2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（三）

**基本信息** 2025-2026学年大连市高二下学期数学期末模拟卷，涵盖函数、数列、概率统计等核心知识，解答题结合扶贫管理、投篮等现实情境，注重数学应用与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、充要条件、线性回归、正态分布、等比数列|基础与能力结合，多选区分度高| |填空题|3题15分|等比数列求和、函数单调性、概率|注重概念辨析与计算| |解答题|5题77分|数列求和、导数应用、统计案例（扶贫）、概率（投篮）、导数综合|情境真实（如扶贫管理），综合考查数学建模与逻辑推理|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（三） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．若全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且 ，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是（   ） A．越大，与的线性相关性越弱 B．若，则 C．若，则 D．若样本点都在回归直线上，则 4．某地区14000名学生的数学成绩，且成绩在的学生人数约为 4800人，则估计成绩超过90分的学生人数约为（    ） A．2200 B．2500 C．2800 D．3100 5．设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法错误的是（     ） A． B．数列的前20项和为 C． D． 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知4个正数，，，成等比数列（公比），则（   ） A． B． C． D．若，，则的最小值为5 10．已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（   ） A． B． C．，其中 D． 11．已知函数，其导函数记为，则（     ） A．当时，函数最小值为0 B．若在处的切线与直线垂直，则 C．若函数有两个零点，则 D．当时，若，，则 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 13．已知，，且，则实数的取值范围是__． 14．设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________. ①；②事件，相互独立； ③；④ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知数列的前项和为，且满足. (1)求的值； (2)求的值. 16．设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值，并求该切线方程； (2)求在区间上的最值． 17．近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间（单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望． 参考公式： 其中．临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 18．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 (3)主办方调整甲的投篮装备，优化后甲单次命中概率提升，乙投篮条件与命中率保持不变.设装备调整前甲获胜概率为，装备优化后甲获胜概率为，请直接写出两者的大小关系.（结论不要求证明） 19．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A D D B B BCD AD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据全集与补集、交集的概念计算即可. 【详解】全集，集合，， 即全集，则， 所以． 2．C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解，再根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 3．D 【分析】对于A，由的绝对值大小与和的线性相关性强弱关系可判断选项正误；对于B，由与计算公式可判断选项正误.对于C，由题设可得，据此可判断选项正误；对于D，由的意义可判断选项正误； 【详解】对于A，的绝对值越接近1，由于，故的值越大，与的线性相关性越强，故A错误； 对于B，,从而，则当时，因无法确定，则无法确定，故B错误. 对于C，由于可得，则，当时，，则，故C错误； 对于D，若样本点都在回归直线上，且，则，D正确； 4．A 【分析】根据已知求得，结合正态分布的对称性求出，进而估计学生人数即可. 【详解】由题意，则， 而，则， 所以成绩超过90分的学生人数约为人. 5．D 【详解】对于A，若取，但，不满足，故A错误； 对于B，若取，，则，不满足，故B错误； 对于C，因，当且仅当时取等， 即当时，取得最小值，而,故C错误； 对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解， 所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解， 则，可得，因，则得，当时取等，故D正确. 6．D 【分析】构造新函数，利用函数导数与函数单调性分析求解即可. 【详解】对任意，，所以不等式的解集等价于不等式的解集， 令，由，所以， 所以不等式的解集等价于不等式的解集， 又对任意，， 所以， 所以函数在上单调递增，由，则有， 所以不等式的解集为：. 7．B 【分析】根据已知条件及为偶函数，结合周期函数的定义，可得函数是周期为4的周期函数，利用周期性及求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数， 由中，令，得到， 所以，， 故. 8．B 【分析】由等差数列的通项公式求基本量，进而写出、，再由确定的通项公式，再依次判断各项的正误. 【详解】若的公差为，则，可得， 所以，，A、C对， 若且，则，易知为偶数， 不妨令，所以，于是有，D对， 所以，B错. 9．BCD 【详解】对A：由等比数列性质可得，故A错误； 对B：，， 则， 由且各项为正数，则，，则， 即，故B正确. 对C：由，则，则， 故，故C正确； 对D：由，则， 由对勾函数性质可得在上单调递减， 故，故D正确. 10．AD 【详解】方案一中，有放回地摸球，每次取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， ∴，； 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布， 则，， 所以，，故A，D正确； 当时， ， ，即，故C错误； ， ∵ ，； ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故，故B错误. 11．AD 【分析】先求导得．对A，用导数判断单调性；对B，由切线斜率与垂直关系求；对C，注意恒为零点，再利用极小值判断零点个数；对D，分别把和转化为关于的等式，再比较两个关于的函数值． 【详解】由题意， 对于A，当时， 令，则 ，所以在上单调递增． 又 ，所以当时，；当时，． 因此在上单调递减，在上单调递增，故最小值为所以A正确． 对于B，直线 的斜率为，与它垂直的直线斜率为． 又 ，所以若切线与该直线垂直，则，解得 ，不是．所以B错误． 对于C，注意到恒成立． 若，则 ，故在上单调递增，只能有一个零点． 若，由在上单调递增可知，方程有唯一解， 且在上单调递减，在上单调递增． 又，所以 下面证明当时， ． 令 则， 所以在上单调递增，在上单调递减，且． 因此当时，，即 ． 所以当，即时，，函数有两个零点； 当，即时，最小值为，函数只有一个零点． 于是有两个零点的充要条件是且， 所以由“函数有两个零点”不能推出，C错误． 对于D，由 得 由得， 整理得 因为，所以 ，且 令 显然 ， 故在上单调递增． 只需证明 由于 ，上式等价于 即 下面证明该式恒成立． 由常用不等式可得 因此 又单调递增，所以，即．所以D正确． 下面补充证明不等式， 设，则，， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则，则恒成立. 12．21 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式逐项求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得 ， ， 因为数列为等比数列， 所以有， 所以有，即. 又因为 所以，且 所以 13． 【详解】根据题意，，其导数， 又由，则必有， 即函数在上为减函数， 若，必有， 解得，即的取值范围． 14．②③④ 【分析】对于①，利用条件概率公式进行求解；对于②，先得到，进而得到，②正确；对于③，根据概率的性质进行求解；对于④，先得到，从而利用条件概率公式进行求解. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，， 又，故， 事件，相互独立，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，，故， 故，④正确. 故答案为：②③④ 15．(1) (2) 【分析】（1）先求出，再求. （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由可得， 所以可得. 当时，可得. （2）因为，所以. 则 . 16．(1)，切线方程为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出及切线方程. （2）确定函数在给定区间上的单调性，进而求出最大值及最小值. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线斜率为，得，因此， ，，所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 17．（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【分析】（1）分别求出，，从而，，，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关． （2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望． 【详解】解：依题意： 故 则， 故管理时间与土地使用面积线性相关． （2）依题意，完善表格如下： 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 总计 200 100 300 计算得的观测值为 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故 故的分布列为 X 0 1 2 3 P 则数学期望为 （或由，得 【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等． 18．(1) (2)的分布列为： 1 2 3 (3) 【分析】（1）对甲获胜的不同轮次分类，利用互斥事件概率加法公式与独立事件概率乘法公式计算甲获胜概率； （2）根据投篮结束的不同情形确定的所有可能取值并计算对应概率，得到分布列与期望； （3）计算出、后，借助作差法计算即可比较大小. 【详解】（1）甲获胜包含三类互斥的情形： ①甲第一次投篮命中直接获胜，由独立事件概率公式得； ②甲、乙第一次投篮均未命中，甲第二次投篮命中获胜， 概率； ③甲、乙在前两次投篮中均未命中，甲第三次投篮命中获胜， 概率； 由互斥事件概率加法公式，甲获胜的总概率为； （2）投篮结束时甲的投篮次数的所有可能取值为、、， ①对应“甲第一次投篮命中获胜”或“甲第一次未命中、乙第一次投篮命中获胜”， 两个事件互斥，故； ② 对应“甲、乙第一次均未命中，第二轮投篮结束”， 故； ③ 对应“甲、乙在前两次投篮中均未命中”，无论第三次投篮结果如何均结束投篮， 故， 因此的分布列为： 1 2 3 由离散型随机变量期望公式得； （3），理由如下： 由（1）可得：，设优化后甲单次命中概率为，则， ， 则， 由，，则， 故，即. 甲单次投篮命中率提升，其他规则与乙命中率不变，因此甲获胜概率增大，即. 19．(1) (2)（i）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）求导，分、、三种情况讨论函数的单调性即可； （ii）转化问题为对任意恒成立，设，，先证明，当且仅当时等号成立，进而得到，进而求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 即，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i）当时，， 令， 则. 令，得或. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增， 且时，，时，， 则存在唯一，使得， 所以，当且仅当时等号成立， 则，又，则实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $