4.4 一次函数的应用 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用，涵盖确定表达式、单个及两个函数图象应用三课时。通过复习正比例与一次函数解析式、图象，结合具体函数示例及“两点确定直线”问题，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题情境驱动，通过弹簧长度、蜡烛燃烧等实例培养数学眼光（抽象能力、几何直观），利用函数图象分析摩托车油量等问题发展数学思维（推理意识），小结结构化呈现“设列解写”步骤。既助学生形成模型意识，也为教师提供清晰教学路径。

4.4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式 4.4 一次函数的应用 1.掌握确定一次函数表达式的方法。（重点） 2.体会函数与方程间的联系。（难点） 学 习 目 标 函数 解析式 图象 正比例函数 y＝kx (k 是常数，k ≠0) 一条过____点的___线 一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0) 一条___线 y x o y x o 原 直 直 复 习 导 入 　　前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？ 思考： 　　反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？ 两点法——两点确定一条直线 复 习 导 入 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v（单位：m/s）与其下滑时间 t (单位：s)的关系如图所示： 问题：从图象中你能得到什么条件？ 过原点的射线 正比例函数的表达式 v＝kt 从形到数 讲 授 新 课 (1)请写出 v 与 t 的关系式。 解：(1)设 v＝kt, ∵（2，5）在函数图像上， ∴ 将（2，5）代入 v＝kt 中， 有 2k＝5， 解得 k＝2.5 ∴ v 与 t 的关系式为 v＝2.5t。 (2)下滑 3 s 时物体的速度是多少？ 解：当 t＝3时，v＝2.5×3＝7.5(m/s) 讲 授 新 课 1.已知一个正比例函数的图象如图所示。 (1)求该函数的表达式； (2)若点(－3，m)也在该函数图象上，求 m 的值。 解：(1)设该正比例函数的表达式为 y＝kx(k≠0)。 由图象，得该正比例函数经过(1，2)，则有 k＝2。 所以该函数的表达式为 y＝2x。 (2)∵ 点(－3，m)在该函数图象上， ∴ m＝2×(－3)＝－6。 针 对 练 习 探究 如图，已知一次函数的图象经过 P (0，－1)， Q (1，1) 两点。怎样确定这个一次函数的解析式呢？ 讲 授 新 课 因为一次函数的一般形式是 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0)，要求出一次函数的解析式，关键是要确定 k 和 b 的值(即待定系数)。 函数解析式 y = kx + b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2) 一次函数的图象直线 l 选取 代入解出 画出 选取 讲 授 新 课 解：∵ P (0，-1)和 Q (1，1)都在该函数图象上， ∴它们的坐标都满足 y＝kx＋b ，将这两点坐标代入该式中，得 b＝-1，k＋b＝1， 解这个方程组，得 k＝2，b＝-1。 ∴ 这个一次函数的解析式为 y＝2x－1。 讲 授 新 课 (1)设：设一次函数的一般形式 ； (2)列：把图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式； (3)解：解方程得 k，b； (4)写：把 k，b 的值代入所涉解析式中，写出表达式。 y = kx + b (k ≠ 0) 待定系数法求一次函数解析式的步骤： 新 知 小 结 一个(求出 k 的值) 两个(求出 k 和 b 的值) 思考 确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 确定一次函数的表达式呢？ 函数解析式 y＝kx＋b 一次函数的图象直线 l 从数到形 从形到数 数学的基本思想方法：数形结合 讲 授 新 课 例1 在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂物体质量 x（单位：kg）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长 14.5 cm；当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm。请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度。 解：设 y＝kx＋b(k≠0) 由题意得：14.5＝b, 16＝3k＋b, 解得：b＝14.5 ; k＝0.5. 所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5. 当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5。 故当所挂物体的质量为 4 kg时弹簧的长度为 16.5 cm。 x＝0，y＝14.5 x＝3，y＝16 典 例 精 析 例2 若一次函数的图象经过点 A(2，0)，且与直线 y＝-x＋3 平行，求其解析式。 解：设这个一次函数的解析式为 y＝kx＋b。 k＝-1，2k＋b＝0， 由题意得 k＝-1，b＝2。 解得 ∴ y＝- x＋2。 典 例 精 析 思考 某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y (单位：cm)是燃烧时间 x (单位：h)的一次函数。当这根蜡烛燃烧 2 h 时，其长度为 12 cm。 (1)写出 y 与 x 之间的关系式； 解：设 y＝kx＋b(k、b为常数)。 由题意，得30＝b, ① 12＝2k＋30。 ② 将①代入②，得 k＝-9。 ∴ y 与 x 之间的关系式为 y＝-9x＋30。 讲 授 新 课 思考 某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y (单位：cm)是燃烧时间 x (单位：h)的一次函数。当这根蜡烛燃烧 2 h 时，其长度为 12 cm。 (2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间? 解：当蜡烛燃烧完时，剩下长度 y＝0, 则 0＝-9x＋30。 解得 x＝。 ∴这根蜡烛最多能燃烧 小时。 讲 授 新 课 1.某正此例函数的图象如图所示，则这个 函数的表达式为( ) A.y＝x B.y＝－x C.y＝－3x D.y＝－ B 2.过点(0,0)和点(2,3)的正比例函数的表达式为（ ） A.y＝x B.y＝x C.－y＝x D.－y＝x A 随 堂 练 习 4.已知正比例函数 y＝kx,当 x＝2时，y＝4，若这个正比例函数的图象经过点(3，m)，则 m＝ 。 5.若一次函数 y＝kx－3 的图象过点(－1，3)，则 k＝ 。 3.已知直线 y＝kx＋b 经过 A(0,2)和 B(3,0)两点，那么 y 与 x 之间的函数表达式为（ ） A.y＝x＋3 B.y＝－x＋2 C.y＝x＋2 D.y＝x＋1 6 －6 B 随 堂 练 习 6.已知 y＋2 与 x 成正比例，且当 x＝5 时，y＝3。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x＝－1 时，y 的值是多少？ （3）当 y＝4 时，x 的值是多少？ 解：(1)根据题意，设 y＋2＝kx。 把 x＝5，y＝3 代入，得 3＋2＝5k，解得 k＝1。 所以 y＋2＝x， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x－2。 (2)把 x＝－1 代入 y＝x－2，得 y＝－3。 (3)把 y＝4 代入 y＝x－2，得 4＝x－2,解得 x＝6。 随 堂 练 习 确定正比例函数的表达式 一次函数的应用 确定正比例函数的表达式需要知道除原点（0,0）外的一个点的坐标或者自变量与函数的一对对应值。 确定一次函数的表达式需要知道两个点的坐标或者自变量与函数的两对对应值。 确定一次函数的表达式 方法 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数表达式； （2）代：把已知条件代入表达式列出方程； （3）求：解方程； （4）写：将求出的k，b代回写出表达式。 课 堂 总 结 第2课时 单个一次函数图象的应用 4.4 一次函数的应用 1.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；（重点） 2.通过对函数图象的观察与分析，培养数形结合的意识，通过具体问题的解决，培养数学应用能力； 3.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识之间的联系。（难点） 学 习 目 标 1.由一次函数的图象可确定 k 和 b 的符号； 2.由一次函数的图象可估计函数的变化趋势； 3.可直接观察出：x 与 y 的对应值； 4.由一次函数的图象与 y 轴的交点的坐标可确定 b 值， 从而确定一次函数的图象的表达式。 从一次函数图象可获得哪些信息? 复 习 导 入 24 行驶路程 x＝0 时，y 的值 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 y (单位：L)与摩托车行驶路程 x(单位：km)之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： (1)油箱最多可储油多少升？ 解：观察图象，得 当 x＝0 时，y＝10. 因此，油箱最多可储油 10 L。 讲 授 新 课 剩余油量 y＝0 时，x 的值 (2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ 解：当 y＝0 时，x＝500。 因此，一箱汽油可供摩托车行驶 500 km。 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 y (单位：L)与摩托车行驶路程 x(单位：km)之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： 讲 授 新 课 当 x 从 0 增加到 100 时，对应 y 的增加值 (3)摩托车每行驶 100 km 消耗多少升汽油？ 解：x 从 0 增加到 100 时，y 从 10 减少到 8，减少了 2，因此摩托车每行驶 100 km 消耗 2 L 汽油。 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 y (单位：L)与摩托车行驶路程 x(单位：km)之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： 讲 授 新 课 当 y＝1 时，x 的值 (4)油箱中的剩余油量小于 1 L 时，摩托车将自动报警。加满油行驶多少千米后，摩托车将自动报警？ 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 y (单位：L)与摩托车行驶路程 x(单位：km)之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： 解：当 y＝1 时，x ＝450， 因此，行驶 450 km 后，摩托车将自动报警。 讲 授 新 课 如何解答实际情景函数图象的信息？ 1.理解横纵坐标分别表示的的实际意义； 3.利用数形结合的思想： 将“数”转化为“形” 由“形”定“数” 2.分析已知条件，通过作 x 轴或 y 轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值； 新 知 小 结 解：观察图象，得 当 t＝0 时，V＝1200。 因此，干旱开始时水库的蓄水量是 1200 万 m3。 (1)干旱开始时水库的蓄水量是多少？ 例 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量 V (单位：万 m3)与干旱持续时间 t (单位：天)之间的关系如图所示，根据图象回答问题： 典 例 精 析 (2)干旱持续 10 天，水库的蓄水量是多少？干旱持续 23 天呢？ 解：观察图象，得 当 t＝10 时，V＝1000。 因此，干旱持续 10 天，水库的蓄水量为 1000 万 m³。 当 t＝23 时，V≈750。 因此，干旱持续 23 天，水库的蓄水量约为 750 万 m³。 例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量 V (单位：万 m3)与干旱持续时间 t (单位：天)之间的关系如图所示，根据图象回答问题： 典 例 精 析 (3)蓄水量小于 400万 m3 时，将发出严重干旱警报。干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？ 解：观察图象，得 当 V＝400 时，t≈40。 因此，干旱持续约 40 天后将发出严重干旱警报。 例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量 V (单位：万 m3)与干旱持续时间 t (单位：天)之间的关系如图所示，根据图象回答问题： 典 例 精 析 思考 按照前面例题的这个规律，预计干旱持续多少天水库将干涸？ 解：观察图象，得 干旱持续 20 天时， 蓄水量减少 400 (万 m3)。 则蓄水量每天减少约 400÷20＝20(万 m3)。 1200÷20＝60(天)， 所以按照这个规律，预计干旱持续 60 天水库将干涸。 讲 授 新 课 (1)要看清、弄懂横轴、纵轴所代表的意义(包括单位)； 怎样通过函数图像获取信息，并解决实际问题？ (2)会找到图象上具有特殊意义的点,能把给定的坐标转换成数学语言。图象上具有特殊意义的点主要有：图像与x轴、y轴的交点；给定坐标的点；与其他图象的交点等。 (4)了解图象的变化，知道变量的取值范围，会估计图象的发展趋势。 (3)根据坐标能正确写出函数表达式，根据表达式能写出特殊点坐标； 新 知 小 结 34 2 0 1 3 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 x y (-2,0) (0,1) 做一做 如图是某一次函数的图象，根据图象填空： （1）当 y＝0 时，x＝ ； （2）这个函数的表达式是 。 －2 y＝x+1 解：设 y＝kx＋b ∵图象经过(0，1)和(－2，0) ∴1＝b，0＝－2k＋b 解得 k＝，b＝1 ∴这个函数的表达式为 y＝x＋1。 讲 授 新 课 思考 一元一次方程 －20x＋1 200＝0 与一次函数 y＝－20x＋ 1 200 有什么联系？ 1.从“数”的方面看，当一次函数 y＝－20x＋1 200 的 y 的值为 0 时，相应的 x 的值即为方程 －20x＋1 200＝0 的解。 2.从“形”的方面看，一次函数 y＝ －20x＋1 200 与 x 轴交点的横坐标，即为方程 －20x＋1 200＝0 的解。 y＝－20x＋1 200 讲 授 新 课 一次函数与一元一次方程的关系： (1)一般地，当一次函数 y＝kx＋b 的函数值 y 为 0 时，相应的自变量的值就是方程 kx＋b＝0 的解； (2)从图象上看，一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0 的解。 新 知 小 结 1.某弹簧的长度 y (cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的关系如图所示，当所挂物体的质量为 10 kg 时，弹簧的长度为（ ） A.12 cm B.13 cm D.14 cm D.15 cm D 随 堂 练 习 2.如图，直线 y＝ax＋b(a≠0)过点 A(0,4), B(－3,0)，则方程 ax＋b＝0 的解是（ ） A.x＝－3 B.x＝4 C.x＝－ D.x＝－ A 3.一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示,则关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解为 ,关于 x 的方程 kx＋b＝-1 的解为 。 x＝1 x＝ 随 堂 练 习 4.汽车油箱中的余油量 Q(单位：L)是它行驶的时间 t(单位：h)的一次函数。某天一辆汽车外出时，油箱中余油量 Q 与行驶时间 t 的变化关系如图所示. (1)根据图象，求油箱中的余油量 Q 与行驶 时间t之间的函数关系式(不需要写出变量 的取值范围); (2)如果汽车每小时行驶 50 km,从外出时 开始算起，当油箱中余油量为 30 L 时， 该汽车行驶了多少千米? 随 堂 练 习 解：(1)设油箱中余油量 Q 与行驶时间 t 之间函数关系式是 Q＝kt＋b。 ∵ 函数的图象经过点(0,60),(4,40), ∴ b＝60，4k＋b＝40, ∴ k＝-5。故 Q＝-5t＋60。 (2)当 Q＝30时，30＝-5t＋60, 解得 t＝6。 50×6＝300(km), 即油箱中余油量为 30 L 时，该汽车行驶了 300 km。 随 堂 练 习 单个一次函数图象的应用 一次函数的应用 ①数形结合，函数与方程的思想 ②利用函数图像解决简单的实际问题 一次函数与一元一次方程的关系 课 堂 总 结 第3课时 两个一次函数图象的应用 4.4 一次函数的应用 1.利用在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象解决实际问题。（重点） 2.对在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象交点的理解。（难点） 学 习 目 标 前面我们学习了利用单个一次函数图象解决问题的方法，但有时我们会遇到一些比较复杂的问题，出现两个或多个一次函数的图象，我们如何利用两个一次函数图象来解决问题呢？ 情 境 导 入 (1)当销售量为 2 t 时， 销售收入＝　 　元， 销售成本＝_____元。 (2)当销售量为 6 t 时， 销售收入＝　 　元， 销售成本＝_____元。 6000 5000 2000 3000 l1表示某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2表示 该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： 讲 授 新 课 (3)当销售量＝______时， 销售收入＝销售成本。 (4)当销售量______时，该公司盈利(收入大于成本)； 当销售量______时，该公司亏损(收入小于成本)。 4t ＞4t ＜4t l1表示某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2表示 该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： 讲 授 新 课 (5)当销售量等于______时， 该公司盈利（收入减成本）1 000元。 l1表示某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2表示 该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： (6) l1对应的函数表达式 是： ； l2对应的函数表达式 是： 。 y1＝1000x y2＝500x＋2000 6 能借助(6)的结论解决吗？ 讲 授 新 课 思考 如图，设 l1 对应的一次函数 y＝k1x＋b1 中，k1 和 b1 的实际意义各是什么？设 l2 对应的一次函数 y＝k2x＋b2 中，k2 和 b2 的实际意义各是什么？ k1 的意义：每销售 1 t 产品的销售收入 b1 的意义：未销售时，销售收入为 0 k2 的意义：每销售 1 t 产品的销售成本 b2 的意义：未销售时，为销售所花的成本为 2 000。 讲 授 新 课 例 图 1 是某景区游览路线示意图。甲在观景台 1 联系乙，发现乙在观景台 2 ,于是沿着游览路线追赶乙。图 2 中 l1,l2 分别表示甲、乙两人到观景台 1 的路程 s(单位：m)与追赶时间 t(单位：min)之间的关系。 图 1 图 2 典 例 精 析 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (1)哪条线表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系? 图 1 图 2 解：当 t＝0 时，甲到观景台 1 的路程为 0 m,即 s＝0,故 l1 表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系。 典 例 精 析 51 解： t 从 0 增加到 20 时，l1 上点的纵坐标增加了 1000,l2 上点的纵坐标增加了 600,即 20 min 内，甲行走了 1 000 m,乙行走了 600 m,所以甲的速度快。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (2)甲和乙哪个人的速度快? 图 1 图 2 典 例 精 析 解：如图 3,延长 l1 ,l2 。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (3)30 min内甲能否追上乙? 图 1 图 2 图 3 可以看出，当 t＝30时， l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方，这表明，30 min 时甲尚未追上乙。 典 例 精 析 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (4)到达观景台 3 后道路分岔，甲能否在到达观景台 3 前追上乙? 图 1 解：在图 3 中，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于（800+1300=） 2 100 ,这说明，甲能在到达观景台 3 前追上乙。 图 3 典 例 精 析 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (5)设 l1 与 l2 对应的两个一次函数分别为 s＝k1t＋b1 与 s＝k2t＋b2 , k1 , k2 的实际意义各是什么?甲、乙两人的速度各是多少? 图 1 图 2 解：k1 表示甲的速度， k2 表示乙的速度。 甲的速度是 50 m/min, 乙的速度是 30 m/min。 典 例 精 析 1.如图，l甲、l乙 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行进的路程 s(m)与时间 t(min)之间的关系，则他们行进的速度关系是( ) A.甲比乙快 B.乙比甲快 C.甲、乙两人行进的速度一样快 D.无法确定 A 随 堂 练 习 2.甲、乙两人分别从 A，B 两地出发相向行，他们到 B 地的距离s(km)与时间 t (h)的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A.甲的速度 6 km/h B.甲出发 4.5 小时后与乙相遇 C.乙比甲晚出发 2 h D.乙的速度是 3 km/h D 3.某图书馆的租书业务有两种方式：使用会员卡和租书卡。分别使用两种卡租书的租金 y(元)与租书时间 x(天)之间关系如图所示，当租书时间为 50 天时，采用 租书的方式比较省钱。 会员卡 随 堂 练 习 4.小明和小强进赛跑，小明从起跑点出发，小强在起跑点前方一距离处出发.如图,l1，l2分别表示两人离起跑点的距离 s(m)与时间(t)之间的关系。根据图象回答列问题： (1)小强出发时离起跑点 m， 他的速度为 m/s。 (2) 表示小明离起跑点的距离与 时间的关系； (3)出发多久后，小明追上了小强？ 10 3 l2 随 堂 练 习 解：易求得小强速度为 3 m/s, 小明速度为 3.5 m/s。 10÷(3.5－3)＝20(s)。 所以出发 20 s 后,小明追上了小强。 随 堂 练 习 实际生活中的问题 两个一次函数的应用 方案选择问题 课 堂 总 结 $