2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（七）

**基本信息** 以AI软件利润、全民阅读等时代情境为载体，分层考查函数、数列、概率统计等核心知识，注重数学抽象与建模能力，适配高二期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|充分条件、函数奇偶性、等差数列|基础概念与运算，如狄利克雷函数结合不等式| |多选题|3/18|回归分析、数列递推、函数图像|选项分层设错，如AI利润残差分析| |填空题|3/15|超几何分布期望、导数几何意义|跨模块综合，如等比数列与极值点| |解答题|5/77|导数应用、独立性检验、数列证明|情境化综合，如全民阅读关联检验与分布列，函数单调性证明|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（七） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 3．在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（   ） A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．0.5 5．某工厂质量监控小组从一批面粉中抽取袋测量重量，已知抽取的袋面粉的样本均值（单位：千克）服从正态分布，若，则的最小值为[参考数据:若，则].（    ） A．100 B．60 C．6 D．1 6．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 7．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．设在上的最小值为0，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知某AI软件公司为迎合市场需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据得到经验回归方程，则（   ） 月份x 1 2 3 4 5 利润y 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元 C．可以估计10月份的利润为25万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 10．记为数列的前项和．已知，则（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 11．已知函数 下列说法正确的是（   ） A．若，则方程有3个不相等的实数根 B．若方程的3个不相等的实数根，则 C．存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D．对任意实数，函数都是奇函数 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 13．在等比数列中是函数的极值点，则______. 14．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 16．在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，. (1)补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 (2)为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，求 的分布列与期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 18．为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在A、B、C三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求他投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在A、B、C三个不同区域各投篮一次，如果在A、B、C三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的分布列和数学期望． 19．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（七）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C B C D B AB BC 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 3．A 【分析】利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果． 【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． 4．C 【详解】记甲击中目标为事件，记乙击中目标为事件，则，， 记击中目标为事件，则， 所以， 又，所以. 5．B 【分析】根据正态分布的原则，通过区间包含关系列不等式求解的最小值. 【详解】由题意，随机变量服从正态分布，因此均值，标准差， 根据参考数据，，要满足， 需满足区间包含关系， 将代入，可得， 即， 将代入不等式得：， 对不等式变形求解： ， 两边取倒数（不等号方向反向）得， 两边平方得，解得， 因此的最小值为60. 6．C 【分析】求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集． 【详解】函数的定义域为， 则 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得或， 因此，不等式的解集为． 7．D 【分析】结合了狄利克雷函数的定义和基本不等式求最值. 【详解】①当时，．因为，所以． 因为，所以不符合题意． ②当时，．因为， 所以．因为，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是． 8．B 【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系，讨论函数在区间上的最小值，令其等于解得的值，再取交集即可得到元素个数. 【详解】函数． 要求在上的最小值为0． 当时，对称轴在区间左侧，函数在上递增，最小值为，最小值小于，矛盾． 当时，对称轴在区间内，最小值为． 令，得． 当时，对称轴在区间右侧，函数在上递减，最小值为，最小值小于，矛盾． 所以，又，即， 故，元素个数为2． 9．AB 【分析】先求出经验回归方程，再对每个选项逐一分析. 【详解】. ，A选项正确. ，其斜率为，其含义为月份每增加1，月利润增加约万元，B选项正确. 令，可以估计月份的利润万元，C选项错误. 令，可以估计月份的利润， 由表格可得月份的实际利润为万元， 故月份利润的残差万元，D选项错误. 10．BC 【分析】令代入可得A；利用与关系，结合等比数列定义可得B；求出数列的通项公式后，代入计算即可得C；借助作差法即可得D. 【详解】对A：当时，，故，故A错误； 对B：当时，， 则 ， 即，即有，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对C：由B得：，故， 则，故C正确； 对D： ，故，故D错误. 11．ABC 【分析】对于A，利用单调研究单调性作出函数图像即可判断，对于B，由得，进而判断B，由得，令，利用导数研究单调性作出函数图像即可判断C，先求即可判断D. 【详解】由题意得：，令，解得或， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 作出函数的函数图像： 由图可知：当时，方程有3个不相等的实数根，故A正确； 由得，即， 又， 所以，所以， 所以，故B正确； 由，所以，令， 所以，令， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 作出的函数图像： 由图可知：当时，直线与函数的图像有3个不同交点，故C正确； 由， 又，所以为偶函数，当时，为奇函数，故D错误. 12．/ 【分析】X的取值为，求出分布列，再利用期望公式求解. 【详解】X的取值为， 则，， ，， ， 所以． 13． 【分析】求得，得到是的两个实数根，所以，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点， 所以是的两个实数根，可得， 又因为数列为等比数列，可得同号，且， 所以，所以. 14． 【分析】求出切线方程，设切线与曲线切于点，利用导数的几何意义以及点在切线上可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】对函数求导得，故曲线在处的切线斜率为， 所求切线方程为，即， 设直线与曲线切于点， 对函数求导得，所以曲线在点处的切线斜率为， 且点在直线上，所以有，解得. 15．(1) (2)极小值为1，无极大值 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数的单调性，再根据单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. 16．(1)补全列联表如下： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 依据小概率值的独立性检验，可以推断阅读习惯与学业成绩水平有关. (2) 的分布列为： 1 2 3 期望. 【分析】（1）根据条件概率公式，结合已知数据计算可完成列联表，然后计算卡方，对照临界值表即可得出结论； （2）利用超几何分布概率公式求出概率和分布列，然后可得期望. 【详解】（1）由题可知，，，所以，得， 又，所以，得， 结合已知可得列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 零假设阅读习惯与学业成绩水平没有关系. 因为， 所以，依据小概率值的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立， 即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过. （2）有固定阅读习惯中成绩优良的有人，成绩一般的有人， 所以组建的6人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人， 则的可能取值为：， ，， ， 所以 的分布列为： 1 2 3 期望. 17．(1) (2)由（1）知， 由， 得 . 所以数列的前项和， 得， 因此，. 【分析】（1）根据前项和与的关系，判断出数列为等差数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据第（1）问，表示出数列的通项公式，对裂项，求其前项和，再证明结论成立. 【详解】（1）由正项数列，前项和， 当时，， 整理得， 解得舍去. 当时，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，即是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）略 18．(1) (2) 0 1 3 6 数学期望为． 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，3，6，求出所对应的概率，即可求出分布列和数学期望. 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， “该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为. （2）由题意可知，得分的可能取值为0，1，3，6， 所以， ． ， ， 所以的分布列为 0 1 3 6 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 19．(1)当时，的递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2) (3)由（1）得，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，即. 当时，，即，得； 令，则； . 当时，显然成立， 当时，； ，； 综合可知. 【分析】（1）先确定函数定义域为，再对求导，分和两种情况讨论导数正负，进而得到单调区间； （2）对恒成立，等价于在恒成立；构造函数，求的最大值，即可得到的取值范围； （3）利用（1）中时函数的单调性，得到，整理得；再令，对不等式进行累加，即可证得不等式. 【详解】（1）由，得函数的定义域为. . 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，得； 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. 综上，当时，的递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由，，得； ，. 对恒成立，等价于在恒成立. 令，则； 令，即，解得. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，取得最大值，即； 在恒成立，，即的取值范围是. （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $