如果按甲、乙、甲、……的顺序轮流打开1小时，注满空水池需（    ）小时。 A．2.4 B．3 C．4.4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意可知，甲每小时注水池，乙每小时注水池。甲、乙各开1小时为一个周期，每周期注水量为：。因此经过2个周期（4小时）后，注水量为：，剩余：。此时轮到甲再开1小时，恰好注满，因此即可求出注水总时间。 【详解】根据分析可知： 一个周期注水量： 2个周期注水量为： 剩余： 还需甲：（小时） 总时间： ＝4＋1 （小时） 水池有甲、乙两根进水管，单独打开甲进水管6小时可注满空水池，单独打开乙进水管4小时可注满空水池。如果按甲、乙、甲、……的顺序轮流打开1小时，注满空水池需5小时。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查工程问题，要注意两根不同水果分别注入，那么要先考虑一个周期能注入多少水以及最后剩余的量是解题的关键。 【变式训练1】有一批零件共450个。 （1）师徒俩一起加工这批零件，如果徒弟完成了全部的，师傅需要加工多少个零件才能全部完成任务？ （2）已知师傅单独完成需要12天，徒弟单独完成需要18天。现在，由徒弟先做3天，再由两人合作。两人需要再合作几天才能完成任务？ 【答案】（1）270个 （2）6天 【分析】（1）先用零件总数乘求出徒弟完成的数量，再用总数减去徒弟完成的数量即可； （2）把这批零件总数看作单位“1”，那么师傅的效率为，徒弟的效率为，根据：工作总量＝工作效率×工作时间，求出徒弟3天完成的工作量，再用单位“1”减去徒弟完成的工作量，用剩下的工作量除以师徒效率和即可求出合作完成时间。 【详解】（1）450－450× ＝450－180 ＝270（个） 答：师傅需要加工270个零件才能全部完成任务。 （2（1－3×）÷（＋） ＝（1－）÷ ＝× ＝6（天） 答：两人需要再合作6天才能完成任务。 【点睛】此题考查了分数乘、除法的应用，关键能够掌握工程问题的解题思路。 【变式训练2】（2025六年级·全国·竞赛）一条公路，甲、乙两队同时修5天可以修完，乙、丙两队同时修4天可以修完，如果甲、丙两队同时修2天，还需乙队修6天才能修完。若乙队独修几天可以修完？ 【答案】20天 【分析】甲、乙两队同时修5天可以修完，则甲乙的合作效率为。乙、丙两队同时修4天可以修完，则乙丙的合作效率为。甲、丙两队同时修2天，还需乙队修6天才能修完，可以看作是甲乙两队先合作2天，乙丙两队再合作2天，最后乙队还需要再工作2天完工。由此即可求出乙队2天的工作量为：。最后再根据“工作量÷工作时间＝工作效率”即可求出乙队的工作效率。 【详解】乙效： （天） 答：乙队独修20天可以修完。 【基础通关能力提升】 1．（25-26六年级上·河南漯河·期末）一篇1000字的文稿，甲打字员单独录完需要8分钟，乙打字员单独录完需要10分钟。两人合作需要多少分钟录完？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】把录完这篇文稿的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙的工作效率；求两人合作完成需要的时间，根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，据此列式。 【详解】1÷8＝ 1÷10＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（分钟） 列式正确的是1÷（＋）。 2．（25-26六年级上·江西南昌·期末）下列问题可用“”解决的是（    ）。 A．计算人均绿地面积 B．计算两队合作铺设步道时间 C．计算混合种植蔬菜总产量 D．计算15分钟步行范围 【答案】B 【分析】1表示工作量，和 分别表示两个个体的工作效率，＋表示两个工作效率的和，根据工作时间＝工作量÷工作效率，1除以两个工作效率和，求的是合作时间，据此逐项分析解答。 【详解】A．计算人均绿地面积，数量关系为：绿地总面积 ÷ 总人数，不符合题意。 B．计算两队合作铺设步道时间，属于工程问题。若把铺设步道的工作总量看作单位“1”，a、b分别为两队单独完成所需时间，则合作时间为1÷（＋），符合题意。 C．计算混合种植蔬菜总产量，数量关系通常为：各部分产量之和或面积乘单产，不符合题意。 D．计算15分钟步行范围，数量关系为：速度×时间，属于乘法运算，不符合题意。 “1÷（＋）”解决的是计算两队合作铺设步道时间。 3．（25-26六年级上·江西赣州·期末）为了建设“未来科技数据中心”，需要铺设一条长500米的超导光纤通道。“灵犀”人工智能工程机器人单独铺设完成需要25天，“迅龙”自动化工程机器人单独铺设完成需要20天。如果两台机器人同时合作铺设完成需要多少天完成？下面列式正确的是（    ）。 A．500÷（＋） B．1÷（500÷25＋500÷20） C．1÷（－） D．500÷（500÷25＋500÷20） 【答案】D 【分析】工作时间＝工作总量÷工作效率，用500分别除以25和20，求出“灵犀”和“迅龙”的工作效率，再用500除以它们的工作效率之和即可。列式为500÷（500÷25＋500÷20）。也可以将整个工作量看作单位“1”，“灵犀”的工作效率是，“迅龙”的工作效率是。用1除以两台机器的工作效率和即可。列式为1÷（＋）。 【详解】500÷（500÷25＋500÷20） ＝500÷（20＋25） ＝500÷45 ＝（天） 1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 如果两台机器人同时合作铺设完成需要天完成。列式正确的是500÷（500÷25＋500÷20）。 故答案为：D 4．（25-26六年级上·河南商丘·期末）打印一份相同的稿件，甲用12分钟，乙用10分钟，则甲与乙的工效比是( )。 【答案】5∶6 【分析】把工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”求出甲的工作效率和乙的工作效率，再根据比的意义利用比的基本性质化简求出甲和乙工作效率的最简整数比。 【详解】1÷12＝ 1÷10＝ 甲的工作效率∶乙的工作效率 ＝∶ ＝（×60）∶（×60） ＝5∶6 5．（25-26六年级上·山东菏泽·期末）一项工程，单独做甲需要20天完成，乙的效率是甲的。如果乙单独做需要( )天完成这项工程。 【答案】25 【分析】把工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”求出甲的工作效率；再用甲的工作效率乘，求出乙的工作效率；最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，求出乙单独做需要的天数。 【详解】甲的工作效率：1÷20＝ 乙的工作效率：×＝ 乙单独做需要的天数：1÷ ＝1×25 ＝25（天） 6．（25-26六年级上·陕西延安·期末）一项工作，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要6天，甲、乙合作4天可以完成。( ) 【答案】× 【分析】把这项工作看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲、乙的工作效率，再求出甲、乙的工作效率和，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，求出合作需要的天数，与4天进行比较即可判断。 【详解】把这项工作看作单位“1”。 甲的工作效率： 乙的工作效率： 甲、乙合作的工作效率和： 甲、乙合作需要的天数：（天） 因为，所以原题说法是错误的。 7．（25-26五年级上·黑龙江绥化·期末）某工程队修一条长7.2千米的公路，原计划每天修0.24千米，实际每天修0.36千米，实际比原计划提前几天完成？ 【答案】10天 【分析】先用公路总长度除以原计划每天修的长度求出原计划的天数，再用公路总长度除以实际每天修的长度求出实际天数，最后用原计划天数减去实际天数即可。 【详解】7.2÷0.24－7.2÷0.36 ＝30－20 ＝10（天） 答：实际比原计划提前10天完成。 8．（25-26六年级上·河南安阳·期末）中国结是一种手工编织工艺品，代表着团结、幸福、平安。王阿姨的手工坊接到一笔中国结订单，1名熟练手工艺师单独做15天能完成，1名新手手工艺师单独做25天能完成。现在安排3名熟练手工艺师和5名新手手工艺师一起制作，多少天可以完成这笔订单？ 【答案】2.5天 【分析】把整笔订单的工作量看作单位“1”。 先分别求出1名熟练手工艺师和1名新手手工艺师每天完成的工作量：熟练手工艺师单独做15天完成，每天完成；新手手工艺师单独做25天完成，每天完成； 再算出3名熟练手工艺师和5名新手手工艺师合作一天完成的工作总量，最后用总工作量“1”除以合作一天的工作量，就是需要的天数。 【详解】把这笔订单的工作总量看作单位“1”。 1名熟练手工艺师的工作效率： 1名新手手工艺师的工作效率： 3名熟练手工艺师和5名新手手工艺师的工作效率之和： 完成这笔订单需要的天数：（天） 答：2.5天可以完成这笔订单。 9．（24-25六年级上·河南三门峡·期末）一批货物，只用甲车运，6天能运完；只用乙车运，4天能运完。如果两辆车一起运，多少天能运完这批货物？ 【答案】天 【分析】把这批货物的总量看作单位“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲车和乙车的工作效率。两车一起运，用工作总量1除以两车的工作效率总和即可求出两车一起运完需要的天数。 【详解】1÷6＝ 1÷4＝ ＝ ＝ ＝ ＝（天） 答：天能运完这批货物。 10．（25-26六年级上·河南安阳·期末）为迎接第十五届全国运动会，组委会计划对广州南沙全民文化体育综合体的一个圆形广场进行改造。 (1)该圆形广场的直径是28米。这个广场的占地面积是多少平方米？ (2)给这个圆形广场铺设地砖，若由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要8天。两队合作，需要多少天可以完成？ 【答案】(1)615.44平方米 (2)4.8天 【分析】第（1）小题考查圆的面积计算。已知圆的直径，需先根据“半径＝直径÷2”求出半径，再利用圆的面积公式进行计算，取3.14。 第（2）小题考查工程问题。将铺设地砖的总工作量看作单位“1”，甲队单独完成需要12天，则甲队的工作效率为；乙队单独完成需要8天，则乙队的工作效率为。两队合作的工作效率为两队效率之和，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”即可求出合作需要的天数。 【详解】（1）圆的半径：（米） 圆的面积： （平方米） 答：这个广场的占地面积是615.44平方米。 （2）两队合作需要的天数： （天） 答：两队合作，需要4.8天可以完成。 【思维拓展拔尖训练】 1．（24-25六年级上·黑龙江佳木斯·期末）一段公路长30km，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。求两队合修几天可以完成？下列算式中错误的是（    ）。 A．30÷（30÷10＋30÷15） B． C．30÷（10＋15） D． 【答案】C 【分析】可将修建这段公路看作单位“1”，则甲队工作效率为，乙队工作效率为，已知总量运用分数乘法得到甲、乙两队每天修的工程量，相加后得到两队每天修的工程量之和，再用总量除以这个数得出答案。 【详解】A．表示甲队每天修的长度，表示乙队每天修的长度，两者相加为两队每天合修的长度（工作效率和），用总长度30除以工作效率和，得到合修时间。选项正确。 B．把这段公路的全长看作单位“1”，甲队每天完成总工程的，乙队每天完成总工程的，用单位“1”除以两队工作效率和，得到合修时间。此选项正确。 C．10和15分别是甲队、乙队单独修完所需的时间，工作时间不能直接相加作为工作效率，30除以时间和不符合工程问题的数量关系。此选项错误。 D．表示30的 是多少，即，为甲队每天修的长度；表示30的 是多少，即，为乙队每天修的长度。选项正确。 2．（25-26六年级上·广东广州·期末）一个水池的水位高度要从1.6米降至1米。若单独打开甲排水管或乙排水管，要使水位降至1米，则分别要用30分钟和20分钟。若同时打开两管8分钟，则这时水池水位降至（    ）米。 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】A 【分析】水位高度要从1.6米降至1米，需要下降1.6－1＝0.6米。分别用需要下降的水的高度除以两个排水管需要的时间求出两个排水管各自每分钟使水位下降的高度，相加求出两个排水管同时打开每分钟水位下降的高度，再乘8求出8分钟水位下降的总高度，最后用原来的高度减去下降的高度即可求出此时的水位高度。 【详解】1.6－1＝0.6（米） （0.6÷30＋0.6÷20）×8 ＝（0.02＋0.03）×8 ＝0.05×8 ＝0.4（米） 1.6－0.4＝1.2（米） 3．（25-26六年级上·山东菏泽·期末）下面可以用算式解决的问题是（    ）。 A．一条隧道长1.5km，两个挖掘队单独挖通分别需要a天和b天。两队合作一起挖，多少天能完成？ B．张老师1分钟打a个字，李老师1分钟打b个字，一份2000字的稿件，两人合作需要多少分钟完成？ C．甲、乙两车同时从两地相向而行，两车各自行完全程分别用小时和小时。求两车的相遇时间。 【答案】A 【详解】A．已知全长1.5km，可以看作单位“1”，是工作总量，已知两队的工作时间分别是a天和b天，则工作效率分别是和，工作效率之和是，利用可以求得两队合作需要的时间，即，A项符合题干要求。 B．已知工作总量是2000字，两个老师的工作效率分别是a个/分钟，b个/分钟，求两人合作需要的时间，利用，即，B项不符合题干要求。 C．不知道全程的具体长度，可以把全程看作单位“1”，两车各自行完全程分别需要用小时和小时，则各自的速度分别是、，速度和是，求两车相遇的时间，利用，即，C项不符合题干要求。 4．（24-25六年级上·黑龙江佳木斯·期末）一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独完成只需要8天，甲、乙合作，需要( )天完成这项工程。 【答案】 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲的工作效率是，乙的工作效率为，再根据工作总量÷工作效率之和＝工作时间，据此进行计算即可。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 即甲、乙合作天完成这项工程。 5．（25-26六年级上·安徽芜湖·期末）芜湖某汽车零部件厂接到一批订单，甲车间单独加工20小时完成，乙车间单独加工30小时完成，甲、乙两车间合作( )小时可以完成。 【答案】12 【分析】合作时间＝合作总量÷效率和。把一批订单看作单位“1”，根据效率＝总量÷时间，则甲车间的效率为，乙车间的效率为，合作总量为单位“1”，代入公式计算。 【详解】 （小时） 甲、乙两车间合作12小时可以完成。 6．（25-26六年级上·内蒙古赤峰·期末）在北方，立冬有吃饺子的习惯。明明家在立冬这天也想要吃饺子。若让妈妈一个人包，则需要20分钟包完，若让爸爸一个人包，则需要30分钟包完。爸爸妈妈同时包，需要( )分钟包完；实际上，妈妈先包了10分钟，然后爸爸和妈妈同时包，直至包完，实际用了( )分钟。 【答案】 12 16 【分析】把包饺子的总任务量看作单位“1”，妈妈单独包完需要20分钟，那么她每分钟能完成全部任务的；爸爸单独包完需要30分钟，他每分钟能完成全部任务的。 两人一起包时，每分钟能完成的任务量，就是妈妈和爸爸的效率之和，用总任务量1除以效率之和，就能算出合作完成的时间。 用妈妈的效率乘10，求出妈妈10分钟完成的任务量，用总任务量减去已经完成的任务量求出剩下的任务量；用剩下的任务量除以两人的效率之和算出合作时间，再将合作时间与妈妈最先单独包的时间相加即可求出实际用的总时间。 【详解】1÷20＝ 1÷30＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝12（分钟） 爸爸妈妈同时包，需要12分钟。 （1－×10）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝6（分钟） 10＋6＝16（分钟） 直至包完，实际用了16分钟。 7．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）东湖景区计划清理淤泥。有甲乙两艘清淤船，如果甲船单独工作，10天可以完成全部清淤任务；如果乙船单独工作，需要15天完成。两船合作3天后，乙船因故障离开，剩下的由甲船单独完成。从开始到完工一共用了多少天？ 【答案】8天 【分析】将工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”分别求出甲和乙的工作效率，再根据“工作量＝工作效率之和×工作时间”求出甲乙合作3天的工作量，用工作总量减去甲乙合作3天的工作量即为剩余工作量，根据“工作时间＝工作量÷工作效率”求出剩余工作量甲单独清淤的工作天数，最后加上甲乙合作的3天即是所求。 【详解】[1－（）×3]3 ＝[13]3 ＝[1]3 3 ＝5＋3 ＝8（天） 答：从开始到完工一共用了8天。 8．（25-26六年级上·四川凉山·期末）只列综合算式或方程解答下面各题，不计算。 修一条水渠，甲队单独修15天完成，乙队单独修2天修了全长的。如果甲、乙两队合修，多少天可以修完这条水渠？ _________________________ 【答案】1÷（＋÷2） 【分析】把水渠全长看作单位“1”，先分别求出甲、乙两队的工作效率，再用工作总量÷两队效率和，得到合修完成天数。 【详解】 （天） 答：如果甲、乙两队合修，天可以修完这条水渠。 9．（25-26六年级上·江西吉安·期末）一份稿件，师傅单独打要12小时完成，徒弟2小时能完成这份稿件的。如果师徒两人合作，几小时可以完成这份稿件的？ 【答案】小时 【分析】把工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”求出师傅的工作效率和徒弟的工作效率，两人合作需要的时间＝两人合作的工作总量÷（师傅的工作效率＋徒弟的工作效率）。 【详解】师傅的工作效率：1÷12＝ 徒弟的工作效率：÷2 ＝× ＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（小时） 答：如果师徒两人合作，小时可以完成这份稿件的。 10．（25-26六年级上·山东济南·期末）为优化校园设施，学校启动了教学楼走廊翻新工程。这项工程若由甲施工队单独负责，30天可完成全部修缮任务；若由乙施工队单独承接，20天就能完工。学校安排甲、乙两队合作施工，不过期间甲队因调配设备临时请假2天，乙队也因人员调度请假了若干天。从工程正式开工到全部竣工，整个过程一共用了20天时间。请问在这次走廊翻新工程中，乙施工队实际请假了多少天？ 【答案】 12天 【分析】这是一道典型的工程问题，核心是“工作总量＝工作效率×工作时间”。将整个工程总量看作“1”。甲队工作效率是每天完成工程的，乙队是每天完成工程的​。甲队实际工作了 20－2＝18天，先求出甲队完成了总工程的多少；用总量“1”减去甲队完成的部分，就是乙队需要完成的部分；用乙队需要完成的工作量除以乙队的工作效率，就能求出乙队实际需要工作的天数；最后，用总工期减去乙队实际工作天数，就得到了乙队请假的天数。 【详解】 （天） 20－8＝12（天） 答：乙施工队请假了12天。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 暑假衔接 第六讲工程问题 第七讲第二单元《混合运算与数量关系(三)》 思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练(共41题 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 新知学习 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 分层训练 真题汇编闯关达标 小学数学 六年级/上册(新教材) 苏 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以预习苏教版新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导图，新 知学习，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题 量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思 路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑 假学得开心，玩得愉快」 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏 教版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦」 思维导图考点指引 一、什么是工程问题 五、工程问题的类型 1.单独完成型：已知一个人单独完成的时间 工程问题是研究做一件工作时 2.合作完成型：两人或多人合作完成。 完成工作量所需要时间的应用题， 3.交替完成型：先由一人做，完了再由另一人做。奇 4.多次重复型：多次运送、多次加工等。 二、工程问题中的三大关系 六、解题步骤（四步法） 工作量=工作效率×工作时间 第二单元混合运算与数量关系（三） 1.审题：明确工作总量、工作效率和时间的关系 工作效率=工作量÷工作时间 2.设量：把总工作量看作“1”。 第3节工程问题 工作时间=工作量÷工作效率 3.列式：根据数量关系，正确列出算式。 4.计算与检验：求出结果，检验并答题。 三、工作量的表示 通常把一项工作看作“1” 七、解题关键与注意事项 即总工作量=1。 1=(2+3+…） ★关键：找准“工作量、工作效率、工作时间”之间的关系。 ★注意：能一单位（时间单位要一致）。 表示合作完成的总工作量： ★合作时，工作效率相加；交替时，分别计算 1(全部工作量) ★多次运送或多次完成，注意剩余量的变化。 八、常见问题解决思路举例 四、分数与工程问题 九、学以致用（例题） 类型 思路方法 ·把工作时间看作单位“1”时，工作效率用分数表示。 单鞋完成 用总工作量+单独完成时间=工作效率。 例1：志杰家要平整一块菜地，志杰单独做需要6小时， ·单独完成工作量的几分之几，就是工作效率。 爸苍单牡做需要3小时。两人一起做，多少小时可以完成？ 合作完成 把各人的工作效率相加， 例：志杰每小时完成总工作量的， (6+3)x()=1 用总工作量+合作工作效率=合作时间。 思路：工作效率相加一总工作量+合作效奉=合作时间。 爸苍每小时完成总工作量的 （)=1+(君+》 交替完成 分别求出各人完成的时间，再相加。 例2：甲工程队单独修-条720米长的地下管道，需要12天完成： 乙工程队单独修，需要18天完成。两队一起修，多少天能完成 计算两人合作完成这项工作需要的时间 多次重复 先求出一次完成所需的时间或量 再票以次数。 思路：工作效奉相加一总工作量÷合作效率=合作时间。 工程问题的核心是“工作量、工作效率、工作时间”三者之间的关系， ★ 1.总工作量=1 3.工作效率=工作量÷工作时间 温馨提示灵活运用分数表示工作效率 ,能轻松解决各种工程问题 一记2.工作量=工作效率×工作时间4.工作时间=工作量÷工作效率 第2页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 教材学习新知引导 5. 志杰家要平整一块菜地，并给这块菜地围上篱笆。如果这项工作由志杰单独做，需要6 小时完成：如果由爸爸单独做，需要3小时完成。如果志杰和爸爸一起做，多少小时可以完 成？ 总工作量=每小时完成的工作量× 如果志杰和爸爸一起做，要求他俩 工作的小时数，要求多长时间完成， 每小时完成的工作量之和，也要知 需要知道总工作量。 道总工作量… 如果把总工作量看作1，志杰每小时完成总工作量的几分之几？爸爸呢？ 志杰每小时完成总工作 1 量的石，爸爸每小时完 (6+3)×( ）=1 1 1 成总工作量的了· )=1÷(6+ 第一步：确定工作效率 把总工作量看作单位“1”。志杰单独做需要6小时，所以志杰每小时完成总工作量的· 爸爸单独做需 要3小时，所以爸爸每小时完成总工作量的 第二步：计算合作效率 两人合作，每小时完成的工作量是两人效率之和：合作效率=名+ 通分计算：名+名=月 即两人合作每小时能完成总工作量的： 第三步：计算合作时间 根据公式：工作时间=工作总量÷工作效率和 合作时间=1-(G+) 1 =2(小时) 答：志杰和爸爸一起做，2小时可以完成。 第3页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 回顾与体会 用1表示总工作量，每 解决这一问题时，可以 小时完成的工作量可以 假设总工作量为1。 表示为几分之一。 练一练 南坪街道计划修建一条720米长的地下管道，甲工程队单独修，需要12天完成：乙工程队 单独修，需要18天完成。如果两队一起修，多少天能够完成？（你能用不同方法解答吗？） 方法一：按具体工作量计算 1.分析已知条件：工作总量：720米甲队单独修需12天 乙队单独修需18天 2.计算各队每天的工作效率（每天修的长度） 甲队每天修：720÷12=60（米) 乙队每天修：720÷18=40（米） 3.计算两队合作每天的工作效率：60+40=100（米） 4.计算合作所需天数：合作天数=总长度÷合作每天修的长度 720÷100=7.2(天) 方法二：按工程问题通用模型（设工作总量为“1”）计算 1.设定工作总量：把这条地下管道的总长看作单位“1”。 2计算各队的工作效率：甲队每天完成总量的：立 乙队每天完成总量的：日 3.计算合作效率：立+日 通分（最小公倍数为36）： 3,25 36+36=36 4.计算合作所需天数 合作天数=1÷ 36 =1×5 6 =7.2（天) 答：如果两队一起修，7.2天能够完成。 优选题型考点讲练 第4页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 考点一有具体量的工程问题（简单问题） 【典例精讲】(25-26六年级上·山东济宁·期末)录入同一篇稿件，小强用了10分钟，小玲用了12分 钟，小强和小玲的打字速度之比6：5。（ )（判断对错) 【变式训练1】(25-26六年级上·山东青岛·期末)书香小区引入智能机器人对可回收物进行筛选。机 器人小智小时可筛选9千克，它每小时可筛选( ）千克。 【变式训练2】(25-26六年级上·广东广州·期末)如果一台拖拉机1小时可以耕地公顷，那么这台拖 拉机5小时可以耕地( )公顷，要耕完公顷的地需要( )小时。 考点二有具体量的工程问题（综合算式问题） 【典例精讲】(25-26六年级上·浙江温州·期末)茶农采永嘉乌牛早茶，1小时采茶干克，5小时采茶 )千克，采1千克茶叶需要( )小时。 【变式训练1】(25-26六年级上·广东汕尾·期末)水新面粉厂孙时可以磨面粉品吨，照这样计算， 小时可以磨面粉多少吨？正确的算式是( )。 A品×程B.品号× c.6*号* D.6×号x 【变式训练2】(24-25六年级上·云南玉溪·期末)南京云锦是中国传统的丝制工艺品，有“寸锦寸金” 之称，是中华民族珍贵的历史文化遗产之一。李师傅每天能织造一匹云锦的，王师傅每天能织造一匹云锦 的后，两人共同合作3天后，还剩这匹云锦的几分之几？ 考点三有具体量的工程问题（较复杂问题） 【典例精讲】(25-26六年级上·全国·期末)现有一批木料，总体积为300立方分米。全部做课桌可做 20张，全部做学生椅可做30把，1张课桌配1把椅子为一套，这批木料最多能做( )套课桌椅。 A.30 B.20 C.15 D.12 第5页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优进义（新课衔接) 【变式训练1】(25-26六年级上·青海西宁·期末)一份稿件，甲单独打8分钟完成，乙单独打6分钟 完成。甲、乙两人每分钟打字个数的比是( )；己知甲每分钟比乙少打60个字，这份稿件一共有 )个字。 【变式训练2】(24-25六年级下·安徽合肥·开学考试)深度相同且都注满水的甲、乙两蓄水池，各有 一个排水管，放完甲池中的水需要3小时，放完乙水池的水需要5小时，同时打开两个水池的排水管，经 过一段时间后，关闭排水管，甲水池水面高度为乙水池的，从开始排水到关闭水管，共用了多少小时？ 考点四两人合作的工程问题（简单问题） 【典例精讲】(2025六年级上·广东广州·专题练习)修一条水渠，甲队每天修这条水渠的经乙队每天 修这条水渠的0两队合修( )天修完。 【变式训练1】(2025六年级上·全国·专题练习)车站存放一批240吨的货物，用一辆大卡车6次可 运完，用一辆小卡车12次可运完。现在用大小两卡车同时运，( )次可运完。 A.4 B.5 C.8 D.9 【变式训练2】(25-26六年级上·河北唐山·期中)挖一条水渠，杨叔叔每天挖这条水渠的品陈叔叔 每天挖这条水渠的0两人合作，( )天能挖完。 A1÷(1+1动 B.1÷(0+) C(始+始÷2 D.(20+30)÷2 考点五两人合作的工程问题（较复杂问题） 【典例精讲】(25-26六年级上·河南信阳·期末)分拣机器人是一种具备了传感器、物镜和电子光学系 统的机器人，可以快速进行货物分拣。现有3600件快递需要分拣，A品牌分拣机器人单独分拣完要20分钟， B品牌分拣机器人单独分拣完要15分钟。如果两个分拣机器人合作，( )分钟能分拣完这批快递的。 还剩下( )件没有分拣。 【变式训练1】(25-26六年级上·湖南常德·期末)桃花源景区要修一条长2000米的观光步道，甲工 程队单独修要8天，乙工程队单独修要12天。现在甲、乙两队合修，多少天能完成步道的？ 第6页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优进义（新课衔接) 【变式训练2】(25-26六年级上·云南红河·期末)一项工程，甲单独修要10天完成，乙单独修要15 天完成。两队合修3天后，完成了这项工程的( )。 A吉 B. c.品 考点六两人合作的工程问题（多步列式计算问题） 【典例精讲】(25-26六年级上·湖南永州·期末)一条公路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要 15天，甲队先单独修几天后再由乙队单独修，两队一共用了19天修完，共取得劳务费10万元，若按工作 量分配，甲、乙两队各获得多少万元？ 【变式训练1】(25-26六年级上·全国·期末)修一条路，甲工程队单独修需要20天，乙工程队单独 修需要30天。两队合作若干天后，甲队另有任务离开，剩下的工程由乙队单独修了5天才完成。甲、乙两 队合作了多少天？ 【变式训练2】(25-26六年级上·安徽准北·期中)为迎接庆元旦活动，六(1)班和六(2)班的学生 准备制作一批扎花作为装饰。如果(1)班和（2)班共同合作，24天能完成，现由(1)班先做16天，(2) 班再做12天，还剩下这批扎花的后没有完成。已知(1)班每天比(2)班多加工3个扎花，求这批扎花共有 多少个？ 第7页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 考点七工程问题（竞赛类问题） 【典例精讲】水池有甲、乙两根进水管，单独打开甲进水管6小时可注满空水池，单独打开乙进水管4 小时可注满空水池。如果按甲、乙、甲、…的顺序轮流打开1小时，注满空水池需( )小时。 A.2.4 B.3 C.4.4 D.5 【变式训川练1】有一批零件共450个。 (1)师徒俩一起加工这批零件，如果徒弟完成了全部的，师傅需要加工多少个零件才能全部完成任务？ (2)已知师傅单独完成需要12天，徒弟单独完成需要18天。现在，由徒弟先做3天，再由两人合作。两 人需要再合作几天才能完成任务？ 【变式训练2】(2025六年级·全国·竞赛)一条公路，甲、乙两队同时修5天可以修完，乙、丙两队 同时修4天可以修完，如果甲、丙两队同时修2天，还需乙队修6天才能修完。若乙队独修几天可以修完？ 真题汇编能力强化 【基础通关能力提升】 1.(25-26六年级上·河南漯河·期末)一篇1000字的文稿，甲打字员单独录完需要8分钟，乙打字员单 独录完需要10分钟。两人合作需要多少分钟录完？列式正确的是( )。 A.1000÷(8+10) B.1÷(8+10) c.1÷(6+) 第8页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 2.(25-26六年级上·江西南昌·期末)下列问题可用“1÷(+)”解决的是( ）。 A.计算人均绿地面积 B.计算两队合作铺设步道时间 C.计算混合种植蔬菜总产量 D.计算15分钟步行范围 3.(25-26六年级上·江西赣州·期末)为了建设“未来科技数据中心”，需要铺设一条长500米的超导 光纤通道。“灵犀”人工智能工程机器人单独铺设完成需要25天，“迅龙”自动化工程机器人单独铺设完 成需要20天。如果两台机器人同时合作铺设完成需要多少天完成？下面列式正确的是( )。 A.500÷(号+动 B.1÷(500÷25+500÷20) c.1÷(品启》 D.500÷(500÷25+500÷20) 4.（25-26六年级上·河南商丘·期末)打印一份相同的稿件，甲用12分钟，乙用10分钟，则甲与乙的 工效比是( ）。 5.(25-26六年级上·山东菏泽·期末)一项工程，单独做甲需要20天完成，乙的效率是甲的。如果乙 单独做需要( )天完成这项工程。 6.(25-26六年级上·陕西延安·期末)一项工作，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要6天，甲、乙 合作4天可以完成。(）（判断对错） 7.(25-26五年级上·黑龙江绥化·期末)某工程队修一条长7.2千米的公路，原计划每天修0.24千米， 实际每天修0.36千米，实际比原计划提前几天完成？ 8.(25-26六年级上·河南安阳·期末)中国结是一种手工编织工艺品，代表着团结、幸福、平安。王阿 姨的手工坊接到一笔中国结订单，1名熟练手工艺师单独做15天能完成，1名新手手工艺师单独做25天能 完成。现在安排3名熟练手工艺师和5名新手手工艺师一起制作，多少天可以完成这笔订单？ 第9页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 9.(24-25六年级上·河南三门峡·期末)一批货物，只用甲车运，6天能运完；只用乙车运，4天能运完。 如果两辆车一起运，多少天能运完这批货物？ 10.(25-26六年级上·河南安阳·期末)为迎接第十五届全国运动会，组委会计划对广州南沙全民文化体 育综合体的一个圆形广场进行改造。 (1)该圆形广场的直径是28米。这个广场的占地面积是多少平方米？ (2)给这个圆形广场铺设地砖，若由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要8天。两队合 作，需要多少天可以完成？ 【思维拓展拔尖训练】 1.(24-25六年级上·黑龙江佳木斯·期末)一段公路长30km,甲队单独修10天完成，乙队单独修15天 完成。求两队合修几天可以完成？下列算式中错误的是( )。 A.30÷(30÷10+30÷15) B.1-(品+) C.30÷(10+15) D.30÷(30×0+30×) 2.(25-26六年级上·广东广州·期末)一个水池的水位高度要从1.6米降至1米。若单独打开甲排水管 或乙排水管，要使水位降至1米，则分别要用30分钟和20分钟。若同时打开两管8分钟，则这时水池水 位降至( )米。 A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 第10页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 3.(25-26六年级上·山东菏泽·期末)下面可以用算式1÷（任+）解决的问题是( ）。 A.一条隧道长1.5km,两个挖掘队单独挖通分别需要a天和b天。两队合作一起挖，多少天能完成？ B.张老师1分钟打a个字，李老师1分钟打b个字，一份2000字的稿件，两人合作需要多少分钟完成？ C.甲、乙两车同时从两地相向而行，两车各自行完全程分别用小时和小时。求两车的相遇时间。 4.(24-25六年级上·黑龙江佳木斯·期末)一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独完成只需要8天， 甲、乙合作，需要()天完成这项工程。 5.(25-26六年级上·安徽芜湖·期末)芜湖某汽车零部件厂接到一批订单，甲车间单独加工20小时完成， 乙车间单独加工30小时完成，甲、乙两车间合作( )小时可以完成。 6.(25-26六年级上·内蒙古赤峰·期末)在北方，立冬有吃饺子的习惯。明明家在立冬这天也想要吃饺 子。若让妈妈一个人包，则需要20分钟包完，若让爸爸一个人包，则需要30分钟包完。爸爸妈妈同时包， 需要( )分钟包完：实际上，妈妈先包了10分钟，然后爸爸和妈妈同时包，直至包完，实际用了() 分钟。 7.(25-26六年级上·湖北武汉·期末)东湖景区计划清理淤泥。有甲乙两艘清淤船，如果甲船单独工作， 10天可以完成全部清淤任务：如果乙船单独工作，需要15天完成。两船合作3天后，乙船因故障离开，剩 下的由甲船单独完成。从开始到完工一共用了多少天？ 8.(25-26六年级上·四川凉山·期末)只列综合算式或方程解答下面各题，不计算。 修一条水渠，甲队单独修15天完成，乙队单独修2天修了全长的。如果甲、乙两队合修，多少天可以修完 这条水渠？ 9.(25-26六年级上·江西吉安·期末)一份稿件，师傅单独打要12小时完成，徒弟2小时能完成这份稿 件的。如果师徒两人合作，几小时可以完成这份稿件的？ 第11页共12页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 10.(25-26六年级上·山东济南·期末)为优化校园设施，学校启动了教学楼走廊翻新工程。这项工程若 由甲施工队单独负责，30天可完成全部修缮任务；若由乙施工队单独承接，20天就能完工。学校安排甲、 乙两队合作施工，不过期间甲队因调配设备临时请假2天，乙队也因人员调度请假了若干天。从工程正式 开工到全部竣工，整个过程一共用了20天时间。请问在这次走廊翻新工程中，乙施工队实际请假了多少天？ 第12页共12页