甘肃省兰州市永登县第六中学2025-2026学年高一数学下学期期末素养训练试卷

**基本信息** 以“雨中撑伞”“圆台形容器接雨水”等真实情境题设计，融合复数、立体几何等知识，考查数学眼光观察现实世界与数学思维推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|正六棱锥（空间几何）、概率统计、向量新定义|19题综合空间观念与运算能力，15题新定义运算体现创新应用| |选择题|11/58|复数虚部、线面关系、三角形形状判断|第4题情境化考查解三角形，第8题概率结合分组问题|

甘肃省兰州市永登县第六中学2025-2026学年高一数学下学期 期末素养训练试卷 （本试卷共5页19小题，满分150分.考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2.在三角形ABC中，，记，，则（ ） A. B. C. D. 3.已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 4.某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面，当雨与地面成斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（ ） A. B. C. D. 5.对24小时内降落在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义： 积水厚度（mm） 0~10 10~25 25~50 50~100 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 6.在三角形ABC中，角所对的边分别为，若，则三角形ABC的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8.某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．零向量与任意向量共线 C．互为相反向量的两个向量的模相等 D．若向量，满足，，则 10.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若中C为钝角，则 D．若，，，则解的个数为2 11.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（  ） A． B．直线与面所成角为 C．线段 D．直线面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，则______． 13.在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_____. 14.已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.对于向量，，定义运算，已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 16．中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 17.在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. (1)求的值； (2)求恰有一人通过体能测试的概率； (3)求至少有一人通过体能测试的概率． 18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，…，，． (1)求图中a的值； (2)从评分在的受访职工中，随机抽取3人，求其中有2人评分在的概率． 19.如图，在正六棱锥中，． （1）求棱锥的高和斜高； （2）求直线到平面的距离； （3）若球是正六棱锥的内切球，以底面正六边形的中心为圆心，以内切球半径为半径的圆面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱锥的内接几何体，求该几何体的侧面积． 甘肃省兰州市永登县第六中学2025-2026学年高一数学下学期 期末素养训练试卷答案 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. ADDAC BBD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 【9题答案】BCD【10题答案】ABD【11题答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12题 13题 14题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 【详解】（1）因为，，， 所以， 因为，所以，解得. （2）由题意得 又，且，所以，解得， 此时， 设与的夹角为， 则 所以与夹角的余弦值为 16. 【详解】（1）已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. （2）设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为， 联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 17．【详解】（1）记“甲通过体能测试”为事件，“乙通过体能测试”为事件，则，． 由题意可知：事件、相互独立． 两人都通过体能测试的概率为，解得：． （2）记“恰有一人通过体能测试”为事件． 所以， 所以恰有一人通过体能测试的概率为. （3）记“至少有一人通过体能测试”为事件． ； 所以至少有一人通过体能测试的概率为． 18. 【详解】（1）频率直方图中，所有组的频率和为1，组距为10，则： 解得： （2）人数： 人数： 总体情况：从10人中抽3人， 符合条件：2人评分在，1人评分在，即 19. 【解析】【1】作出棱锥的高，因为是正六棱锥，所以是底面的中心，连接，可知． 在中，可知． 设中点为，由是等腰三角形可知，，因此，是斜高， 从而． 【2】 因为平面，所以点到平面的距离就是直线到平面的距离． 由得， 又因为 所以． 【3】 设锥内切球与侧面相切于，可得在上，连接．在中，则，所以． 设内切球的半径为，由，可得，解得．故所求几何体是底面半径为1的圆柱． 在中，在上取点，使得，过作，交于点，作，交于，则： ，故 所以该几何体的侧面积为：． 第7页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $