辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（三）

**基本信息** 以数学思维与语言为核心，综合考查函数、数列、概率统计等知识，解答题梯度设计合理，如统计案例分析与函数导数应用体现实际问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|互斥对立条件判断、分布列计算、等差数列求和|基础巩固，如第1题辨析概率事件关系| |多选题|3/18|回归分析、不等式性质、函数零点问题|能力提升，如第11题方程根的综合判断| |填空题|3/15|递推数列求和、切线方程、导数应用|创新应用，如第14题双空设计考查切线与恒成立| |解答题|5/77|回归方程构建、频率分布直方图、函数单调性与恒成立、数列证明与求和、导数综合证明|分层综合，如第15题统计案例结合分布列，第19题导数极值点证明体现逻辑推理|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知随机变量的分布列为（），则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（   ） A．432种 B．144种 C．96种 D．48种 5．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．若恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（ ） A．两个变量的相关性越弱，相关系数越小 B．经验回归直线一定经过点 C．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 D．在做回归分析时，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 10．下列命题正确的是（   ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，，则的最小值为9 D．若，，则的最大值为18 11．已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．函数有8个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 13．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 14．已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___ 若，对于任意都成立，则的最大值为 _____ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分）某市航空公司为了解每年航班正点率 对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2017年～2024年）每年航班正点率 和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值． (1)求关于的经验回归方程； (2)该市航空公司预计2026年航班正点率为 ，利用（1）中的回归方程，估算2026年顾客对该市航空公司投诉的次数； (3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取3人，记这3人中选择乘坐该航空公司航班的人数为 ，求 的分布列和数学期望． 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 16．（15分）王老师将全班40名学生的高二数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将 记作第一组，、、、 分别记作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差. 17．（15分）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 18．（17分）已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 19．（17分）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)证明：函数存在唯一极大值点，且． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ ､为互斥事件”是“ ､为对立事件”的必要非充分条件. 2．已知随机变量的分布列为（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【详解】因，，则， ， 即，解得． 3．已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【详解】因均为等差数列， 则. 4．某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（   ） A．432种 B．144种 C．96种 D．48种 【答案】B 【难度】0.65 【分析】应用捆绑法解决相邻问题，应用间接法解决不相邻计算求解. 【详解】将2个体育类作品捆绑，共种排法，其他作品任意排列，共有种不同的展示方法． 将2个体育类作品捆绑，有种排法，将绘画类与演讲类作品捆绑，有种排法，其他作品任意排列，此时共有种不同展示方法， 所以体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻的展示方法有（种）． 5．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【分析】通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围． 【详解】由，则， 又在区间上存在单调递增区间， 则存在，使得，即，即成立， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 所以要使在上有解，只需， 故的取值范围是． 6．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【分析】求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集． 【详解】函数的定义域为， 则 对任意的恒成立，所以，函数在上为增函数， 由可得，解得或， 因此，不等式的解集为． 7．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【分析】由，根据函数单调性可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由，可知定义域为， 又， 即， 则， 所以， ， 因为在定义域内单调递增， 所以在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增， 因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知，在定义域内单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，正实数，满足，， 若，则，不满足，所以， 因为，所以可变形为, 又函数在上单调递增，故， 即，所以， 则，当且仅当时，取等号，即的最小值为，故选项C正确. 8．若恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.35 【分析】首先利用导数求函数，的最大值，再根据条件转化为恒成立，最后利用参数分离转化为最值问题求解. 【详解】设，， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，，即恒成立， 设，由条件恒成立， 得恒成立，即恒成立，设， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以时，取得最大值，则. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（ ） A．两个变量的相关性越弱，相关系数越小 B．经验回归直线一定经过点 C．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 D．在做回归分析时，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 【答案】BC 【难度】0.78 【分析】根据相关系数与线性相关性的关系可判断选项A；根据回归直线的特点即可判断选项B，C；根据残差分析法判断回归模型的拟合效果即可判断选项D． 【详解】对于A，两个变量的相关性越弱，相关系数越小，故A错误； 对于B，回归直线一定经过样本中心，故B正确； 对于C，在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，故C正确； 对于D，在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高，表示回归效果越好，故D错误． 10．下列命题正确的是（   ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，，则的最小值为9 D．若，，则的最大值为18 【答案】AC 【难度】0.65 【分析】A将分式不等式转化为整式不等式求解；B通过举反例或根据不等式乘法性质判断命题是否成立；C采用“1的代换”方法，结合基本不等式求目标式的最小值，再验证等号是否能取到；D设求出系数，再根据已知的两个区间范围，结合不等式的同向可加性求出的范围. 【详解】A，分式不等式等价于，整理得，解得或， A正确； B，举反例：若，满足，但，不等式不成立，B错误； C，已知，则， 等号成立当且仅当，最小值为9，C正确； D，设，解得，即， 已知，则，最大值为16， D错误. 11．已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．函数有8个零点 【答案】AD 【难度】0.42 【分析】因为时是二次函数，可配方求值域和零点情况；时去绝对值分析 的单调性、值域，所以能画出的大致图象，找到方程有四个不同实根时的取值范围.对于，因为是时二次方程的两个根，所以用韦达定理可直接得到、的表达式.对于，因为是时方程的两个根，所以去掉绝对值后可得，，进而推导、的取值范围，再结合的结果得到的范围.分析的零点：先令，解方程得到的所有取值，再分别判断每个对应的的实根个数，相加得到的零点总数. 【详解】时，，值域为，顶点，时； 时，，值域为 作出函数图像如图： 方程有四个不同根的条件是，故A正确； 是方程即的两根，由韦达定理：； 是的两根，得，， 故，即； 因此，其取值范围为，故B错误； ，，故，，其取值范围为，故C错； 的零点等价于， 解得的根为：； 分别计算的根个数： ：无实根；：共2个实根；当时，有个实根. 因此的总零点个数为个，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 【答案】 【难度】0.62 【分析】变形可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，即， 且，可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 则，可得， 所以数列前2026项的和为. 13．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【难度】0.55 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 14．已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___ 若，对于任意都成立，则的最大值为 _____ . 【答案】 0 e 【难度】0.4 【分析】运用两切线斜率相等列式及对数运算公式可求得第一空的结果；同构函数，研究其单调性将题设不等式转化为在上恒成立，再由求导得出函数在上的最小值即可. 【详解】由得，由得， 依题意得，即， 所以，则； 又， 即时，对于任意都成立， 令，则，所以在上单调递增， 又因为，即， 由函数的单调性，可得对于任意恒成立， 又因为， 即为在上恒成立，所以， 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以的最大值为，故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分）某市航空公司为了解每年航班正点率 对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2017年～2024年）每年航班正点率 和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值． (1)求关于的经验回归方程； (2)该市航空公司预计2026年航班正点率为 ，利用（1）中的回归方程，估算2026年顾客对该市航空公司投诉的次数； (3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取3人，记这3人中选择乘坐该航空公司航班的人数为 ，求 的分布列和数学期望． 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【答案】(1) (2)20 (3) X 0 1 2 3 P 【难度】0.79 【分析】（1）利用最小二乘法可求回归直线方程； （2）利用（1）中的回归方程，令，可求预测值； （3）利用二项分布可求的分布列和数学期望． 【详解】（1）由题意得，， 则， 所以，所以； （2）当时，， 所以2026年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次； （3）而X可取0，1，2，3，得到，， ，， 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X服从二项分布，所以 16．（15分）王老师将全班40名学生的高二数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将 记作第一组，、、、 分别记作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差. 【答案】(1) (2)估计成绩在第二组和第四组所有学生成绩的方差是 【难度】0.73 【分析】（1）根据第一组、第二组的频率之和为0.3，且第一组和第五组的频率相同，结合所有频率之和为1可求得的值，由各组中点值与频率乘积的和可求得平均数； （2）根据分层方差和总体方差的关系式可求第二组和第四组所有学生成绩的方差. 【详解】（1）由题意得 ，解得 . 所以此次考试成绩的平均值为. （2）由题意，第二组、第四组分别有10人和8人.设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为 ， 则，， 所以成绩在第二组和第四组的所有学生成绩的平均数为 . 方差为 . 则可估计成绩在第二组和第四组所有学生成绩的方差是. 17．（15分）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【难度】0.7 【分析】（1）对函数求导，分析导函数的符号，从而可判断函数的单调性； （2）先对不等式进行变形分离参数，再构造函数借助导数找到函数的最小值，从而得到m的取值范围. 【详解】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 18．（17分）已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． (2) (3) 【难度】0.64 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证； （2）结合（1）利用等比数列定义可得，然后利用累加法求解即可； （3）先得到，利用裂项相消法得到，进而得，即可求解以实数的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3），从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 19．（17分）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)证明：函数存在唯一极大值点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.32 【分析】（1）计算切点坐标，对函数求导，将代入导数，再利用点斜式求解即可； （2）先将不等式等价转化为，设函数，求导判断单调性，利用零点存在性定理推出存在唯一的，使得，推出，分别证明和，即可放缩后证得即得证； （3）对求导，分析导函数 的单调性，得到有解，由在上单调递增，在上单调递减即可求解. 【详解】（1）由求导得，则 ，又， 则曲线在处的切线方程为，即. （2）要证，即证， 因为，则得，即 ， 令 ，则，因在上单调递增，且 ， ，因此存在唯一的，使得， 当时，,当时，, 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故（*）. 设 ,则 ,即函数在上单调递增， 故,则 ； 再设 ,则,当时，,当时，； 即函数在上单调递增，在上单调递减，故 , 则得 ，当且仅当时取等. 则由（*）可得, 因，故可得 ,即 , 故得证. （3）由题意可得，，则， 令 ，所以， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，则 ， 从而有解，即存在两根，，设， 则在上为正，在上为负，在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以，由可知， 由 可知，， 在上单调递增，在上单调递减，所以， 综上，函数存在唯一极大值点，且. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $